1、3.2.3 指数函数与对数函数的关系1了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对称关系(重点)2利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异3利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题(难点)基础初探教材整理 1 指数函数与对数函数的关系阅读教材 P104P 105 内容，完成下列问题1反函数(1)互为反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量称这两个函数互为反函数(2)反函数的记法：函数 yf(x)的反函数通常用 yf 1 (x)表示2指数函数与对数函数的关系(1)指数函数 ya x
2、与对数函数 ylog ax 互为反函数(2)指数函数 ya x与对数函数 ylog ax 的图象关于 yx 对称1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(2)函数 y log3x 的反函数的值域为 R.( )(3)函数 y ex的图象与 ylg x 的图象关于 yx 对称( )【答案】 (1) (2) (3)【解析】 所以 g(x)的图象一定过点(1,0)【答案】 (1,0)小组合作型指数函数与对数函数图象之间的关系(1) 已知 a0，且 a1，则函数 ya x与 ylog ax 的图象只能是( )A B C D(2)当 a1 时，在同一坐标系中，函数 ya x 与 ylog ax 的图象是图中
3、的( )A B.C D.(3)将 y2 x的图象_ ，再作关于直线 yx 对称的图象，可得到函数 ylog 2(x1) 的图象( )A先向上平移一个单位长度B先向右平移一个单位长度C先向左平移一个单位长度D先向下平移一个单位长度【解析】 (1)y a x与 ylog ax 的单调性一致，故排除 A、B；当0a1 时，排除 D；当 a1 时，C 正确(2)因为 a1 时，ya x ,00，(2)由 y5x1，得 x ，y 15f 1 (x) (xR)x 15求函数的反函数的主要步骤1从 yf(x )中解出 x(y)2将 x，y 互换3标明反函数的定义域(即原函数的值域)，简记为“一解、二换、三写
4、” 再练一题2求下列函数的反函数(2)y 2x1.【解】 (2)由 y2x1，得 x (y1)，12对换 x，y 得 y x ，12 12又 xR 时， yR，y2x1 的反函数是 y x (xR).12 12反函数性质的应用已知 x1 是方程 xlg x3 的一个根， x2 是方程 x10 x3的一个根，则 x1x 2 的值是 ( )A6 B3C 2 D1【精彩点拨】 两方程分别化为：lg x3x,10 x3x .令 f(x)lg x，g( x)10 x，h( x)3x .把三个函数图象画在同一坐标系中，则x1、x 2 分别是直线 h(x)与 f(x)、g(x)图象交点的横坐标，注意 f(x
5、)与 g(x)互为反函数【解析】 将已知的两个方程变形得lg x3x,10 x3x.令 f(x)lg x，g(x)10 x，h(x) 3x.如图所示记 g(x)与 h(x)的交点为 A(x1，y 1)，f(x)与 h(x)的交点为 B(x2，y 2)，利用函数的性质易知 A、B 两点关于直线 y x 对称，便有 x1y 2，x 2y 1 的结论将 A 点坐标代入直线方程，得 y13x 1，再将 y1x 2 代入上式，得 x23x 1，即 x1x 23.故选 B.【答案】 B解答本题可先根据两个方程的形式特点，观察出从正面难以入手，可变换方程形式，用数形结合的方法解决.再练一题3若把方程中的“l
6、g x”改为“log 2x”， “10x”改为“2 x”，再求 x1x 2 的值【解】 将方程整理得 2xx3，log 2xx 3.如图可知，a是指数函数 y2 x的图象与直线 yx 3 交点 A 的横坐标，b 是对数函数 ylog 2x 的图象与直线 yx3 交点 B 的横坐标由于函数y2 x与 y log2x 互为反函数，所以它们的图象关于直线 yx 对称，由题意可得出 A、B 两点也关于直线 yx 对称，于是 A、B 两点的坐标为 A(a，b)，B( b，a)而 A、B 都在直线 yx3 上，ba3(A 点坐标代入 )或 ab3( B 点坐标代入) ，故ab3，即 x1x 2 3.探究共
7、研型对数函数单调性的综合应用探究 1 对数函数 y logax(a0，a1) 的定义域是什么？其单调性如何？【提示】 定义域为(0，)当 a1 时，函数 ylog ax 在(0，) 上单调递增，当 00，且 a1) 的反函数，且 f(2)1，则 f(x)等于( )Alog 2x B.12xC D2 x2【解析】 函数 ya x(a0，且 a1)的反函数是 f(x)log ax，又f(2)1，即 loga21，所以 a2，故 f(x) log2x.【答案】 A3已知函数 f(x)2 x1 ，则 f1 (4)_.【解析】 由 2x1 4，得 x1，f 1 (4)1.【答案】 14设函数 f(x)log 2x3，x1，)，则 f1 (x)的定义域是_【解析】 x1， log2x0，log 2x3 3，f 1 (x)的定义域为 3， )【答案】 3，)5已知函数 f(x)a xb(a0 且 a1) 的图象过(1,7)，其反函数f 1(x)的图象过点(4,0)，求 f(x)的表达式【解】 yf 1 (x)过(4,0)点，yf(x)过点(0,4) ，1b4，b3，又f(x) a xb 过点(1,7)，ab7，a4.f(x) 4 x3.
