1、1.2.3 空间中的垂直关系 (2)平面与平面垂直自主学习学习目标1掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理，判定两个平面互相垂直2掌握两个平面垂直的性质定理，并能利用该定理作平面的垂线3理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系自学导引1如果两个相交平面的交线与第三个平面_，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相_，就称这两个平面互相垂直2如果一个平面过另一个平面的_，则两个平面互相垂直3如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面对点讲练知识点一 面面垂直的证明例 1 如图所示，四边形 ABCD是平行四边形，直线 SC平面 ABCD，E 是 SA的中
2、点求证：平面 EDB平面 ABCD.点评 将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键，另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是 90(如例 1)变式训练 1 如图所示，在空间四边形 ABCD中，ABBC，CDDA，E、F、G 分别为 CD、DA 和对角线 AC的中点求证：平面 BEF平面 BGD.知识点二 面面垂直的性质定理的应用例 2 如图所示，P 是四边形 ABCD所在平面外的一点，ABCD 是DAB60且边长为 a的菱形侧面 PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.(1)若 G为 AD边的中点，求证：BG平面 PAD；(2)求证：ADPB.点评 证明线面垂直，一种方法是利用线面
3、垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线变式训练 2 如图所示，四棱锥 PABCD的底面是边长为 a的菱形，BCD120，平面 PCD平面ABCD，PCa，PD a，E 为 PA的中点求证：平面 EDB平面 ABCD.2知识点三 线线、线面、面面垂直的综合应用例 3 如图所示，平面 PAB平面 ABC，平面 PAC平面 ABC，AE平面 PBC，E 为垂足(1)求证：PA平面 ABC；(2)当 E
4、为PBC 的垂心时，求证：ABC 是直角三角形点评 证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个 方面，有时需考虑多种情况的综合在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直变式训练 3 在直三棱柱 ABCA1B1C1的底面ABC 中，ABBC.能否在侧棱 BB1上找到一点 E，使得截面 A1EC侧面 AA1C1C？若能找到，指出点 E的位置；若不能找到，说明理由1面面垂直的证法(1)定义法；(2)判定定理法2面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理至此判定线面垂直的方法
5、主要有以下五种：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，Error!b.(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，Error!a. 【答案解析】自学导引1垂直 垂直2一条垂线3交线对点讲练例 1 证明 连接 AC，设 AC、BD 交点为 F，连接 EF，EF 是SAC 的中位线，EFSC.SC平面 ABCD，EF平面 ABCD.又 EF 平面 EDB，平面 EDB平面 ABCD.变式训练 1 证明 ABBC，CDAD，G 是 AC的中点，BGAC，DGAC
6、，AC平面 BGD.又 EFAC，EF平面 BGD.EF 平面 BEF，平面 BDG平面 BEF.例 2 证明 (1)连接 PG，由题意知PAD 为正三角形，G 是 AD的中点，PGAD.又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PG平面 ABCD，PGBG.又四边形 ABCD是菱形且DAB60，ABD 是正三角形，BGAD.又 ADPGG，BG平面 PAD.(2)由(1)可知 BGAD，PGAD.所以 AD平面 PBG，所以 ADPB.变式训练 2 证明 设 ACBDO，连接 EO，则 EOPC.PCCDa，PD a，2PC 2CD 2PD 2，PCCD.平面 PCD平面
7、 ABCD，CD为交线，PC平面 ABCD，EO平面 ABCD.又 EO 平面 EDB，平面 EDB平面 ABCD.例 3 证明 (1)在平面 ABC内取一点 D，作 DFAC 于 F.平面 PAC平面 ABC，且交线为 AC，DF平面 PAC，PA 平面 PAC，DFAP.作 DGAB 于 G.同理可证 DGAP.DG、DF 都在平面 ABC内，且 DGDFD，PA平面 ABC.(2)连接 BE并延长交 PC于 H.E 是PBC 的垂心，PCBE.又已知 AE是平面 PBC的垂线，PCAE.PC面 ABE.PCAB.又PA平面 ABC，PAAB.又 PCPAP，AB平面 PAC.ABAC，即ABC 是直角三角形变式训练 3 解 假设能够找到符合题意的点 E.如图所示，作 EMA 1C于点 M.因为截面 A1EC侧面 AA1C1C，所以 EM侧面 AA1C1C.取 AC的中点 N，连接 MN，BN，因为 ABBC，所以 BNAC.又因为 AA1BN，所以 BN侧面 AA1C1C，所以 BNEM.因为平面 BEMN平面 AA1C1CMN，BE平面 AA1C1C，所以 BEMNA 1A.因为 ANNC，所以 A1MMC.因为四边形 BEMN为矩形，所以 BEMN A1A.12所以当 E为 BB1的中点时，平面 A1EC侧面 AA1C1C.高 考试 题?库
