1、层次分析法简介,层次分析法是萨蒂（saaty) 等人20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。,层次分析法简介,一、层次分析法基本原理,分解,建立,确定,计算,判断,实际问题,层次结构,多个因素,诸因素的相对重要性,权向量,综合决策,二、层次分析法基本步骤,一、确定权系数设x1,x2,xn为对应各因素的决策变量。其线性组合：y=w1x2+w2x2+ +wnx 是
2、综合评判函数。w1,w2, wn是权重系数，其满足：wi0 ,对权重系数的量化过程,（1）成对比较从 x1,x2,xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值： xi/xj1，认为“xi与xj重要程度相同”xi/xj3，认为“xi比xj重要程度略大”xi/xj5，认为“xi比xj重要程度大”xi/xj7，认为“xi比xj重要程度大很多”xi/xj9，认为“xi比xj重要程度绝对大”当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状态。,（2）建立逆对称矩阵,由xi/xj建立n阶方阵A(3) 迭代 按下列方法求向量迭代序列：e0=( 1/n 1/n 1/n)T
3、ek=Aek-1 | ek|为Aek-1 的n个分量之和ek= ek / | ek| , k=1,2, 数列 ek是收敛的，记其极限为e.且记e=(a1 a2 an)于是取权重系数wi=ai,例1：评价影视作品,在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：x1表示教育性x2表示艺术性x3表示娱乐性 有一名专家经成对，赋值：x1/x2=1 x1/x3=1 /5 x2/x3=1/3,于是得到逆对称矩阵,由于e4=e3 ,迭代经过4次中止，权系数是w1=0.156, w2=0.185, w3=0.659 相应的综合评价公式是 Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3如果用同样的分制来给作品
4、的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分y。,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,例2. 选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,“选择旅游地”思维过程的归纳,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,层次分析法的基本步骤,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C1,
5、C2, , Cn对目标O的重要性,A成对比较阵,A是正互反阵,要由A确定C1, , Cn对O的权向量,选择旅游地,成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,成对比较完全一致的情况,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n 的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即,一致阵性质,成对比较阵和权向量,2 4 6 8,比较尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反数1,1/2, , 1/9,心理学
6、家认为成对比较的因素不宜超过9个,用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。,便于定性到定量的转化：,成对比较阵和权向量,一致性检验,对A确定不一致的允许范围,已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n,可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵,定义一致性指标:,CI 越大，不一致越严重,为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。,定义一致性比率 CR = CI/RI,当CR0.1时，
7、通过一致性检验,Saaty的结果如下,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特征根=5.073,权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12 (查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,组合权向量,记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为,同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量,方案层对C1(景色)的成对比较阵,方案层对C2(费用)的成对比较阵,最大特征根 1 2 n,权向量 w1(3) w2(3) wn(3),
8、（2）考虑第3层对第2层 由19尺度得,权向量矩阵,（3）组合权向量,（4）组合一致性检验,组合权向量,RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验,w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110,方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ =0.300,方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T,再谈层次分析法的基本步骤,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的
9、成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,组合 权向量,第2层对第1层的权向量,第3层对第2层各元素的权向量,构造矩阵,则第3层对第1层的组合权向量,第s层对第1层的组合权向量,其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵,二. 层次分析法的广泛应用,应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。,处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。,建立层次分
10、析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。,构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。,例1 国家实力分析,例2 工作选择,通过组合一致性检验,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例3 横渡江河、海峡方案的抉择,例4 科技成果的综合评价,例5 某单位招聘工作人员，考核指标有x1= “语文知识”x2= “外语知识”x3= “国内外政治经济时事知识”x4= “计算机操作能力”x5= “公关能力”x6= “容貌与气质”x7=“体形高矮与胖瘦”x8= “音色” 由此建立层次结构模型如下：,0.237,0.348,0.415,0.500,0.154,0.346 0.250,0.750 0.
11、492,0.361,0.147,评价指标对应于目标层的权向量评价公式,层次分析法在彩票抽奖 方案选择中的应用,2002年全国大学生数学建模竞赛B题：已知29种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现 的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因 素评价各方案的合理性，设计一种“更好”的方案及相应的 算法。,一、 问题的提出已给的29种方案分为两种类型1、“传统型”采用“10选6+1”方案：投注者从09十个号 码中任选6个基本号码（可重复），从04中选一个特别 号码，构成一注 。根据单注号码与中奖号码相符的个数 多少及顺序确定中奖等级；,表1： “传统型” 中奖办法,2、“乐透型”有多种不同
12、的形式如“33选7”的方案：投注者从0133个号码中 任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码 与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等 级，不考虑号码顺序。,表2： “透乐型”（7/33）中奖办法,二、各方案各奖项获奖概率的计算29种方案的获奖概率分为4类 ： K1：10选6+1型，带限定条件的可重复排列； K2：n选m型，有特别号码，带限定条件的组合； K3：n选m+1型，有特别号码，带限定条件的组合； K4：n选m型，无特别号码，组合；,三、各高项奖奖金额的计算 当期销售总额总奖金比例 低项奖总额 单项奖比例一等奖奖金额（万元）其中：maxN为单注封顶金额；minN为单注保底金额；Qi
13、j 为第 i 种方案得第 j 等奖的单项奖比例； M为当期销售总 额；n为低项奖总额； Q为总奖金比例。,四、层次分析模型,2层对1层成对比较矩阵：风险喜好者偏好 风险回避者偏好3层对2层成对比较矩阵由方案相应的数值两两作 比值，得3个2929的矩阵B1，B2及B3。,考虑风险喜好者偏好，“29选7”为最佳方案 ，奖金 分配见下表：考虑风险回避者偏好，“60选5”为最佳方案 ，奖金 分配见下表：,补充：特征值与特征向量,定义：,成立，,则称数 为方阵 的特征值（根），非零列向量 称为属于特征值 的特征向量。,特征值满足的条件：,齐次线性方程组,齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是,A 的特征
14、方程,A 的特征多项式记为,表示 的n 次多项式，在复数范围内有n 个解，即有n 个特征值。,设 A 的特征值为,则,特征值和特征向量的计算方法,给定矩阵,先求其特征值，即解特征方程,再求对应于各特征值的特征向量，即解线性齐次方程组,的非零解 。 （注：若 为实数，则 为实向量，若 为复数， 则 为复向量）,定理2 对于正矩阵 A (A的所有元素为正)， 1）A 的最大特征值是正单根；,2）最大特征值对应有特征向量所有分量为正的特征向量。,定理1 属于不同特征值的特征向量线性无关。,正向量的归一化向量,为正向量，它的归一化向量是,归一化,有关定理,例1 求,的特征值和特征向量。,解：,基础解系为,则属于2的特 征向量为,基础解系为,则属于4的特 征向量为,求非负向量归一化向量,一般地，,例2 求,的特征值和特征向量。,解：,因此，解空间的维数为 3-2=1,即，基础解系为,则属于2的特 征向量为,因此，解空间的维数为 3-2=1,基础解系为,则属于1的特 征向量为,例3 求,的特征值和特征向量。,解：,基础解系为,则属于-1的特 征向量为,因此，解空间的维数为 3-1=2,基础解系为,则属于2的全 部特征向量为,
