1、测量学,主讲：付建红,第三章 测量误差基本知识,测量学,主要内容,观测误差的分类 衡量精度的标准 算术平均值及其观测值的中误差 误差传播定律 加权平均值及其精度评定 间接平差原理,3.1 观测误差的分类,测量误差产生的原因测量误差的分类与处理原则偶然误差的特性,一、测量误差产生的原因,一、测量误差产生的原因,人（观测者） 仪器 外界环境,观测条件,凡是观测条件相同的同类观测称为“等精度观测”，观测条件不同的同类观测则称为“不等精度观测”。,中丝读书：,1591 1592 1593,A,B,水准测量,水准管,观测值,实际值,二、测量误差的分类与处理原则,系统误差 偶然误差 粗差,系统误差:在相同
2、观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同或者具有一定的规律性。,系统误差具有积累性,可以利用其规律性对观测值进行改正或者采用一定的测量方法加以抵消或消弱。,偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，在表面上看没有任何规律性；但就大量的误差而言，具有一定的统计规律。,偶然误差不可避免，通过多余观测，利用数理统计理论处理，可以求得参数的最可靠值。,8.5,1 2 3 4 5 6 7 8.4 8.7 8.5 8.6 8.3 8.2 8.6 0.1 -0.2 0 -0.1 0.2 0.3 -0.1,粗差：由于观测者的粗
3、心或各种干扰造成的大于限差的误差。,在测量工作中，一般需要进行多余观测，发现粗差，将其剔除。,三、偶然误差的特性 1、真值和真误差 真值：某一个量的真实值（X） 在相同观测条件下，对此量进行n次观测，观测值：L1，L2， ， Ln 真误差:真值 X 与观测值 Li 之间的差值，用i 表示。i = X - Li,2、实例三角形内角和真误差:在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角。i = 180 (i =1 ,2,3,358),误差分布表,45 40 33 23 17 13 6 4 0,46 41 33 21 16 13 5 2 0,0.126 0.112 0.092 0.064 0.
4、047 0.036 0.017 0.011 0,0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0,91 81 66 44 33 26 11 6 0,0.254 0.226 0.184 0.123 0.092 0.073 0.031 0.017 0,181,177,0.505,0.495,358,1.00,频率直方图,3、偶然误差的特性,有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同； 抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误
5、差的算术平均值趋近于零。即,误差分布曲线：正态分布,标准差：,方差：,概率密度函数:,3.2 衡量精度的标准,中误差相对误差极限误差,一、中误差,标准差中误差是反映一组误差离散程度的指标。,-m1,+m1,m2大精度低,观测条件,误差分布,观测值精度,曲线形态 （陡峭、平缓）,具体的数值 （大小）,观测精度 （低、高）,精度(precise) 和准确度(accuracy),Inaccurate and precise,Accurate and imprecise,Inaccurate and imprecise,Accurate and precise,举例【例】同精度下对某一三角形进行了10
6、次观测，求得每次观测所得的三角形闭合差分别为（单位：）： -3，-2， +2， +4， -1， 0，-4，+3，+2，-3。,另一台仪器的观测结果（单位：）为： 0，+1，-7，-2，-1， +1， +8， 0， +3，-1。,二、相对误差,【例】分别丈量了S1=200m 及S2=40m 的两段距离，观测值的中误差均为2cm，试比较两者的观测成果质量。,相对误差K : 中误差的绝对值与观测值之比，用分子为1表示,S1的丈量精度高于S2的丈量精度,三、极限误差,三、极限误差,概率密度函数：,3.3 算术平均值及观测值的中误差,算术平均值观测值的改正值按观测值的改正值计算中误差,一、算术平均值,二
7、、观测值的改正值,三、按观测值的改正值计算中误差,在相同的观测条件下对某一量进行多次观测，则观测值为同精度观测值，其中误差为：,白塞尔公式的推导,左右平方求和：,左右求和：,左右平方,按观测值改正值计算中误差,+3.1 +2.5 -1.7 +4.7 +4.0 -2.4 10.2,-1.4 -0.8 +3.4 -3.0 -2.3 +4.10.0,1.96 0.64 11.56 9.00 5.29 16.81 45.26,算术平均值：,相对误差：,观测值中误差：,3.4 误差传播定律,观测值的函数观测值函数的中误差误差传播定律应用实例,问题的提出：在上节介绍了对于某一个量直接进行多次观测，计算观测
8、值的中误差。许多未知量是不能直接观测得到的。这些未知量是观测值的函数，那么如何根据观测值的中误差而去求观测值函数的中误差呢？,阐述观测值中误差和观测值函数的中误差之间的关系的定律称为误差传播定律。,一、观测值的函数,倍函数:,一般函数:,和差函数:,线性函数:,1、和或差的函数 设有函数z = x + y， z:观测值的函数，x、y为独立观测值，已知mx、my，求mz ?,(1) 真误差的关系式为： z x y若对x、y观测了n次则： zi xi yi（i=1n） (2) 将上式平方得： (3) 求和，并除以n:由于x , y为独立观测值，因此n趋近无穷时，xy / n = 0 (4 )转换为
9、中误差关系式:,两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和,二、观测值函数的中误差,n个观测值代数和的中误差平方，等于n个观测值中误差的平方和。,n个同精度观测值代数和的中误差，与观测值个数n的平方根成正比。,2、倍函数,设有函数z = kx ， z:观测值的函数，x为观测值，k为常数，已知mx，求mz ?,(1)真误差的关系式为： z kx 若对x、y观测了n次则： zi kxi （i=1n） (2)将上式平方得：(3)求和，并除以n:(4 )转换为中误差关系式:,观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘以常数,3、线性函数,设有函数z = k1x1 + k2x2+ +knx
10、n， z:观测值的函数，x1, x2, xn为独立观测值，k1, k2, kn为常数。已知m i求m z ?,应用倍数函数、和差函数的误差传播定律可得,4、一般函数（非线性函数）,观测值a、b的中误差为ma、mb求面积p的中误差。,(1) 求偏微分,(2) 转换为中误差关系式,三、误差传播定律应用实例,例1：用尺子在1:500的地图上量得两点间的距离 d=10cm，中误差md 0.1cm，求其相应的实地距离D及其中误差mD。,例2：对某量进行了n次独立同精度观测：L1 、L2 、Ln ，中误差均为m,求其算术平均值的中误差。,观测值算术平均值的中误差是观测值中误差的,例3：测得某矩形块地的长a
11、=10m，宽b5m，a、b独立，且ma2cm，mb1cm，求该块地的周长及中误差。,S30m 4.5cm,注意单位统一,例5：设有函数：Z=X+Y ，Y=3X，已知 mx，求 mz,注：由于X和Y不是独立观测值,总结 应用误差传播定律求观测值函数的中误差时，可归纳以下几步：1、列出函数式 2、对函数式全微分，得出函数的真误差和观测值真误差的关系式 3、独立性的判断 4、写出函数的中误差观测值中误差之间的的关系式 注意单位的统一,(5)、对某一三角形内角重复观测了9次，定义其闭合差： =180，其结果如下(单位)： 1=+3, 2 =-5, 3 =+6, 4 =+1, 5 =-3, 6 =-4,
12、 7 =+3, 8 =+7, 9 =-8;求三角形闭合差的中误差m以及三角形内角的测角中误差m,解：,(6)、对某个水平角以等精度观测了4个测回，观测值列于下表。计算其算术平均值、一测回的中误差和算术平均值的中误差。,计算,(7)、对段距离，用测仪测定其水平距离4次，观测值列于下表。计算其算术平均值、算术平均值的中误差及其相对误差。,计算,346.522,346.548,346.538,346.550,l0=346.530,(8)、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角和，其测角中误差均为20，计算第三个角及其中误差。,(9)、量得一圆形地物的直径为64.780m5mm,求圆周长度S及其中误差
13、ms,解：,解：,(10)、量得矩形场地长度a=156.34m0.10m,宽度b=85.27m0.05m，计算该矩形场地面积F及其面积中误差mF,(11)、已知三角形三个内角、的中误差为，,，定义三角形闭合差为：,解：,解：,3.5 加权平均值及其精度评定,不等精度观测及观测值的权加权平均值加权平均值的中误差单位权中误差的计算,在相同条件下对某段长度进行两组丈量： 甲组： 乙组： 两组算术平均值分别为：L甲，L乙 设每次观测值的中误差为m，求m甲和m乙，并求该长度的最或是值是多少？,1、如何求X的最或是值 ？ 3、如何求 的中误差？ 2、如果已知 的中误差，如何求观测值Li的中误差？,对某个未
14、知量X, 不等精度观测：,观测值的权,式中：C为任意正数当观测值Li的权Pi1时，称为单位权观测值，其中误差称为单位权中误差，用m0表示。,一、不等精度观测及观测值的权,反应观测值的相互精度关系； m0的大小对最或是值毫无影响； 不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系；,权的特性,例：已知L1 , L2 , L3 的中误差分别为： m1 =3mm,m2 =4mm,m3 =5mm,设 m0 = m1 =3mm,设 m0 = m2 =4mm,二、加权平均值,三、加权平均值的中误差,四、单位权中误差的计算,加权平均值及其中误差的计算,-125,2 4 6,-2830,12,36,最或是值:,41 -2,84 -120,(13)、已知,解：,(15)、设三角形三个内角为、 ，已知、的权分别为4、2 ,角的中误差为9， 根据、计算，求的权； 计算单位权中误差m0 求、 角的中误差m、 m,解：,
