1、1平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一：平面向量 共线的充要条件是（ ）A. 方向相 同 B. 两向量中至少有一个为零向量 C.存在ba, ba, ba,D 存在不全为零的实数,R 0,212变式一：对于非零向量 ， “ ”是“ ”的（ ）ba,0ba/A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件变式二：设 是两个非零向量（ ）ba,A.若 则 B. 若 ，则 C. 若 ，则存在实数 ，使得_baba_ba_D 若存在实数 ，使得 ，则ab例二：设两个非零向量 ，不共线，21e与（1）如果 三 点 共 线 ；求 证 ： DCAeCDBA ,28,
2、3, 121（2）如果 求实数 k 的值。三 点 共 线 ，且kee21变式一：设 两个不共线向量， 若三点 A,B,D 共线，求实数21e与 ,2,3,212121 eCDeBekAk 的值。变式二：已知向量 ，且 则一定共线的三点是（ ）ba, ,27,25,2babaCbaBA.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设 P 是三角形 ABC 所在平面内的一点， 则（ ）,BAPA. B. C. D. BA0AC0C0PBA0变式一：已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边的中点，且 ,那么（
3、 ）A. OC22B. C. D. ODA020ODA30A02变式二：在平行四边形 ABCD 中 ， ， ,M 为 BC 的中点，则 ( 用 表示)aBbNC3MNba,例二：在三角形 ABC 中， ， ,若点 D 满足 ,则 ( )cACB2ADA. B. C. D. ,312cb,325b,312cb3cb变式一：(高考题) 在三角形 ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分角 ACB, ， , ,则aCBbA2,1a( )CDA. B. C. D. ,321ba,31ba,543ba,53ba变式二：设 D,E,F 分别是三角形 ABC 的边 BC,CA,AB 上的点，且 则,2
4、BDC,EA,2FB与 ( )CFBEAD,A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 ,其 则 =AFEC,R变式四：在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，若 ,aAC则 ( )A. B. C. D. ,bBDAF,214ba,31ba,412ba,32ba题型三：三点共线定理及其应用例一：点 P 在 AB 上，求证： 且 =1（ ）OBAP,R变式：在三角形 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O
5、的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M 和 N,若则 m+n=,AMmB,NnC例二：在平行四边形 ABCD 中，E,F 分别是 BC,CD 的中点，DE 与 AF 交于点 H,设 则,aAB,bCAH3A. B. C. D. ,542ba,542ba,542ba,542ba变式：在三角形 ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 是边 AC 上一点且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,若 求,PMA的值。题型四： 向量与三角形四心一、内心例一：O 是 ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足 ，则点 P ），【 0),(ACBOA的轨迹一定通过 ABC 的（ ）A.外心
6、 B.内心 C.重心 D.垂心 变式一：已知非零向量 与 满足 ，且 ，则 ABC 为（ ABC0)(BCA21ACB）A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形变式二： P 为 ABC 的内心 0BCAPBCA 二、重心例一：O 是 ABC 内一点， ，则为 ABC 的（ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 0O变式一：在 ABC 中，G 为平面上任意一点，证明： O 为 ABC 的重心)(31GBAG变式二：在 ABC 中，G 为平面上任意一点，若 O 为 ABC 的重心 )(CAO三垂心：例一：求证：在 ABC 中， O 为 ABC 的垂心
7、 ACBOA变式一：O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的（ ）,),( RSASBP A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 4四外心例一：若 O 是 ABC 的外心，H 是 ABC 的垂心，则OBCAOH变式一：已知点 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 ，, NCA0，则 O，N，P 依次是 ABC 的（ ）ACBPA A. 重心、外心 、垂心 B. 重心、外心 、内心 C. 外心 、重心、垂心 D. 外心 、重心、 内心题型五：向量的坐标运算 例一：已知 A(-2,4),B(3，-1)，C(-3，-4)，且 ,试求
8、点 M,N 和 的坐标。CBNAM2,3MN变式一：已知平面向量 其中 t向 量),2,1(),3(ba ,b3）（ tax ,btaky和 k 为不同时为零的实数， （1）若 ，求此时 k 和 t 满足的函数关系式 k=f(t);(2)若 ，求此时 kyx yx/和 t 满足的函数关系式 k=g(t).变式二：平面内给定 3 个向量 ，回答下列问题。 （1）求 ；)1,4(),21(),23(cba cba23（2）求满足 的实数 m,n;(3)若 ，求实数 k；（4）设cnbma/abka且 ，求 。)/()(),(dyxd满 足 cdd题型六：向量平行（共线） 、垂直充要条件的坐标表示例
9、一：已知两个向量 ,当实数 k 取何值时，向量 与 平行？)23(),1(ba， bak24变式一：设向量 a,b 满足|a|= ，b=（2,1） ，且 a 与 b 反向，则 a 坐标为_5例二：已知向量 且 A,B,C 三点共线，则 k=（ ）)10,(),4(),12(kOCBkOAA: B: C: D:233变式一：已知 且 a/b，则锐角 为_),1(cos),sin2(ba，变式二： ABC 的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c 设向量 若 ，则C),(),(acbqcapqp/的大小为（ ）A: B: C: D:63235题型七：平面向量的数量积例一：（1）在 Rt
10、ABC 中，C=90， AC=4，则 （ ）A：-16 B:-8 C:8 D:16CB（2）(高)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 的值为_； 的最大值为BDECBDE_（3）在 ABC 中， M 是 BC 中点， AM=1，点 P 在 AM 上满足 ，则 等于（ ）PM2)(PA: B: C: D:94349变式一：(高) 如图所示，平行四边形 ABCD 中， AP BD，垂足为 P，且 AP=3，则 =_AC变式二：在ABC 中，AB=1，BC= ，AC= ，若 O 为ABC 的重心，则 的值为_23ACO例二：(高)在矩形 ABCD 中，AB= ,BC
11、=2,点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若 ,则 的2FBBFAE值是 变式一：(高)在ABC 中， , ,AC=2.设点 P,Q 满足 ,若09A1B RCAQP,)1(,则 =（ ）A: B: C: D:2 2CPBQ3234例三：已知向量 满足 则 cba, ,2,10cbac acba变式一：在ABC 中，若 则 ,6,4,3ACBA ABCB变式二：已知向量 满足 则 cba, ,2,1,0bac且 c变式三：已知向量 满足 则 , ,1,),a若且 （ 22cb题型八：平面向量的夹角例一：已知向量 则 的夹角是 ),02(),31(baba与例二：已知 是非零向量且
12、满足b, 则 的夹角是 ,)2(,)baba（ 与6变式一：已知向量 满足 则 的夹角是 cba, ,2,1cabcbb与变式二：已知 是非零向量且满足 则 的夹角是 , ,a与变式三：若向量 不共线， 则 的夹角是 ba与 ,)(,0bacb且 c与变式四：(高) 若向量 满足 且以向量 为邻边的平行四边形的面积为.，则 的与 ,1,与 与夹角的取值范围是 例二：已知 ， 的夹角为 ，求使向量 与 的夹角为锐角的 的取值范围。1,2baa与 045ba变式一：设两个向量 ，满足 ， 的夹角为 ，若向量 与 的夹角为钝21,e1,21e2e与 3217et21t角，求实数 t 的范围。变式二：
13、已知 均为单位向量，其夹角为 ，有下列 4 个命题：ba与 );32,01:1p ;,32(1: bap );3,01:3bap其中的真命题是（ ）A. B. C. D. (4 413,2p42,p题型九：平面向量的模长例一：已知 ，向量 的夹角为 ，求 ， 。5baba与 3ba变式一：已知向量 满足 ，则 = 与 2,1变式二：已知向量 满足 的夹角为 ，则 = ba与 ,ba与 3ba变式三：在ABC 中，已知 求 .,60,4,3ABCAB例二：已知向量 的夹角为 ， 则 = ba与 2,13,ba变式一：(高) 已知向量 的夹角为 ，且 则 = 与 4,02,b7变式二：设点 M 是
14、线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外， , = ,则 162BCACBAM变式三：已知向量 ，若 则 )2,1(),4(ba,)(bacc例三：已知向量 ，满足 ，且 的取值范围是 ),0(,， 则的 夹 角 为与 012变式一：已知单位向量 ，且 ， 的最大值为 cba,0 cbacba则,0)(变式二：(高)已知直角梯形 ABCD 中，AD/BC, ,AD=2，BC=1，P 是腰 DC 上的 动点，则09ADC的最小值为 PBA3题型十：平面向量在三角函数中的应用例一：在ABC 中，A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c，已知向量 ，且满足)cos1,(sin),si2,1( A
15、Amacbnm3,/（1）求 A 的大小（2）求 的值)6si(B变式一：已知变量 ，函数)3cos,(sin),3co,(sxxm nmxf)(（1）求 f(x)解析式（2）求 f(x)的 单调递增区间（3）如果ABC 的三边 a,b,c 满足 ，且 b 边所对的角为 x，试求 x 的范围和此时 f(x)的值域ac2变式二：已知向量 2,0),3sin,2(o),3sin,2(co xxa（1）求证 ab 及| a+b|（2）定义 f(x)=ab-2m|a+b|,若函数 f(x)的最小值为 ，求实数 m 的值变式三：在三角形 ABC 中，已知BCA3（1） 求证 ABtan3t（2）若 ，求
16、 A 的值5cosC8题型十一：平面向量在解析几何中的应用例题一：设曲线 C 上任意一点 满足向量 且),)(RyxM),2(),2(yxbyxa8|ba（1）求曲线的方程（2）过点 N（0,2）作直线 l 与曲线 C 交与 A， B 两点，若（ O 为坐标原点） ，是否存在直线 l，使四边形 OAPB 为矩形；若存在，求出直线 l 的方程；反之，叙述理由。变式一：已知三点 O（0,0） ， A（-2,1） ， B（2,1） ，曲线 C 上任意一点 M（ x,y）满足，求曲线方程。2MBA正余弦定理题型全归纳题型一：已知两边及一边对角且角为锐角时需讨论(1)a=4,b=5,A= (两解);(2
17、)a=5,b=4,A= (一解)0306方法汇总：方法一：大边对大角；方法二：利用高 h=bsinA 与 a 的讨论方法三：利用余弦讨论题型二：利用正弦定理解三角形例一：在ABC 中，若 B= , 则 C=045,2b变式一：在ABC 中，若 c=2,A= ,a= ,则 B= 013变式二：在ABC 中，A,B,C 的对边为 a,b,c,a= ,b=2,sinB+cosB= ,则 A 的大小为 22变式三：在ABC 中，A,B,C 的对边为 a,b,c, B= ,cosA= ,b=3543(1)求 sinC;(2)求ABC 面积。变式四：在ABC 中，A,B,C 的对边为 a,b,c,A=2B
18、,sinB= ,(1)求 cosA 的值；（2）b=2,求边 a,c 的长。3题型三：利用正余弦定理进行边角转化例：在ABC 中，若 A=2B,则 的取值范围为 ba变式一：在ABC 中，B= ,AC= ,则 AB+2BC 的最大值063变式二：(12 新课标)已知 a,b,c 分别为ABC 三个内角 A,B,C 的对边 c= asinC-ccosA.(1)求角 A 的大小； 3（2）若 a=2, ABC 的面积为 ，求 b,c.39题型四：利用余弦定理解三角形例：在ABC 中，b=1,c= ,C= ,则 a= 32变式一：在ABC 中，若 a=2,b+c=7,cosB=- ,则 b= 41变
19、式二：已知在ABC 的三边成公比为 的等比数列，则其最大角的余弦值为 2变式三：在ABC 中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c，若 ，则 cosC 的最小值为 22cba变式四：(12 辽宁)在ABC 中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c， ，aAbB2ossin（1）求 ；（2）若 求 B。ab223cba题型五：利用余弦定理进行边角转化例：在ABC 中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c，若 ，则角 B 的值为（ ）acBbca3tn)(22变式一：在ABC 中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c，且 ,(1)求 A 的值。 （2）CbAsin)2(si)(si 求 sinB+
20、sinC 的最大值。变式二：（10 江苏）在锐角ABC 中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c，若 ,则 bacos6Btant变式三：在ABC 中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c，且 ，sinAcosC=3cosAsinC,求 b.ca22题型六：判断三角形的形状方法汇总：（1）求最大角的余弦，判断ABC 是锐角、直角、还是钝角三角形（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰，等边还是直角三角形例：在ABC 中，若 sinC=2cosAsinB,则此三角形为 变式一：（12 上海）在ABC 中，若 ,则ABC 的形状是 CBA222sinisin变式二：在AB
21、C 中，有以下结论（1） ，则ABC 为钝角三角形；22cba（2） ，则06A(3) ,则ABC 中为锐角三角形；2c10（4） ，则 a:b:c=1:2:3.其中正确的为 3:21:CBA变式三：已知ABC 中， ，则ABC 的形状为 cbAcos变式四：已知函数 f(x)= xx22sinosi3(1)求 f(x)的最小正周期和值域；（2）在ABC 中，角 A,B,C 的对边为 a,b,c，若 bcAf2a)(且,试判断ABC 的形状。题型七：正余弦定理与向量的综合例一：在ABC 中，内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,若 .(1)求证：A=B;(2)求边长 c 的值；1BCA（3
22、）若 ,求ABC 的面积。6ACB变式一：在ABC 中，AB=2，AC=3， ,则 BC= 1BCA变式二：在ABC 中，内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,A= , 。 （1）求 C;(2)若 ,6bc2)3( 31CAB求 a,b,c.变式三：在ABC 中，内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c,且 ,(1)求ABC 的面积；（2）3,52cosACBb+c=6,求 a 的值。变式四：在ABC 中，内角 A,B,C 对边分别为 a,b,c, 且 .（1）求 cosB 的值；（2）caboscs若 ，且 b=2 ,求 a 和 c 的值。2BCA题型八：解三角形的实际应用例：甲船以 3
23、0 海里/h 的速度向北航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 处时，乙船位于甲船北1A偏西 方向的 处，此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20min 到达 处时，乙船航行到甲船的北偏西0151B 2方向的 处，此时两船相距 10 海里，求乙船的速度。222 2A2B1111变式一：为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位置，在海岸上选取距离 1km 的两个观测点 C,D。在某天 10：00观察到该船在 A 处，此时测得 = ,2min 后，该船行驶到 B 处，此时测得 = , = ,ADC03 ACB06D045= ,则船速为 （km/min）DB06BAC D变式二：当甲船位于 A
24、处时获悉，在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 ，相距 10 海里 C 处的乙船。 （1）求处于 C 处的乙船和遇险渔船间的距离；03（2）设乙船沿直线 CB 方向前往 B 处救援，其方向与 成 角，求 f(x)= 的值域。A )(cossin22 RxxA 20 B10C12数列题型归纳（全）题型一：求等差数列的公差或取值范围例一：等差数列 的前 n 项和 ，若 =4， =20，则该数列的公差 d 等于 as24s变式一：等差数列 中， ，则该数列的 的公差为 n 7,10451ana变式二：已知等差数列的首项为 31，
25、若从第 16 项开始小于 1，则此数列的公差 d 的取值范围是 题型二：求等比数列的公比例一：在等比数列 中， ，则公比 q 的值为 na20120138a变式一：等比数列 的前 n 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，若 =1，则 =（ ）ns142a31a4s变式二：设公比为 q（q0）的等比数列 的前 n 项和为 ，若 =3 +2， =3 +2,则 q= ns24变式三：等比数列 的前 n 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的公比为 ans123na题型三：求等差与等比数列的通项例 1：（1）已知递增的等差数列 满足 ， ，则 = na1423an(2)已知等比数列 为递增数列，且
26、，则数列 的通项公式 = na 120255)(,n nana变式一： 为等差数列 的前 n 项和， = ， ，则 = ns 2s64an变式二：已知两个等比 ， ，满足 ， ， ， ，求数列 的通项nab11b2ab34abn公式。例 2：若数列 的前 n 项和 ，则此数列的通项公式为 ,.)32(02ns变式一：已知数列 的前 n 项和 ，则其通项 = ；若它的第 k 项满足 ，则a92na 85nak= 变式二：已知数列 的前 n 项和 ，(a 为非零实数)，那么 是否是等差数列？是否是等比数列？1nas n13题型四：等差等比数列的求和例：在等比数列 （n ）中，若 =1， ，则该数列
27、的前 10 项和为 a*N1a84变式一： 是正数组成的等比数列， 为前 n 项和，已知 ，则 = n s 7,1342sans变式二：设 f(n)= (n ),则 f(n)= 103107422n*N题型五：对于等比数列求和公式中 q 的讨论例：设等比数列 的前 n 项和为 ，若 成等差数列，求数列的公比 q.ans693,s变式一：设等比数列 的前 n 项和为 ，且 ，则其公比 q 等于 n3a变式二：求和 ),2()12(7531 *32 RxNnxxs nn 题型六：对于奇偶项求和问题的讨论例：已知数列 的通项公式为 ，求其前 n 项和 .na 为 正 偶 数 ）为 正 奇 数 ） ；
28、na(-(22 s变式一：已知数列 的通项公式为 ，求其前 n 项和 .n 为 正 偶 数 ）为 正 奇 数 ） ； nn (3(1题型七：对于含绝对值的数列求和例：已知数列 的前 n 项和 =10n- ,数列 的每一项都有 ，求 前 n 项和 .as2nnbnabbT变式一：在等差数列 中， （1）求使 0, 是等比数列。 （2）设 是正项等比数列，证明nanac)1cnalognc（c0, 是等差数列。)变式一：数列 的前 n 项和记为 ，已知 （n=2,3,4）,证明：数列 是等比数列。ansnnsa2,1ns变式二：已知定义在 R 上的函数 f(x)和数列 满足下列条件： ，n )a.
29、4,32)(, 2111afnn 且，其中 a 为常数，k 为非零实数。令.)4,32)()()11akaff nnn 证 明,(*Nnb是等比数列。b二：中项公式法：例：已知数列 满足 (1)证明：数列 是等比数列；（2）na )(23,1*122 Nnaann 1na求数列 的通项公式；（3）若数列 满足 ,证明：数b )()(44 *1132 Nnbnbbb 16列 是等差数列。nb变式一：已知等比数列 的公比 q=-0.5， （1）na1向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数
30、量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算 图形语言 符号语言 坐标语言+ =OABC- =AB记 =(x1,y1)，OA=(x1,y2)则+ =(x1+x2,y1+y2)- =（x 2-ABOx1,y2-y1）加法与减法+ =OB17实数与向量的乘积=ABaR记 =(x,y)a则 =(x,y)两个向量的数量积 =| |ab| |cosab记 =(x1,y1), a=(x2,y2)则 =x1x2+y1y2ab2重要定理、公式（1）向量共线定理：如果有一个实数 使 那么 与 是共线向量；反之，如果 是(0),b(0)ba与共线向量，那么有且只有一个实数 ，
31、使 。a（2）平面向量基本定理；如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量 ，有1e2 a且只有一对数数 1， 2，满足 = 1 + 2 。a（3）两个向量平行 ：设 =（x 1,y1） ， =(x2,y2)，则 x1y2-x2y1=0baba（4）两个向量垂直：设 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 x1x2+y1y2=0a 0（5）线段定比分点公式: 设 , 则P1OPO设 P（x,y） ，P 1（x 1,y1） ，P 2（x 2,y2）,则 1yx211、平面向量 已知 ， ，求 及 夹角。),2(),(),43(ycxbaabcb、 c与2、已知向量 = (
32、 )和 =( )， msin,cocos,in23,218（1）求 的最大值；|mn|（2）若 = ，求 的值|4105sin23、已知 、 、 三点的坐标分别为 、 、 ， ，ABC)0,3(A),(B)sin,(coC)23,(（1）若 ，求角 的值；（2）若 ，求 的值。1tan2sii2巩固练习1、若 为正方形， 是 的中点，且 ，则 = （ ）ABCDECD,ABaDbBE.2ba.12ba.12.122、已知 且 ，则 的值为 （ ）(,)(,)x)/()bx.A1.B.C3.D3、OAB 中， = ， = ， = ，若 = ，tR，则点 P 在 （ ）OabOPp)|b|a(tA
33、、AOB 平分线所在直线上 B、线段 AB 中垂线上C、AB 边所在直线上 D、AB 边的中线上4、已知点 C 在线段 AB 的延长线上，且 等于 ( )则,2CABA3 B C D313315、设 (1， )， (0，1)，则满足条件 0 1，0 1 的动点 P 的变动范围（图中阴影OM12 ON OP OM OP ON部分，含边界）是 （ ）192O xy11 2O xy11 2O xy11 2O xy11A B C D6、已知向量 ， ，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是 （ ）(2,)a(,)bab. . . .1(,)1(,)21(,)27、.已知向量 ，且 A,B,C 三点共线
34、，则 k=_.0,),54(),12(kOCBkOA8、已知 与 的夹角为 ，若 则 = .,aba(),ba9、若对 n 个向量 ，存在 n 个不全为零的实数 k1，k 2，k n，使得 = 成12,n 12nkaka 0立，则称向量 为“线性相关”.依次规定，请你求出一组实数 k1，k 2，k 3的值，它能说明 =(1,0), , 1=(1,1), =(2,2) “线性相关”：k 1，k 2，k 3的值分别是 ， ， .2a3a10、已知 则 的坐标是 .(2,5)|,bab与b11、设平面内的向量 点 是直线 上的一个动点，求当 取最(1,7)(5,1)(2,)OABOMPOMPAB小值
35、时， 的坐标及 的余弦值。P2012、设向量 ， ， ， ， ， 与 的夹(1cos,in)a(1cos,in)b(1,0)c(,)(,2)ac角为 ， 与 的夹角为 ，且 ，求 的值。1b21232参考答案二、1、1、 ，),(),43(xbaabx43823),2(ycac02,82(ccb 90,c2、 (1) mnosin,osin| 22c(c)= = 42(osin)4os41cos4 ， ， 3,572()2 max= |mn|42(2)由已知 ，得 |1053cos45sin2cos()4= 21cos()4= 9753、 （1） (cs3,in),(cos,in3)ACBC2
36、o)106106sinB由 得 又 Bcsi )2,(45（2）由 ，得1AC )3sincos)3( 32cosin95sin又 =ta1i2cosi1295cosin2所以， = 。 tansii29521三、16 B D A D A A7、. 8、 9、只要满足 即可 10、 （5，2）或（-5，-2） 324:2111、设 点 在直线 上， 与 共线，而(,).OPxyPOMP(,1)OM即 有 .202,(,)y(17)(52,1)AyBy2)5(1)0(8.PBy故当且仅当 时， 取得最小值 ，此时2,4yxPA84,)(3,5)OPA于是 (1,).3,2,(3)15BA8417cos .APBA12、 12
