1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十二)复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、选择题(每小题 3 分，共 18 分)1.(2014昆明高二检测)实数 x，y 满足 z1=y+xi，z 2=yi-x，且 z1-z2=2，则 xy的值是( )A.1 B.2 C.-2 D.-1【解析】选 A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2 xy=1.2.在复平面内，向量 对应的复数是 2+i，则向量 对应的复数在第_象限( )A.一 B.二 C.三 D.四【解析】选 C.向量 对应的复数为-2-
2、i，所以向量 对应的复数在第三象限.3.(2014西宁高二检测)在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若向量 ， 对应的复数分别是 3+i，-1+3i，则 对应的复数是( )A.2+4i B.-2+4iC.-4+2i D.4-2i【解析】选 D.依题意有 = = - ，而(3+i)-(-1+3i)=4-2i，即 对应的复数为 4-2i.【变式训练】在复平面内，向量 对应的复数是 2+i，向量 对应的复数是-1-3i，则向量 对应的复数为( )A.1-2i B.-1+2iC.3+4i D.-3-4i【解析】选 D.向量 对应的复数是 2+i，则 对应的复数为-2-i，
3、因为 =+ .所以 对应的复数为(-1-3i)+(-2-i)=-3-4i.4.(2014广州高二检测)已知复数 z 对应的向量如图所示，则复数 z+1 所对应的向量正确的是( )【解析】选 A.由图可知 z=-2+i，所以 z+1=-1+i，则复数 z+1 所对应的向量的坐标为(-1，1).故 A 正确.5.复数 z1=1+icos，z 2=sin-i，则|z 1-z2|的最大值为( )A.3-2 B. -1C.3+2 D. +1【解析】选 D.|z1-z2|=|(1+icos)-(sin-i)|= = +1.6.(2014丽江高二检测)A，B 分别是复数 z1，z 2在复平面内对应的点，O
4、是原点，若|z 1+z2|=|z1-z2|，则三角形 AOB 一定是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】选 B.根据复数加(减)法的几何意义，知以 ， 为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形 OAB 为直角三角形.二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)7.若复数 z 满足 z=|z|-3-4i，则 z=_.【解析】设复数 z=a+bi(a，bR)，则 所以 所以 z= -4i.答案： -4i8.(2014成都高二检测)已知|z|=3，且 z+3i 是纯虚数，则 z=_.【解析】设 z=a+bi(a，bR)，因为|z|=3
5、，所以 a2+b2=9.又 w=z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数，所以 即又 a2+b2=9，所以 a=0，b=3，所以 z=3i.答案：3i9.(2014重庆高二检测)已知 z1=(3x+y)+(y-4x)i(x，yR)，z 2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x，yR).设 z=z1-z2，且 z=13-2i，则z1=_，z 2=_.【解析】z=z 1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-(4y-2x)-(5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i，又 z=13-2i，故 解得于是，z 1=(32-1)+(-1-42)i=5-9i，z2=(-4-22)-(52-3
6、1)i=-8-7i.答案：5-9i -8-7i三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)10.设 mR，复数 z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i).(1)若 z 为实数，求 m 的值.(2)若 z 为纯虚数，求 m 的值.【解题指南】根据复数 z 为实数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的 m 值.利用概念解题时，要看准实部与虚部.【解析】z=(2m 2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)若 z 为实数，则 m2-3m+2=0，所以 m=1 或 2.(2)若 z 为纯虚数，则解得 m=- .【变式训练】实数 k 为何值时，复数(1+i)k 2-(3+5i)k-
7、2(2+3i)满足下列条件，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.【解析】(1+i)k 2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当 k2-5k-6=0，即 k=6 或 k=-1 时，该复数为实数.(2)当 k2-5k-60，即 k6 且 k-1 时，该复数为虚数.(3)当 即 k=4 时，该复数为纯虚数.11.(2014太原高二检测)已知：复平面上的四个点 A，B，C，D 构成平行四边形，顶点 A，B，C 对应复数-5-2i，-4+5i，2，求点 D 对应的复数.【解析】因为 = ，所以 zA-zB=zD-zC，所以 zD=zA-zB+zC=(
8、-5-2i)-(-4+5i)+2=1-7i.即点 D 对应的复数为 1-7i.用相同的方法可求得另两种情况下点 D 对应的复数z.图中点 D 对应的复数为 3+7i，图中点 D 对应的复数为-11+3i.故点 D 对应的复数为 1-7i 或 3+7i 或-11+3i.【误区警示】四个点 A，B，C，D 构成平行四边形，并不仅有 ABCD 一种情况，应该还有 ABDC 和 ACBD 两种情况.【变式训练】已知平行四边形 ABCD 中， 与 对应的复数分别是 3+2i 与1+4i，两对角线 AC 与 BD 相交于 O 点.(1)求 对应的复数.(2)求 对应的复数.(3)求AOB 的面积.【解析】
9、(1)由于四边形 ABCD 是平行四边形，所以 = + ，于是 = - ，而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i，即 对应的复数是-2+2i.(2)由于 = - ，而(3+2i)-(-2+2i)=5，即 对应的复数是 5.(3)由于 = =- = ，= = .即 = ， = ，于是 =- ，而| |= ，| |= ，所以 cosAOB=- ，因此 cosAOB=- ，故 sinAOB= ，故 SAOB = | | |sinAOB= = .即AOB 的面积为 .一、选择题(每小题 4 分，共 16 分)1.(2014福州高二检测)已知复数 z1= -3ai，z 2=a+ i，若 z1+z2是纯
10、虚数，那么实数 a 的值为( )A.1 B.2 C.-2 D.-2 或 1【解析】选 C.由 z1+z2=a2-2+a+ i 是纯虚数，得a=-2.2.(2014南昌高二检测)如图，设向量 ， ， 所对应的复数为z1，z 2，z 3，那么( )A.z1-z2-z3=0 B.z1+z2+z3=0C.z2-z1-z3=0 D.z1+z2-z3=0【解题指南】利用向量三角形法则，判断复数间的关系.【解析】选 D.由复数的向量意义及几何意义可得 z1+z2= + = =z3.3.已知 z1，z 2C，|z 1+z2|=2 ，|z 1|=2，|z 2|=2，则|z 1-z2|为( )A.1 B. C.2
11、 D.2【解析】选 D.由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应 z1，z 2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z 1-z2|=2 .【变式训练】若|z 1|=|z2|=1，且|z 1+z2|= ，求|z 1-z2|.【解析】|z 1+z2|和|z 1-z2|是以 和 为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.如图所示，由|z 1|=|z2|=1，|z 1+z2|= ，知四边形为正方形，所以另一条对角线的长|z 1-z2|= .【拓展延伸】复数运算几何意义的应用(1)已知复数 z1，z 2，z 1+z2在复平面内分别对应点 A，B，C，O 为原点，且|z1+z2|=|z1-z2|，把关系
12、式|z 1+z2|=|z1-z2|给予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形 OACB 为矩形.(2)因为z 1，z 2，z 1-z2(或z 1+z2)构成了三角形的三边(Z1，Z 2，O 三点不共线)，所以可用解三角形来处理边与角的问题.4.(2014沈阳高二检测)复数 2+i 与复数 - i 在复平面上的对应点分别是A，B，则AOB 等于( )A. B. C. D.【解析】选 B.因为点 A，B 对应的复数分别是 2+i 与复数 - i，所以 A(2，1)，B ，所以 tanxOA= ，tanxOB= ，所以 tanBOA=tan(xOA+xOB)= =1，则BOA= .二、填空题
13、(每小题 5 分，共 10 分)5.在复平面内，O 是原点， ， ， 表示的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，那么 表示的复数为_.【解题指南】用向量 ， ， 表示出向量 ，再利用向量与复数的对应进行运算.【解析】由 = - = - - =3+2i-(-2+i)-(1+5i)=4-4i.答案：4-4i6.(2014启东高二检测)设 f(z)=z-3i+|z|，若 z1=-2+4i，z 2=5-i，则 f(z1+z2)=_.【解析】因为 z1=-2+4i，z 2=5-i，所以 z1+z2=(-2+4i)+(5-i)=3+3i.于是 f(z1+z2)=f(3+3i)=(3+3i)-3i+|3
14、+3i|=3+3 .答案：3+3【变式训练】设 f(z)=z，z 1=3+4i，z 2=-2-i，则 f(z1-z2)=( )A. 1-3i B.11i-2C.i-2 D.5+5i【解析】选 D.因为 z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i，又 f(z)=z，所以 f(z1-z2)=f(5+5i)=5+5i.三、解答题(每小题 12 分，共 24 分)7.已知复数 6+5i 和-3+4i.(1)在复平面上作出与这两个复数对应的向量 和 .(2)写出向量 和 表示的复数.【解析】(1)在复平面上作出与这两个复数对应的向量 和 ，如图：(2) = - =-3+4i-(6+5i)=-9-i
15、.= - =6+5i-(-3+4i)=9+i.8.(2014杭州高二检测)已知|z|=2，求|z+1+ i|的最大值和最小值.【解题指南】先思考|z|=2 与|z+1+ i|的几何意义，再利用几何图形求|z+1+i|的最大值和最小值.【解析】设 z=x+yi(x，yR)，则由|z|=2 知 x2+y2=4，故 z 对应的点在以原点为圆心，2 为半径的圆上，又|z+1+ i|表示点(x，y)到点(-1，- )的距离.又因为点(-1，- )在圆 x2+y2=4 上，所以圆上的点到点(-1，- )的距离的最小值为 0，最大值为圆的直径 4，即|z+1+ i|的最大值和最小值分别为 4 和 0.【拓展延伸】数形结合求解复数问题因为复数拥有实部与虚部“两条腿” ，进而与复平面上的点建立了一一对应，又与以原点为起点的向量建立一一对应.所以思考复数问题时关键是从数与形两个角度思考.【变式训练】已知|z 1|=|z2|=1，z 1+z2= + i，求复数 z1，z 2.【解析】因为|z 1|=|z2|=1，|z 1+z2|= =1，
