1、三直线的参数方程,1,1.直线的参数方程的标准形式经过点M0(x0,y0),倾斜角为 2 的直线l的普通方程为y-y0=tan (x-x0),它的参数方程为 = 0 +cos, = 0 +sin (t为参数).我们通常把这种形式称为直线参数方程的标准形式.其中参数t的几何意义是:|t|是直线上的动点M(x,y)到定点M0(x0,y0)的距离,即| 0 |=|t|.若t0,则 0 的方向向上;若t0,可设t1,t2是方程的两个根,由根与系数的关系,得t1+t2=3 2 ,t1t2=1.由参数t的几何意义得|MA|=|t1|,|MB|=|t2|,所以|MA|MB|=|t1t2|=1,|AB|=|t
2、1-t2|= ( 1 + 2 ) 2 4 1 2 = 14 .,探究一,探究二,探究三,1 2 3 4 5,1.直线 =3+sin15, =cos15 (t为参数)的倾斜角为()A.15B.30C.75D.105解析:将原参数方程化为 =3+cos75, =sin75, 所以直线的倾斜角为75.答案:C,1 2 3 4 5,2.直线 =2+3, =1+ (t为参数)上对应t=0,t=1的两点间的距离是()A.1B. 10 C.10D.2 2 解析:因为题目所给方程不是参数方程的标准形式,t不具有标准形式中参数的几何意义,故不能直接由1-0=1来得出距离,应将t=0,t=1分别代入方程得到两点坐
3、标(2,-1)和(5,0),由两点间的距离公式来求出距离,即 (25 ) 2 +(10 ) 2 = 10 .答案:B,3.已知P1,P2是直线 =1+ 1 2 , =2+ 3 2 (t为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则线段P1P2的中点到点P(1,-2)的距离是()A. | 1 |+| 2 | 2 B. | 1 + 2 | 2 C. | 1 2 | 2 D. | 1 | 2 | 2 解析:由t的几何意义可知,P1P2的中点对应的参数为 1 + 2 2 ,点P对应的参数为t=0,故它到点P的距离为 | 1 + 2 | 2 .答案:B,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,4
4、.直线l: =1+ 3 , =1+ (t为参数)上的点P(-4,1- 3 )到l与x轴的交点间的距离是.解析:在直线l: =1+ 3 , =1+ 中令y=0,得t=-1.故l与x轴的交点为Q(-1- 3 ,0).所以|PQ|= (1 3 +4 ) 2 +( 3 1 ) 2 = 4( 3 1 ) 2 =2 3 -2.答案:2 3 -2,1 2 3 4 5,5.已知直线l的方程为3x-4y+1=0,点P(1,1)在直线l上,写出直线l的参数方程,并求点P到点M(5,4)和点N(-2,6)的距离.解:由直线方程3x-4y+1=0,得直线的斜率为 3 4 ,设直线的倾斜角为,则tan = 3 4 ,sin = 3 5 ,cos = 4 5 .又点P(1,1)在直线l上,所以直线l的参数方程为 =1+ 4 5 , =1+ 3 5 (t为参数).因为35-44+1=0,所以点M在直线l上.由1+ 4 5 t=5,得t=5,即点P到点M的距离为5.因为点N不在直线l上,故根据两点之间的距离公式,可得|PN|= (1+2 ) 2 +(16 ) 2 = 34 .,
