1、数系的扩充,数系的扩充,从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展. 从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.,自然数,自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前.,负数,负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.,刘徽（公元250年前后）,数集扩充到整数集,分数（有理数）,分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.,数集扩充到有理数集,1,1,边长为1的正方形的对角线长度为多少？
2、,？,无理数,毕达哥拉斯(约公元前560480年）,无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”. “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.,数集扩充到实数集,实数集能否继续扩充呢?,正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.,请解下面方程,在实数范围内有解吗？,历史回顾,1484年，法国数学家舒开（Chuquet,1445-1500）在其算数三篇中，解方程式,得根：,他声明这个根是不可能的.,历史回顾,意大利波洛尼亚大学数学教授卡尔丹在这个问
3、题上作出了重要贡献.,卡尔丹(Cardano,1501-1576),历史回顾,1545年，卡尔丹在大衍术中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了.”,能作为“数”吗？它表示什么意义呢？,虚数,虚数是“算”出来的.1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数” （“想象中(imaginary)的数”）.,笛卡尔(R.Descartes,1596-1661),虚数,1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“i ” 表示称为虚数单位.,欧拉(L.Euler,17071783),数集再次扩充,数系扩充的科学道理,从数学内部来看，数集是在按某种 “
4、规则”不断扩充的。 自然数集中， ？ 运算中可以实施； 整数集中， ？ 运算中可以实施； 有理数集中， ？ 运算中可以实施； 实数集中， ？ 运算中可以实施.,数系扩充的科学道理,自然数中减法产生 ， 整数系统； 整数中除法产生 ， 有理数系统； 自然数中开方产生 ， 实数系统； 负数中开方产生 ， 新的系统.,负数,分数,无理数,虚数,数系扩充的科学道理,逆运算在数系的扩充中扮演着极为重要的角色； 逆运算的运算法则来源于正运算，因此比正运算困难，以致可能出现无法进行的现象，从而必须引进新东西，使数系得以扩展.,数系的每一次扩充， 基本都是运算的需要,数集扩充到复数集,在复数范围内解下面方程,
5、小结,1. 了解：数的发展经历,理解：下列字母：Q、R、C、Z、N分别表示什么数集，用符号表示它们的包含关系.,从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展. 从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.,引入一个新数 i, 叫做虚数单位，并规定：,2.对虚数单位i的规定,(2)实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算律仍然成立。,(1) i 2= 1；,在上述种规定下,我们把 形如 a+b i（其中 a、b R）的数称为复数， 通常用字母z表示. a+b i（ a、b R）也称为复数的代数形式. 其中a叫做复数z的 实部 ，b叫做复数z的 虚
6、部 . 全体复数组成的集合叫做复数集,记为 C .,3.复数及相关概念,4.复数分类,复数z=a+bi(a,bR),注意：a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 条件.,必要但不充分,5. 记识,-1的平方根为 ，-a(a0)的平方根为 .,i,6. 两个复数相等的充要条件,设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)， 则 z1=z2,即:两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等。,注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小,实数,无理数,分数,自然数（包括0）,有理数,负整数,整数,复数,虚数,(自然数集N),(整数集Z),(有理数集Q),(实数集R),(复数集C),
