1、,第 二 十 九 讲. 变分法A.体系的哈密顿量在任一满足物理要求 的试探波函数上的平均值必大于等于体系基 态能量,B. Ritz 变分法基本思想：根据物理上的考虑，给出含一 组参量的试探波函数 求出能量平均值, 对 ，求极值，从而确定显然， （基态能量）例：求氦原子的基态能量(即外有两个电子)氦原子的哈密顿量为（忽略 ）,从物理上考虑，当二个电子在原子中运动， 它们互相屏蔽，使每个电子感受到原子核的作 用不是两个单位的正电荷，而是比它小。究竟 是多少？很自然可把它当作待定参量，利用 Ritz 变分法来求基态能量的近似值。因类氢离子的基态波函数为,则 满足所以，取试探波函数为,显然，于是,Ri
2、tz变分，是由给定 （函数形式给定），即 ，仅改变参量 ，使 取极小（但函数形式不变），所以只能得到近似的本征函数和本征值的上限。,. 量子跃迁要处理的问题是：体系原处于 的本征态 （或叠加），而后有一与 有关的微扰 作 用到该体系。于是体系可能从一个态以一定几率 跃迁到另一态，称这一现象为量子跃迁。处理这样的问题就需要利用含时间的微扰论（1）含时间的微扰论,与 有关，体系的哈氏量原为 ， 随 有一微扰时，体系处于 的本征态 ， 相应的定态为,当然， 仍可按 的定态 展开。但由 于 不是 的定态，所以展开系数是与 有 关。,于是有,时，体系处于因此，在 时刻，测量发现体系处于态的几率为,（2）
3、常微扰下的跃迁率：在某些实验中， 在作用时间内,微扰常常是不依赖于 的（ ）,单位时间跃迁几率（称为跃迁速率或跃迁 率）它表明： 跃迁率与时间无关。通常称为 Fermi黄金定则; 当 一定大后，跃迁贡献主 要是来自同初态能量相同的末态。,B. 周期性微扰下的跃迁率设：微扰随时间作周期性变化 与t无关 在一级近似下,根据前面分析，当 t 足够大时，引起体系 从 的 态发生跃迁到 的 态 的总跃迁率，是 .于是有跃迁率为,C辐射场下原子的跃迁率当微扰影响较小时，一级近似很好现考虑原子被置于一个纯辐射场中 在原子区域中，无外电场 。,因 。于是有（电磁场弱，忽略 项） 由于 满足令,且有 （由于 为
4、实）在电磁波很弱的条件下，一级微扰很小，则可以证明即受激辐射和退激发跃迁几率相等。,同样可以证明在 弱辐射场 长波近似 辐射是非极化的（极化各向同性， 等几率）条件下：单位时间跃迁几率，即跃迁率,其中 为能量密度分布，即光强度分布。为单位时间通过垂直传播方向上的单位面积的能量分布。,（3）磁共振均匀磁场 （在Z 方向 ），将使电子 的简并态（自旋 ）发生分裂，其能量差其中 当电子吸收一光子 ，则将电子激发到 较高能级，即自旋向上的态。,A. 跃迁几率和跃迁率设：有一垂直于静场 的磁场。于是，总 磁场为若振荡场比静场小,电子的总哈密顿量在 表象，即在 表 象，中,设 时刻，电子自旋态的本征值为
5、。在一级近似下，从本征值为 的自 旋态跃迁到本征值为 的自旋态的几率,若 为单位频率中的态密度，则总的 跃迁几 率为,( 若 t 足够大或 在共振区变化很缓慢 ),所以，单位时间的跃迁几率（ 跃迁率）为,B. 两能级间的震荡电子的总哈密顿量在 表象，即在 表 象中为设 时刻，电子状态或称自旋态的表示为,于是有,令,所以， 时，有解时，有解,于是有普遍解为,其中,若 ，电子处于 本征值为 的本征态，其表示即为 则要求,所以，,最后有解,时刻，处于 本征值为 的本征态，其表示即为 的几率为仍处于 本征值为 的本征态，其表示 即为 的几率为,我们直接看到，电子所处的态随时间在这 两个态之间以一定的几率震荡。,C. 一级近似公式的精确性 我们能直接看到，在 时，精确解 和一级近似解才符合。,8.4 散射 （1） 一般描述：在束缚态问题中，我们是解本征值问题， 以期与实验的能量测量值比较。而在散射问题 中，能量是连续的，初始能量是我们给定的（ 还有极化）。这时有兴趣的问题是粒子分布 （即散射到各个方向的强度）。所以散射问 题（特别是弹性散射），主要关心的是散射 强度，即关心远处的波函数。,
