1、安徽省安庆一中、安师大附中 2015 届高三第四次模考数学（理）试题一、选择题( 每小题 5 分，计 50 分)1、若 ，则 =（ ）2|2,|log(1)MxNxyMNA、 B、 C、 D、|0|0,0|12x2、复数 满足 ，则 等于（ ）z(1)43iizA、 B、 C、 D、i212i2i3、已知向量 与 的夹角为 ， ，则 在 方向上的投影为（ ）ababA、 B、 C、 D、6222624、 =（ ）01()xedA、 B、 C、 D、1312e325、已知 满足约束条件 ，若 取得最大值的最优解不唯一，则实数 的值为（ ,xy20xyzyaxa）A、 或 B、2 或 C、2 或
2、1 D、2 或121 16、为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点（ ）3cosyx3sin()6yxA、向右平移 个单位 B、向右平移 个单位C、向左平移 个单位 D、向左平移 个单位37、数列 是正项等比数列， 是等差数列，且 ，则有（ ）nanb67abA、 B、39410b39410C、 D、 大小不确定与8、已知 ，若 的必要条件是 ，则 之间的关系是()2()fxR()1fxa(,)xba,b（ ）A、 B、 C、 D、abab2b29、已知球 O 是棱长为 1 的正方体 的内切球，则平面 截球 O 的截面面积为（ 1AB1ACD）A、 B、 C、 D、 23610、现
3、有 16 张不同卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多 1 张，不同的取法为（ ）A、 232 种 B、252 种 C、472 种 D、484 种二、填空题：( 每小题 5 分，计 25 分)11、命题“存在 ，使 ”的否定是 xRxe12、已知函数 若函数 有 3 个零点，则实数 的取值范围是 21(0)()f()gxfmm。13、设 为正整数， ，计算得 ， ， ，n1()3fnn (2)f 5(4)2,(8),ff(16)3f观察上述结果，可推测一般的结论为 。14、双曲线 C 的左右焦点分别为 、 ，且 恰为抛
4、物线 的焦点，设双曲线 C 与该抛物线的一1F22yx个交点为 A，若 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率为 12A15、若函数 存在与直线 平行的切线，则实数 的取值范围()lnfxa0xya是 。三、解答题16、 （ 12 分）在锐角 中，ABC22cos()inbaAC（1 ）求角 ； （2）若 ，求 的取值范围。b17、 （ 12 分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以 30 天计） ，日旅游人数 （万人）与时间()ft（天）的函数关系近似满足 ，日人均消费 （元）与时间 （天）的函数关系近似满t 1()4ftt()gtt足 。()15gt（1 ）求该城市的旅游日
5、收益 （万元）与时间 的函数关系式；()wt(130,)ttN（2 ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）18、 （ 13 分）如 图 ， 棱 锥 的 底 面 ABCD 是 矩 形 ， 平 面 ABCD， 。PP2,PB求证：（1 ） 平面BDAC（2 ）求二面角 的余弦值 （3 ）在线段 上是否存在一点 Q，使 CQ 与平面 PBD 所 成的角的正弦值为 ，若存在，指出点 Q 的位置，若不存在，说明理由。6919、 （ 13 分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆xOy 2:1(0)xyEab的焦距为 2，且过点 。6(,)2（）求椭圆 E 的方程；（）若点 A、B 分别是椭圆 E 的左、右顶点
6、，直线 经过点l B 且垂直于轴，点 P 是椭圆上异于 A， B 的任意一点，直线 AP 交 于点x M。（1）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明 的定值；OM1kP2k12k（2）设过点 M 垂直于 PB 的直线为 ，证明：直线 过定点，并求出定点的坐标。m20、 （ 13 分）已 知 函 数 ()ln()fxaxR（1 ）若函数 在区间 上为增函数，求 的取值范围；,ea（2）当 且 时，不等式 在 上恒成立，求 的最大值。akz(1)(kxf(1,)xk21、 （ 13 分）已知数列 的前 项和为 ，且nanS *1(1)4,22,)nnaN（1 ）求数列 的通项公式； （2 ）
7、设数列 满足： 且 ，求证： ；nb142*1()()nnbbN *(,)nba（3 ）求证： 323411()()()nebb2015 届安庆一中、安师大附中统一考试试卷数学（理）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D B C C D D B A D C9、 D 截面为等边三角形，边长 ， 2r26Sr10、 C 11、对任意 ，使321164(7) xRxe12、 13、0m 2()nf14、 （提示设 求出） ）20()Axy15、 ，设切点1(,),2e0(,)xy() 01xfa但当 时切线与 重合002)lnx2yx()a1la即 且122ee2e16、 （
8、 1）由 2coscbB()inaA且sin21024A（2）13509490BC又 2sinisinbcaA2,BCsi(135)sibcn4252135sin(245)1Cc(,bc17、 （ 1） )(415)(30,)wtfgtttNt（2）(0(,)4)131530,)ttttt当 时 15t2()4wtt501等号 即 时取到。2tt时 在15，30上单减，15303()9(4)wtt时， 取最小值为 。t()t10综上：最小值为 （万元） 。14318、 （ 1）由勾股定理得 ，余略2ABD（2）以 AB、AD、AP 为 建系,xyz易求面 的法向量PC(0,1)m面 PBD 的
9、法向量 n6cos,3故所求值为 63（3 ） 在 DP 上，可设Q(01),(0,2)DPD,2AA(0,2,)()CQ面 PBD 的法向量 ，记所求角为 ，(1,n216sinco, 93n即141|4DQP19、 （ 1）23xy（2） （i）得 011012(,),(2),yPMkx由 ，104yAx（定值）201112 3()4()ykx(ii) 10,ABPyM由(i)知 11021 2,Bmxykkxxy直线 10:()m1111022()4() 2xxyyyx221114()yxy221113()x过定点 。11122()xxyy(1,0)20、 （ 1） a（2） ()()l
10、n,1ffxxk即 对任意 恒成立。1k令 则l()xg2ln()1)xg令 ln2h则 在 上单增。1()0()xxhx,)3l,(4)2存在 使0(x0x即当 时 即1)h()0g时 即0x(x在 上单减，在 上单增。()g,0,)令 即002hxln2x00min0(1)(1)()xg03,4x且min0()kgxkz即 ax21、 （ 1） (1)22nS1()3nn-得 ()1naa*13,)N中令 22, 3a综上 4(1)2nan（2 ） 当 时， ，不等式成立；121243ba假设 时，不等式 ()k1(1)kkb时那么当 时n21()2()2kkkbb（由归设）1(1k命题真；nk综合 、 知当 时，12nba（3 ）设 ()ln)fxx011 在 上单减()fx0,)即ln()x又 时 由（2）知n1nba11l()()2nnb23341l()lln()nbb11(4523即原不等式获证。
