1、第 1 页 共 9 页安徽省六校教育研究会 2013 届高三联考数学（理科）试题注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟 2答题前，请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上，在试题卷上作答无效. 第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给的四个选项中，只一个是符合题目要求的1.复数 的虚部是( )21)iA B C D022i2.命题 p：若 a，bR，则|a|+|b|1 是|a+b|1 的充分而不必要条件 命题 q：函数 的2
2、1xy定义域是 ，则 ( ),31,A.“p 或 q”为假 B “p 且 q”为真C.p 真 q 假 D.p 假 q 真3.在极坐标系中，以 A（0，2）为圆心，2 为半径的圆的极坐标方程是（ ）A.=4sin B.=2 C.=4cos D. =2sin+2cos4.已知集合 ， ，RaM),43(,1RaN),54(2,(则 等于( )NA(1,1) B(1,1)，(2，2)C(2，2) D 5.右图给出的是计算 的值的一个程序框图，其中判断016421框内应填入关于 i的条件是 .（ ）A.i=10 B.i9 C.i10 D.i116.若双曲线 的一条渐近线的倾斜角 (0， ),则 的12
3、myx 3m取值范围是（ ）A. B. C. D.0,3-0,3-3,0）（ 0,-7.四棱锥 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥三视图如右ABCDP图所示， 、 分别是棱 、 的中点，直线 被球面所截得的EFEF线段长为 ，则该球表面积为 ( )2第 2 页 共 9 页A B C D932128.角 的顶点在坐标原点 O,始边在 轴的正半轴上，终边在第三象限过点 ,且 ；角 的顶y P43tan点在坐标原点 O,始边在 轴的正半轴上，终边在第二象限经过点 ，且 ，则 的值x Q2tPOQcos为（ ）A. B. C. D. 55251519.在四棱柱的所有棱、面对角线及体对角线所在直线中任取
4、两条，这两条直线异面的概率是（ ）A. . B. C. D.31326396310.设 若关于 的不等式 的解中恰有四个整数，则 的取值范围是（ ）,0abx22)()bxaaA. B. 11C. D. 2第卷（非选择题 共 100 分） 二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置11.已知不等式组103xy表示的平面区域为 D，若直线 y=kx +1 将区域 D 分成面积相等的两部分，则实数 k 的值是 12.某单位为了了解用电量 y（ 度）与气温 之间的关系，统计了某 4 天的用电量与当)(0Cx天气温，数据如下表：气温（ 0C） 18 13 10
5、 1用电量（度） 24 34 38 64由表中数据可得线性回归方程 ybxa中的 2，预测当气温为 0C时，该单位用电量的度数约为_度13.高三某班级有 6 名同学参加自主招生，准备报考 3 所院校，每人只报考一所，每所院校至少报 1 人，则不同的报考方法为_。 （用数字作答）14.设函数 ，若数列 na是单调递减数列，则实数)(,)2(1)1(2) nfaxdxaxf 的取值范围为 .a15.函数 ()fx的定义域为 D，若存在闭区间 ,bD，使得函数 ()fx满足：（1） ()fx在 ,ab内是单调函数；（2） f在 ,ab上的值域为 2a，则称区间 ,ab为 yf的“和谐区间” 下列函数
6、中存在“和谐区间”的有_（只需填符合题意的条件序号） )0()2xf； ()xfeR； 14； )1,0(8logaa 第 3 页 共 9 页三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分 12 分）函数 的最大值为 2，其图像相邻两个对称中心之1)sin()(xAxf ,0，（ A)2间的距离为 ，且经过点 .22,(1)求函数 的单调递增区间；)(xf(2)若 ，且 ，求 的值.57f412， )62(f17.（本小题满分 12 分）美国 NBA 总决赛采用七局四胜制，赛前预计 2012 年参加决赛的两队实力相当，且每场比赛组织者可获得
7、200 万美元，问：（1）比赛只打 4 场的概率是多少？（2）组织者在本次比赛中获利不低于 1200 万美元的概率是多少？（3）组织者在本次比赛中获利的期望是多少？18 （本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD与 EF均为菱形， 60DBFA，且FAC（1）求证： 平面 EF；（2）求证： 平面 ；（3）求二面角 B的余弦值 19.（本小题满分 12 分）已知椭圆 :C21(0)xyab的离心率为 53，定点 (2,0)M，椭圆短轴的端点是 1B， 2，且 12MB.（1）求椭圆 C的方程；(2）设过点 且斜率不为 0的任意直线交椭圆 于 A， B两点.试问 x轴上是否存在定点 P，使P
8、平分 A？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由.E CBADF第 4 页 共 9 页20.（本小题满分 13 分）设函数 2()fx， ()ln(0)gxabx。 分别是)( xgf、的导函数。)(xgf、（1）若 1f， ，是否存在实常数 k和 m，使得 fkm和 k？1)gf若存在，求出 k和 m的值若不存在，说明理由;（2）设 ()2()Gxfx有两个零点 1x和 2，且 1、 0x、 2成等差数列， 是 的导函)(xG数，试探究 值的符号021.（本小题满分 14 分）已知曲线 C:1xy ，过 上一点 (,)nAxy作一斜率 12nkx的直线交曲线 C 于另一点 11(,)n
9、nAxy，其中 71（1 ）求 nx与 之间的关系式；（2 ）求证：数列 32n是等比数列；（3 ）求证： 13()(1)()1(*)nxxxN第 5 页 共 9 页安徽省六校教育研究会 2013 年高三素质测试数学试题（理科）参考答案一、选择题(本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10选项 C D A C D A D B C B二、填空题(本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分)11 3 1280 13540 14 154,(三 解答题： 16 解：（）由已知： .3 分3,2,()3sin(2)1Afx令 得 2kxk
10、51kZ所以 单调递增区间是 ； .6 分()f,()2k（2 ）由 ，得 ，754sin()35所以,14co=2()3sin()13cos()1266fcos(2)331= 12 分5117. （本小题满分 12 分）（1）依题意，某队以 4：0 获胜。其概率为 P=2 .81)2(4 4 分（2）组织者在本次比赛中获利不低于 1200 万美元，则至少打 6 场，分两种情况：（1 ）只打 6 场，则比赛结果应是某队以 4：2 获得胜利，其概率为 ,(2)打 71652)(251CP场，则比赛结果应是某队以 4：3 获得胜利，其概率为 P2= ,6)(7361C由于两种情况互斥，P=P 1+
11、P2=85，获利不低于 1200 万美元的概率为 85. 8 分（3 设组织者在本次比赛中获利 万美元，则 的分布列为： 800 1000 1200 1400P18 41516 516E=800 （万美元） 12 分.1620165240第 6 页 共 9 页18.（本小题满分 12 分）（1）证明：设 AC与 BD相交于点 O，连结 F因为 四边形 为菱形，所以 BDAC，且 O为 中点 又 F，所以 因为 OBD， 所以 AC平面 E 3 分 （）证明：因为四边形 与 F均为菱形，所以 / ， / ， 所以 平面 BC/平面 EAD 又 F平面 B，所以 / 平面 6 分 （）解：因为四边
12、形 DE为菱形，且 60，所以 F为等边三角形因为 O为 中点，所以 FO，故 平面 由 A,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzO 设 2B因为四边形 ABC为菱形， 60DAB，则 2，所以 1， 3所以 )3,(),(),01,(),0( FO 所以 3CF， CB 设平面 B的法向量为 =()x,yzn，则有 0,.CBn所以 03,yxz 取 1，得 )1,3( 10 分 易知平面 AFC的法向量为 (,0)v 由二面角 B是锐角，得 15cos,nv 所以二面角 FCA的余弦值为 51 12 分(本小题也可以作出二面角的平面角，直接计算出该角的余弦值)第 7 页 共 9
13、页19.（本小题满分 12 分）（1）解：由 22519abe， 得 23ba. 依题意 12MB是等腰直角三角形，从而 ，故 . 所以椭圆 C的方程是2194xy. 5 分（2）解：设 1(,)Ay， 2(,)，直线 AB的方程为 2xmy. 将直线 B的方程与椭圆 的方程联立，消去 得 2(49)160. 所以 12649my， 120y. 若 平分 AP，则直线 ， PB的倾斜角互补，所以 PBAk.M设 (,0)a，则有 120yxa.将 12xy， 2xmy代入上式，整理得 1212()(myy，所以 1212()0a. 将 12649， 12049m代入上式，整理得 9. 由于上式
14、对任意实数 都成立，所以 2a. 综上，存在定点 (,0)2P，使 M平分 APB. 12 分20.（本小题满分 13 分）（1 ）由 f(1)=g(1)，f(1)=g(1), 得 b=1, a+b=2，解得 a=b=1 则 g( x)=lnx+x2 分因 ()x与 有一个公共点(1，1)，而函数 ()fx= 2在点 (1,1)的切线方程为 y=2x1.下面验证 f(x)2x1 ,g(x)2x 1 都成立即可由 20，得 22x1，知 f( )2x1 恒成立设 h()=lnx+x ()，即 h=lnx x+1，易知其在(0,1)上递增，在 (1,)上递减，所以 h()x=lnx+x21的最大值
15、为 =0，所以 lnx+x2x 1 恒成立故存在这样的 k 和 m，且 k=2，m= .6 分（2）G(x 0)的符号为正，理由为：G (x)=x22aln xbx 有两个不同的零点 x1，x 2，则有Error! ，两式相减得 x22x 12a(lnx 2lnx 1)b( x2x 1)=0.第 8 页 共 9 页即 x1x 2b= 21(ln)ax，于是 G(x0)2x 0 b=(x 1x 2b)ax0 2ax1 x2= 21(l)x = ln 21()x = ln 21()x，2ax1 x2 ax2 x1 x2x1 ax2 x1 x2x1当 01，且 G(x0)= lnt ()1t，x2x
16、1 ax2 x1故 (t)=lnt ()t (t1)，(t)= 24()t2()t0，则 (t)在1，)上为 增函数，而 (1)1t0， (t)0，即 lnt 2)1t0，又 a0，x2x 10，G(x0)0，当 00，综上所述：G(x 0)值的符号为正 .13 分21.解：（1 ）直线方程为 ),(,(211 nnnn yxAy因 为 直 线 过 点 ， 2)(11)(21 11 nnnnnn xxxxy4 分（2 ）设 ,3nxa由（ 1）得 nnnn axx2)31(221 又 31,01na故 是等比数列； 8 分（3 ）由（2 ）得 31)2()2(nnnx)1(2)1()( nnnx10 分当 n 为偶数时，则第 9 页 共 9 页1111 2923)()( nnnnnx n2231 2()().().nnnxx； 12 分当 n 为奇数时，则 2311.()1()xxx而 )(,032nnnn xx所 以 1)(.)1()(132nx综上所述，当 *nN时， 23()1nxx 成立 14 分
