1、第4章 流体动力学基础 4.1 流体的运动微分方程(理解) 4.2 元流的伯努利方程（掌握） 4.3 恒定总流的伯努利方程（掌握） 4.4 非恒定总流的伯努利方程（掌握） 4.5 恒定总流的动量方程（掌握） 4.6 无粘性流体的无旋流动（自学）,4.1 流体的运动微分方程式（自学） 4.1.1 无粘性流体的运动微分方程式 从理想流体中任取一 为中心的微元六面体为控制体，边长为 ，中心点压强为 ，,受力分析(x方向为例)： 1.表面力 因为理想流体，所以 左表面 右表面 2.质量力 单位质量力在各坐标轴上分量为 ，所以 方向的质量力为 由牛顿第二运动定律 ， 方向有：,理想流体的运动微分方程（欧
2、拉运动微分方程） 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。 若加速度等于0，则上式就可转化为欧拉平衡微分方程,4.1.2 粘性流体的运动微分方程式（自学） 1.粘性流体的动压强 由于粘性作用，运动时出现剪应力，使任一点法向应力的大小，与作用面的方位有关。研究表明，同一点任意三个正交面上的法向应力之和都不变，该点的动压强表示为2.实际流体的运动微分方程（N-S）,4.2 元流的伯努利方程及能量方程 4.2.1 无粘性液体运动微分方程的伯努利积分 由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一
3、定条件下积分。考虑条件： 1、恒定流,对上式各式分别乘以流线上微元线段的投影dx，dy，dz,则上式中的第一式变为：2.在流线上，由流线微分方程式 ，有,因此同理有：将上述三式相加得：,2.质量力只有重力 3.均匀不可压缩流体 积分得无粘性流体运动方程沿流线积分 ：,元流的伯努利方程,对同一流线上的任意两点，有或无粘性流体元流伯努利方程的应用条件： 1、恒定流动； 2、质量力只有重力 3、沿元流（流线） 4、不可压缩流体,4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义,例4-3 毕托管测速 是一根很细的弯管，其前端和侧面均开有小孔，当需要测量水中某点流速时，弯管前端置于该点并正对水流方向，前端
4、小孔和侧面小孔分别由两个不同通道接入两根测压管，测量时只需要读出这两根测压管的水面差，即可求得所测点之流速。,设先将一根弯管的前端封闭，弯管侧面开一小孔，把弯管正对水流方向，把侧面开孔处置于测点A，此时弯管水面上升高度 ，则 代表了A点的动水压强，即：设A点流速为 ，若以通过A点 的水平面为基准面，则A点的总 能量为：,两根测压管的水面差,再以另一根同样的弯管，侧面不开孔，前端开孔，将弯管前端置于A点并正对水流方向。此时，由于A点水流受弯管的阻挡，流速变零，动能全部转化为压能，故 ，上述两种方法所测得的A点能量应相等，则可得由此可得A点的流速以上就为毕托管测速的原理。,两根测压管的水面差,而真
5、实的毕托管，并不要进行两次测量，而是两根管合二为一，只是将前端的小孔和侧面的小孔由分别不同的通道接在两支测压管上。此时，流速应为其中 称为毕托管的校正系数，一般 约为0.98-1.0。 修正原因： 1两个小孔的位置不同。 2毕托管放入水流中所产生的扰动影响。,4.2.3 粘性流体元流的伯努利方程 实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力做功，使流体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失。因此，实际流体流动时，单位重量流体具有的机械能沿程不守恒，而是沿程减少。设 为单位重量流体从断面11流动到断面22所损耗的机械能，即能量损失，称水头损失。则实际流体元流的伯努利方程为：4.3 恒定流体总流
6、的伯努利方程4.3.1 渐变流及其性质 1、渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2、渐变流过流断面上的动压强与静压强分布规律相同，即,4.3.2 总流的伯努利方程 将式各项乘以重量流量 ，得到单位时间内通过元流两过流断面的全部流体的能量关系式：根据连续性方程： 对上式在总流两过水断面上积分，可以得到通过总流两过流断面的所有流体所携带的总能量之间的关系整理得：,1、势能积分项 由于取在渐变流过流断面上,因此有2、动能积分项 单位时间内通过总流过水断面的流体动能的总和，积分按断面平均流速计算，并引入修正系数 ：动能修正系数, 一般大于1，如果流速分布较均匀时 。在圆管层流动动中
7、 ；工程实际中的紊流运动常取 。,3、水头损失积分项为单位重量流体由过渡断面1-1运动到2-2的平均机械能损失。 因此，总流的伯努利方程为：4、能量方程的限制条件 1）恒定流； 2）不可压缩流体； 3）质量力只有重力； 4）两过流断面应为缓变流断面，而两断面之间，可以是缓变流也可以是急变流； 5）流量沿程不变； 6) 沿程没有能量的输入输出。,6、有能量输入输出的伯努利方程 当两过流断面部有水泵、风机或水轮机、汽轮机等流体机械时，存在能量的输入或输出。此时的有能量输入或输出的伯努利方程为：3、两断面间有合流或分流的伯努利方程分流,合流,4.3.4 水头线总水头线是总水头的连线，测压管水头线是测
8、压管水头的连线. 理想（无粘性）流体中，总水头线直线； 实际流体中，总水头线总是沿程单调下降的，下降的快慢可以用水力坡度J来表示:而测压管水头线则沿程有升有降,理想流体总水头线和测压管水头线,4.3.5 利用能量方程的解题步骤（“三选一列”） （1）选择基准面:基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过水断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。 （2）选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。 （3）选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。 （4）列能量方程解题，注意与连续性方程的联合使用
9、。,例4-4：用直径 的水管从水箱引水，如图所示，水箱水面与管道出口断面中心的高差 ，保持恒定，水头损失 水柱，试求管道的流量。基准面：0-0断面 计算断面：1-1断面，2-2断面 计算点： 1-1断面自由水面（ ）， 2-2断面中心轴上 采用相对压强,解：应用伯努利方程基准面：0-0断面; 计算断面：1-1断面，2-2断面; 计算点： 1-1断面自由水面（ ）， 2-2断面中心轴上 因此有 采用相对压强 则：取 则流速为流量,例4-5：离心泵由吸水池抽水，已知抽水量 ，泵的安装高度 ，吸水管直径 ，吸水管的水头损失 ，试求水泵进口断面2-2的真空度 。 解：选择基准面为1-1断面列出1-1断
10、面，2-2断面伯努利方程计算点：1-1断面自由水面， 2-2断面中心轴上 可采用相对压强也可采用绝对压强计算 本题采用相对压强，由以上条件知,代入伯努利方程得,例4-6 文丘里流量计 文丘里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部分别安装一根测压管或用U形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。,解：选水基准面0-0。列出收缩段进口断面1-1，喉道断面2-2的伯努利方程，忽略不计水头损失hw，并取1=2=1，则有由连续性方程代入前式，得若用测压管测势能差，则 为测压管水头差h，则流量为,其中文丘里
11、管系数K为：若考虑水头损失，则需乘以一个流量系数若用水银差压计测势能差，则有,4.3.5 总流伯努利方程应用的补充论述 *1、气流的伯努利方程(自学) 气体是可压缩的流体，但是对流速不是很大，压强变化不魇系统，如工业通风管道、烟道等，可能应用伯努利方程。用压强的形式表示则 若,当气流的密度与外界空气的密度相同时 ，或两计算点的高度相同时 ，则有当气流的密度远远大于外界空气的密度 ，则有,4.5 动量方程 将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出流体运动的动量方程。根据动量定理，流体系统动量的时间变化率 等于作用在系统上的外力 矢量和，即,从恒定总流中任取一束元流为控制体积，dt时间内，流
12、体从1-2处流至1-2处。dt时间内元流的动量变化（恒定流）为因为是恒定流，dt前后 无变化，则因为过流断面为渐变流断面，各点速度平行，按平行矢量和的法则，定义 为 方向的基本单位矢量， 为 方向的基本单位矢量,则对于不可压缩流体 ，并引入修正系数 ，以断面平均流速 代替点流速 ，积分得称为动量修正系数,根据实验测定值约为1.021.05，近似于l，所以为计算方便，在工程计算中通常取 。 由动量定理，质点系动量的增量等于作用于该质点系上的外力冲量得投影式为,总流动量方程的应用条件:1）恒定流；2）不可压缩流体；3）两过流断面应为渐变流断面，而两断面之间，可以是渐变流也可以是急变流。,使用动量方
13、程时应注意： 1）选隔离体，将所研究的两个渐变流断面之间的水体取为隔离体； 2）选坐标系，确定各作用力及流速的投影的大小和方向； 3）作计算简图：分析隔离体受力情况，并在隔离体上标出全部作用力的方向； 4）列动量方程解题，计算压力时，采用相对压强计算。 5）正确取好外力与流速的正负号。对于已知的外力和流速方向，凡是与选定坐标轴方向相同者取正号，相反者取负号。对于未知待求量，则可先假定为某一方向，并按上述原则取好正负号，代入总流动量方程中，进行求解。求得的结果为正值时，假定方向即为实际方向，否则相反。 6）注意与能量方程及连续性方程的联合使用。,例4-9 水平设置的输水弯管，转角 ，直径由 变为
14、 。已知转弯前断面压强 （相对压强），输水流量 ，不计水头损失，试求水流对弯管作用力的大小。 解： 取控制体由1-1，2-2断面及管壁围成的空间，坐标系如图。分析作用在控制体内 液体上的作用力： 重力： 过流断面上的动水压力： 弯管对水流的作用力： 列总流动量方程在x，y轴方向 的投影式,其中列1-1，2-2断面的伯努利方程，忽略水头损失,水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力大小相等方向相反,例4-10 水平分岔管路，干管直径 ，支管直径，分岔角 。已知分岔前断面的压力表读值 ，干管流量 ，不计水头损失。试求水流对分岔管的作用力。 解： 取控制体由1-1，2-2，3-3断面及管壁围成的空间，
15、坐标系如图。分析作用在控制体内 液体上的作用力： 重力： 过流断面上的动水压力： 分岔管对水流的作用力： 列总流动量方程在x轴方向 的投影式,其中列1-1，2-2(或3-3)断面的伯努利方程，忽略水头损失,水流对分岔管的作用力与分岔管对水流的作用力大小相等方向相反,例4-11 水平方向的水射流，流量 ，出口流速 ，在大气中冲击在前后斜置的光滑平板上，射流轴线与平板成角 ，不计水流在平板上的阻力，试求：( 1) 沿平板的 ；（2）射流对平板的作用力。 解：取控制体由1-1，2-2，3-3断面及射流表面与平板内壁，坐标系如图。分析作用在控制体内 液体上的作用力： 重力： 过流断面上的动水压力为0：
16、 平板对水流的作用力： 列总流动量方程在x,y方向上的 投影,列1-1，2-2,3-3断面的伯努利方程，忽略水头损失,水流对平板的作用力与平板对水流的作用力大小相等方向相反,指向平板,4.6 无粘性流体的无旋流动 4.6.1 无粘性无旋流动的伯努利方程 无粘性流体无旋流动的伯努利方程 或 物理意义：无粘性流体恒定无旋流动全流场单位重量流体的机械能守恒。 无粘性流体无旋流动的伯努利方程与无粘性流体元流伯努利方程形式完全一样，但含义和应用范围不同，元流伯努利方程在同一条流线上成立，而 无旋流动的伯努利方程全流场成立。,4.6.2 速度势函数 由曲线积分定理可知，无旋条件式：是使表达式 成为某一函数
17、 的全微分的充要条件，即,比较得即： 式中： 无旋运动的流速势函数，简称势函数。 由此可以得出，无旋流动是有速度势的流动，反之，有速度势的即是无旋流动。 对于不可压缩的平面流体流动中，将式代入连续性微分方程,有即： 该式是著名的拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函数是调和函数。所以，调和函数的一切性质，也是速度势函数具有的性。,6.4.3 平面流动与流函数 根据不可压缩液体平面流动的连续性微分方程，有它是使 成为某一函数 的全微分的充分与必要的条件，则有得到称为不可压缩液体平面流动的流函数。实际上，无论是无旋势流还是有旋流动，无论是理想液体还是实际液体，在不可压缩液体的平面流动中必存在流函数。上
18、式说明了，若能确定流函数一个未知数，则也可求得ux与uy。,流函数的性质 ： 1、流函数等值线 就是流线。 证明：得平面流线方程： 得证。 2、不可压缩流体的平面流动中，任意两条流线的流函数之差等于这两条流线间所通过的单位宽度流量dq。,现证明如下：如图所示，在流函数1与3的两条流线间有任一曲线AB(不一定垂直于流线)，在它上面任取一微元线段 ，其流速为 ，假定垂直于流动平面的宽度等于1， 则通过 流量 故式中 是微元线段 的法向单位矢量； 这一积分与曲线AB的形状无关，仅决定于A、B两点的值。由此得证。,3、平面无旋流动的等流函数线（流线）与等势线正交 证明：对于平面无旋流动，同时存在速度势
19、和流函数。由流线方程某一点斜率由等势线方程同点等势线斜率乘积所以流线与等势线正交，故等势线也就是过流断面线。,4、平面无旋流动，流函数是调和函数 证明：平面无旋流动，有将 代入得或 式中式说明了不可压缩液体平面势流中流函数也是调和函数，它也满足拉普拉斯方程。,对比式和式得即柯西-黎曼条件， 为一对共轭调和函数。,4.6.4 基本平面势流 1、均匀直线流动 速度场：速度势：流函数：当流动方向平行x轴：当流动方向平行y轴：,2、源流和汇流 （1）源流：流体从平面上的一点o流出，均匀地向四周径向直线流动。 速度场：速度势：流函数：等势线方程 ，等势线是以O点为圆心的同心圆。 流线方程 ，流线是由O点
20、引出的射线。 以直角坐标表示,（2）汇流：；流体从四周沿径向均匀地流入一点。 速度势：流函数：以直角坐标表示源流和汇流是一种理想化的流动，在原点（源点或汇点）是不可能的，这样称为奇点。如将原点附近除外，注水井向地层注水，地下水从四周向汲水井汇集，可看作是平面点源和点汇流。,3、环流：流体绕固定点作圆周运动，且速度与圆周半径成反比 。 速度场：速度势：流函数：等势线方程 ，等势线是由O点引出的射线。流线方程 ，流线是以O点为圆心的同心圆。 以直角坐标表示,4.6.5 平面无旋流动的叠加原理 平面势流问题归结于在具体的边界条件下求解势函数或流函数所满足的拉普斯方程。由于拉普拉斯方程是线性的，所以几个势函数或流函数的线性叠加仍然满足拉普斯方程。这就是说，几个势流叠加后的流动仍然是势流。 （证明略） 势流的叠加原理为我们提供了一种求解较复杂流动的方法，可以将几种最简单的已知势流叠加起来得到较复杂的势流。当然，叠加的结果还应满足所考察问题中的边界条件。因为合乎边界条件的解一般说来只有一个，所以问题的解是唯一的。,
