1、1函数基础知识大全1.2.1、函数的概念1、 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 A 中的任意一个数 ，在集合f xB 中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：xf B:.xfy,2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.3.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域
2、和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.1.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.2.求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知 求 或已知 求 ：换元法、配凑法；()fx()fg()fgxf（3）已知函数图像，求函数解析式；（4） 满足某个等式，这个等式除 外还有其他未知量，需构造另个等式解方
3、程组法；()f ()f（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等求函数解析式的常用方法：1、换元法（ 注意新元的取值范围）2、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）3、整体代换（配凑法）4.赋值法：3.映射的定义：一般地，设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合 A、B，以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f:AB.由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求 A、B 非空且皆为数集.4.映射的概念中象、原象的理
4、解：(1) A 中每一个元素都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A 中每一个元素的象唯一。1映射：注意: 第一个集合中的元素必须有象；一对一或多对一.2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；2（3）已知 的定义域求 的定义域或已知 的定义域求 的定义域：()fx()fgx()fgx()fx掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；（1）
5、分式的分母不为 0；（2）偶次方根的被开方数不小于 0；（3）对数函数的真数大于 0；（4）指数函数、对数函数的底数大于 0 且不等于 1；（5）零指数、负指数幂的底数不等于 0. 若 f(x)的定义域为a，b,则复合函数 fg(x)的定义域由不等式 a g(x) b 解出 若 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值域.2函数值域的求法：直接法 ；配方法 ；判别式法 ；利用函数单调性 ；换元法 ；利用均值不等式 ； 几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等） ；利2baab用函数有界性（ 、 、 等） ；平方法； 导数法（11）分离常数法；（12）反
6、函数法；xsinxco（13）数形结合法。3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j直接法：利用常见函数的值域来求一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数 的定义域为x|x 0，值域为y|y 0；)0(kxy二次函数 的定义域为 R，)2acbf当 a0 时
7、，值域为 ；by4)(|2当 a0 时，值域为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja|配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；),(,)(2nxcbaxf分式转化法（或改为“分离常数法” ）换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；)0(kxy单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域 头htp:/
8、w.xjkygcom126t:/.j逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范y围；常用来解，型如： ),(,nxdcbay判别式法.导数法：6复合函数：若 y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么 y=fg(x)称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值3范围是 g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数 分解为基本函数：内函数 与外函数)(xgfy)(xgu)(ufy分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.4分段函数：在函数定义域内，对于自变量 x 的不
9、同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫分段函数。值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5.函数的奇偶性1 （1）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j()0fx()f讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2.奇偶函数的性质：（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件（2）偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象关于原点
10、对称；y（3） 为偶函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j()fx()|)f（4）若奇函数 在 0 处有定义， ，则 f(0)=0,因此， “f(x)为奇函数”是“f(0)=0“的非充分非必要条件；f（5）设 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：()xg12,D（6）定义在 R 上的任意函数 f(x)均可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。（7）在定义域内的公共部分内，两个奇函数之积（商）为偶函数；两个偶函数之积（商）为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数；两个奇（偶）函数之和、差为奇（偶）函数。即奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇 头htp
11、:/w.xjkygcom126t:/.j（8）偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致.（9）f(x) 既是奇函数又是偶函数的充要条件是 f(x)=0.3.奇、偶性的推广：（1）函数 与函数 的图像关于直线 （ 轴）对称.xfyxfy0xy推广一：函数 y=f(x)对于定义域内任一 x 都有 ,则 y=f(x)的图象关于 x=a 对称，即fafxy=f(a+x)为偶函数;推广二：如果函数 对于一切 ，都有 成立，那么 的图像关于xfyRffbxfy直线 （由“ 和的一半 确定” ）对称.2abx()()2xb推广三：函数 ， 的图像关于直线 （由 确定）对
12、称.ff2axb推广四：函数 与函数 的图像关于直线 对称（由“ 和的一半xyyAxAyy4确定” ）.()()2fxAfxy(2) 函数 与函数 的图像关于直线 （ 轴）对称.xfy0yx推广一：函数 y=f(x)对定义域内任一 x 都有 ,则 y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称，faf即 y=f(a+x)为奇函数。推广二：函数 y=f(x)对定义域内任一 x 都有 ，则 y=f(x)的图象关于点 成中心2fxfb,ab对称。推广三：函数 与函数 的图像关于点 中心对称.xfyymfn(,)nm4.对于复合函数 F（x）=fg(x)满足同奇则奇，有偶则偶。6函数的单调性:单调性的定
13、义： 在区间 上是增函数 当 时有 ；)(xfM,21Mx21x12()ffx 在区间 上是减函数 当 时有 ；单调性的判定：定义法：一般要将式子 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；)(21xff设 ；作差 （一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的2121,xAx且正或负号能清楚地判断出） ；判断正负号。导数法（见导数部分） ；若 在某个区间 A 内有导数，则 在 A 内为增函数；)(xf ()0fx， )（ )(xf在 A 内为减函数。)0， （f复合函数法；复合函数 在公共定义域上的单调性：)(xgfy若 f 与 g 的单调性相同，则 为增函数；“同则增”)(xgf若
14、 f 与 g 的单调性相反，则 为减函数。 “异则减”注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。图像法注：证明单调性主要用定义法和导数法。（3）性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数 增函数 是增函数；减函数 减函数 是减函数；)(xf)(xg)(xf)(xg增函数 减函数 是增函数；减函数增函数 是减函数。5函数 在 上单调递增；在 上是)0,(baxy,ba或 ,0ba或 ，单调递减。复合函数 在公共定义域上的单调性：)(gf若 f 与 g 的单调性相同，则 为增函数；)(xf若 f 与 g 的单调性相反，则 为减函数。注意：先求定义
15、域，单调区间是定义域的子集。7函数的周期性：(1)周期性的定义：对定义域内的任意 ，若有 （其中 为非零常数） ，则称函数x)(xfTfT为周期函数， 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特)(xfT别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期： ； ； ；2:sinxy 2:cosTxy Txy:tan ；|:)co(),sin( TAxAy |:tan(3)与周期有关的结论：或 的周期为)()(afxf)0()2(axff )(xf22.性质：（1）.对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。（2）并不是任何
16、周期函数都有最小正周期，如常数函数。(3)若 T 是函数 y=f(x)的周期，则 nT 都是这个函数的周期0nZ且(4)若 则 。faxfx2Ta（5）若 、 、 、ff1fxf1fxTfx ， ， ，fxfTafTaf ，则 的周期为 2T。(2)(0)xx（6）若 T 是函数 y=f(x)的周期，则 也是周期函数，且周期为 。0fT（7）若 ，则 的周期为 。fxaffxafx6a6（8）若 关于直线 和直线 对称，则 是它的一个周期 。fxaxb2abab若 关于点 和点 对称，则 是它的一个周期 。,0,若 关于点 和直线 对称，则 是它的一个周期 。fxx48基本初等函数的图像与性质
17、：1指数与对数运算（1）根式的概念：定义：若一个数的 次方等于 ，则这个数称 的 次方根。即若 ，则 称n),1(Nna且 anaxn的 次方根 ，an)1N且1）当 为奇数时， 次方根记作 ；的 n2）当 为偶数时，负数 没有 次方根，而正数 有两个 次方根且互为相反数，记作 。aan)0(an性质：1） ；2）当 为奇数时， ；n)(nn3）当 为偶数时， 。)0(|aa2.幂的有关概念规定：1） N*；2） ；nn( )(10n 个3） Q，4） 、 N* 且 。pap( mam,(n)1性质：1） 、 Q） ；rsrsr,0(s2） 、 Q） ；srsr,()( 3） Q） 。 rba
18、barr ,（注）上述性质对 r、 R 均适用。s幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂函数 ),01的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；10（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象),0(x在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴yyxx7（p,q 互为质数）的图像pqyx3.对数的概念定义：如果 的 b 次幂等于 N，就是 ，那么数 称以 为底 N 的对数，记)1,0(a且 abba作 其中 称
19、对数的底，N 称真数。,logba1）以 10 为底的对数称常用对数， 记作 ；10logl2）以无理数 为底的对数称自然对数， ，记作 ；)7182.(e Nelogln基本性质：1）真数 N 为正数（负数和零无对数） ；2） ；01la3） ；4）对数恒等式： 。logaNalog运算性质：如果 则,0,0M1） ；Naaalogl)(l2） ；og3） R） 。nana(llpq01pq1pq0pqq 为奇数P 为奇数q 为奇数P 偶数q 为偶数P 为奇数8换底公式： ),0,1,0(logl NmaNma1） ；2） 。1llogba bnaalog2指数函数与对数函数（1）指数函数：
20、定义：函数 称指数函数，)1,0(yx且1）函数的定义域为 R；2）函数的值域为 ；),0(3）当 时函数为减函数，当 时函数为增函数。10aa函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以 轴为渐近线（当 时，图象向左无限接近 轴，当 时，图象向右无x10ax1a限接近 轴） ；x3）对于相同的 ，函数 的图象关于 轴对称。),0(a且 xxy与 y函数值的变化特征：（2）对数函数：定义：函数 称对数函数，)1,0(logaxya且1）函数的定义域为 ；2）函数的值域为 R；),3）当 时函数为减函数，当 时函数为增函数；104）对数函数 与指数函
21、数 互为反函数。xyalog)1,0(ayx且函数图像：11a ，0yx时 ，时 时 ，0yx时 ，时 ，1yx时91）对数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以 轴为渐近线（当 时，图象向上无限接近 轴；当 时，图象向下无y10ay1a限接近 轴） ；y4）对于相同的 ，函数 的图象关于 轴对称。),0(a且 xyxyaa1logl与 x函数值的变化特征：9二次函数：解析式：一般式： ；顶点式： ， 为顶点；cbxaxf2)( khxaf2)(),(零点式： （a0）.)(21二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根
22、符号。二次函数 的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是 。cbxay2 abx2abc422，10函数图象： 1作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势） ；描点连线，画出函数的图象。 2三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：（1）水平平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向左()yfxa()yfx或向右 平移 个单位即可得到；(0)a(0)a|（2）竖直平移：函数 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向上
23、 或向下(yfxa()yfx(0)a1 ，0yx时 ，时 .1yx时 ，01yx时 ，时 .yx时10平移 个单位即可得到(0)a| y=f(x) y=f(x+h); y=f(x) y=f(xh);h左 移h右 移y=f(x) y=f(x)+h; y=f(x) y=f(x)h.上 移 下 移5对称变换：（1）函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到；()yfx()yfxy（2）函数 的图像可以将函数 的图像关于 轴对称即可得到；()yfx()yfx（3）函数 的图像可以将函数 的图像关于原点对称即可得到；（4）函数 的图像可以将函数 的图像关于直线 对称得到1()yfx()yfxyx
24、y=f(x) y= f(x); y=f(x) y=f(x);轴x轴y=f(x) y=f(2ax); y=f(x) y=f1(x); a直 线 xy直 线y=f(x) y= f(x).原 点6翻折变换：（1）函数 的图像可以将函数 的图像的 轴下方部分沿 轴翻折到|()|yfx()yfxx轴上方，去掉原 轴下方部分，并保留 的 轴上方部分即可得到；xx()yfx（2）函数 的图像可以将函数 的图像右边沿 轴翻折到 轴左边替代原 轴左边部(|)yf yy分并保留 在 轴右边部分即可得到x y=f(x) cbaoy xy=|f(x)| cbaoy xy=f(|x|) cbaoyx7伸缩变换：（1）函
25、数 的图像可以将函数 的图像中的每一点横坐标不变纵()yf0()yf坐标伸长 或压缩（ ）为原来的 倍得到；()a01aa（2）函数 的图像可以将函数 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长yfx()()yfx或压缩（ ）为原来的 倍得到(1) ay=f(x) y=f( ); y=f(x) y=f(x).x y11以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、
26、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换这也是个难点图象作法 ：描点法 （特别注意三角函数的五点作图）图象变换法 导数法图象变换： 平移变换：) ， 左“+”右“” ；)()(axfyxfy)0() 上“+”下“” ；,k 对称变换：) ；) ；)(xfy )0,( )(xfy)(xfy 0y)(xf) ； ) ； x xy 翻折变换：) （去左翻右）y 轴右不动，右向左翻（ 在 左侧图象去掉） ；|)()(fyxfy )(f) （留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（| |在 下面无图象） ；| x11函数图象（曲线）对称性的
27、证明：(1)证明函数 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在)(xfy图像上；（2）证明函数 与 图象的对称性，即证明 图象上任意点关于对称中心)(f)(xgy )(xfy（对称轴）的对称点在 的图象上，反之亦然。注：曲线 C1:f(x,y)=0 关于原点（0,0）的对称曲线 C2方程为：f(x,y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2方程为：f(x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2方程为：f(x, y)=0;曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2方程为：f(y
28、, x)=0f(a+x)=f(bx) （xR） y=f(x)图像关于直线 x= 对称；ba特别地：f(a+x)=f(ax) （xR） y=f(x)图像关于直线 x=a 对称. 的图象关于点 对称 .()yfx(,)abxff2特别地： 的图象关于点 对称 .f,0af函数 与函数 的图象关于直线 对称;yfx函数 与函数 的图象关于直线 对称。)(xfy()0x123.1.1、方程的根与函数的零点1.函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点)(Dxfy0)(xfx)(Dxfy2.函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标)(f )(f
29、 )(f即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点0x)(xfy)(xfy3.零点定理：若 y=f(x)在a,b上满足 f(a)f(b)0 , 则 y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数fyba, 0bfa在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.xf, bac,0cfcx4.函数零点的求法：直接法（求 的根） ；图象法；二分法.0)(xf求函数 的零点：)(xfy1.（代数法）求方程 的实数根；0f2.（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性)(
30、xfy质找出零点二次函数的零点：二次函数 )0(2acbxy），方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个x零点），方程 有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次02cbxa函数有一个二重零点或二阶零点），方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点2x5.二分法及步骤：对于在区间 ， 上连续不断，且满足 的函数 ，通过不断地把函数 的ab)(afbf0)(fy)(xf零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度 ，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如下：)(xf1确定区间 ， ，验证 ，给定精度 ；abab02求区间 ， 的中点 ；()1x3计算 ： 若 = ，则 就是函数的1xf 1 )(f1零点；13若 ，则令 = （此时零点 ） ； 2 )(af1xf0b1x),(10xa若 ，则令 = （此时零点 ） ； 3 1ab4判断是否达到精度 ；即若 ，则得到零点零点值 （或 ） ；否则重复步骤 24|bab
