1、专题研究 1 曲线与方程1已知点 A( 1，0) ，B(2， 4)，ABC 的面积为 10，则动点 C 的轨迹方程是( )A4x3y160 或 4x3y 160 B4x3y160 或 4x3y240C4x3y160 或 4x3y 240 D4x3y160 或 4x3y240答案 B解析 可知 AB 的方程为 4x3y40，又|AB|5，设动点 C(x，y) 由题意可知 5 10，12 |4x 3y 4|5所以 4x3y160 或 4x3y240.故选 B.2方程 lg(x2y 21)0 所表示的曲线图形是( )x 1答案 D3动圆 M 经过双曲线 x2 1 的左焦点且与直线 x2 相切，则圆心
2、 M 的轨迹方程是( )y23Ay 28x By 28xCy 24x Dy 24x答案 B解析 双曲线 x2 1 的左焦点 F(2，0)，动圆 M 经过 F 且与直线 x2 相切，则圆心 M 经过 F 且与直y23线 x2 相切，则圆心 M 到点 F 的距离和到直线 x2 的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为 y28x.4(2017皖南八校联考)设点 A 为圆(x 1) 2y 21 上的动点， PA 是圆的切线，且|PA| 1，则 P 点的轨迹方程为( )Ay 22x B(x1) 2y 24Cy 22x D(x 1)2y 22答案 D解析 (直译法)如图，设 P(x，y)，圆心为
3、 M(1，0)连接 MA，PM.则 MAPA，且|MA| 1，又因为|PA|1，所以|PM| ，|MA|2 |PA|2 2即|PM| 22，所以 (x1) 2y 22.5(2017吉林市毕业检测)设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆，动圆 P 与这两个定圆都外切，则圆 P 的圆心轨迹可能是( )A BC D答案 A解析 当两定圆相离时，圆 P 的圆心轨迹为；当两定圆外切时，圆 P 的圆心轨迹为；当两定圆相交时，圆 P 的圆心轨迹为；当两定圆内切时，圆 P 的圆心轨迹为.6已知 A(0， 7)，B(0，7)，C(12，2) ，以 C 为一个焦点作过 A，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程
4、是( )Ay 2 1(y1) By 2 1x248 x248Cy 2 1 Dx 2 1x248 y248答案 A解析 由题意，得|AC|13， |BC|15，|AB| 14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2.故点 F 的轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 2 的双曲线下支双曲线中 c7，a1，b 248， 轨迹方程为y2 1(y1)x2487ABC 的顶点为 A(5，0)、B(5，0)，ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是( )A. 1 B. 1x29 y216 x216 y29C. 1(x3) D. 1(x4)x29 y216 x216 y
5、29答案 C解析 设ABC 的内切圆与 x 轴相切于 D 点，则 D(3，0)由于 AC、BC 都为圆的切线故有|CA|CB|AD|BD| 826.由双曲线定义知所求轨迹方程为 1(x3) x29 y216故选 C.8(2017宁波十校联考)在直角坐标平面中， ABC 的两个顶点 A、B 的坐标分别为 A(1，0)，B(1，0)，平面内两点 G，M 同时满足下列条件： 0，| | | |， .则ABC 的GA GB GC MA MB MC GM AB 顶点 C 的轨迹方程为( )A. y 21(y0) B. y 21(y0)x23 x23Cx 2 1(y0) Dx 2 1(y 0)y23 y2
6、3答案 C解析 根据题意，G 为ABC 的重心，设 C(x，y)，则 G( ， )，而 M 为ABC 的外心，M 在 AB 的中垂x3 y3线上，即 y 轴上，由 ，得 M(0， )，根据| | |，得 1( )2x 2(y )2，即 x2 1，又 CGM AB y3 MA MC y3 y3 y23点不在 x 轴上，y 0，故选 C.9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，圆 x2y 2r 2(r0)内切于正方形 ABCD，任取圆上一点 P，若 a b (a，bR)，若 M(a，b)，则动点 M 所形成的轨迹曲线的长度OP OA OB 为( )A B. 2C. D23答案 B解析 设 P(x，
7、y)，则 x2y 2r 2，A(r，r)，B(r，r) 由 a b ，得 代入OP OA OB x （a b）r，y （a b）r，)x2y 2r 2，得(ab) 2(ab) 21，即 a2b 2 ，故动点 M 所形成的轨迹曲线的长度为 .12 210已知抛物线 y2nx(n0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点) ；当10，方程 k2km10 有两个不相等的实数根，分别为 k1， k2，则 故 QDQE，S |QD|QE|.k1 k2 m，k1k2 1，) 12记切点(2k，k 2)到 Q(m，1) 的距离为 d，则 d2(2km) 2(k 21) 24(k 2k
8、m)m 2k 2m24km 4，故|QD| ，（4 m2）（k12 1）|QE| ，（4 m2）（k22 1）S (4 m2)12 1 1 2k1k2 （k1 k2）2 (4m 2) 4，12 4 m2即当 m0，也就是 Q(0，1)时面积的最小值为 4.16已知椭圆 E： 1(ab0) 的离心率为 ，过左焦点倾斜角为 45的直线被椭圆截得的弦长为 .x2a2 y2b2 22 423(1)求椭圆 E 的方程；(2)若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点，过点 M(1， 0)作 l 的垂线，垂足为 Q，求点 Q 的轨迹方程答案 (1) y 21 (2)x 2y 22x22解析 (1)因为椭
9、圆 E 的离心率为 ，所以 .解得 a22b 2，故椭圆 E 的方程可设为 1，则22 a2 b2a 22 x22b2 y2b2椭圆 E 的左焦点坐标为(b， 0)，过左焦点倾斜角为 45的直线方程为 l：yxb.设直线 l与椭圆 E 的交点为 A，B，由 消去 y，得 3x24bx0，解得 x10，x 2 .x22b2 y2b2 1，y x b，) 4b3因为|AB| |x1x 2| ，解得 b1.1 1242b3 423a2 2， 椭圆 E 的方程为 y 21.x22(2)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时，设 l 的方程为 ykxm，联立直线 l 和椭圆 E 的方程，得y kx m，x
10、22 y2 1.)消去 y 并整理，得(2k 21)x 24kmx 2m 220.因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点，所以 16k 2m24(2k 21)(2m 22)0.化简并整理，得 m22k 21.因为直线 MQ 与 l 垂直，所以直线 MQ 的方程为 y (x1) 1k联立得方程组 解得y 1k（x 1），y kx m， ) x 1 km1 k2，y k m1 k2，)x2 y2 ，（1 km）2 （k m）2（1 k2）2 k2m2 k2 m2 1（1 k2）2 （k2 1）（m2 1）（1 k2）2 m2 11 k2把 m22k 21 代入上式得 x2y 22.(*)当切线
11、 l 的斜率为 0 时，此时 Q(1，1)或(1 ，1)，符合(*)式当切线 l 的斜率不存在时，此时 Q( ，0) 或( ，0)，符合(*) 式2 2综上所述，点 Q 的轨迹方程为 x2y 22.1(2018河南洛阳二模)已知动圆 M 过定点 E(2，0) ，且在 y 轴上截得的弦 PQ 的长为 4.则动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程是_答案 y 24x解析 设 M(x，y)，PQ 的中点为 N，连 MN，则|PN|2，MNPQ，|MN|2|PN| 2|PM| 2.又|PM| |EM|，|MN| 2|PN| 2|EM| 2，x2 4(x2) 2y 2，整理得 y24x.动圆圆心 M 的轨迹
12、C 的方程为 y24x.2已知直线 l 与平面 平行，P 是直线 l 上一定点，平面 内的动点 B 满足 PB 与直线 l 成 30角，那么 B点轨迹是( )A两条直线 B椭圆C双曲线 D抛物线答案 C解析 P 是直线 l 上的定点，平面 与直线 l 平行，平面 内的动点 B 满足 PB 与直线 l 成 30角，因为空间中过 P 与 l 成 30角的直线构成两个相对顶点的圆锥， 即为平行于圆锥轴的平面，点 B 的轨迹可理解为 与圆锥侧面的交线，所以点 B 的轨迹为双曲线，故选 C.3(2018安徽安庆二模)已知抛物线 x22py(p0)，F 为其焦点，过点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B
13、两点，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 OA 于点 C，如图所示求点 C 的轨迹 M 的方程答案 yp2解析 依题意可得，直线 l 的斜率存在，故设其方程为 ykx ，又设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x，y)，p2由 x 22pkxp 20x 1x2p 2.x2 2py，y kx p2)易知直线 OA：y x x，直线 BC：xx 2，y1x1 x12p由 得 y ，y x12px，x x2，) x1x22p p2即点 C 的轨迹 M 的方程为 y .p24(2014课标全国，文)已知点 P(2，2)，圆 C：x 2y 28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A
14、，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点(1)求 M 的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积答案 (1)(x 1) 2(y3) 22(2)x3y80，S POM 165解析 (1)圆 C 的方程可化为 x2(y4) 216，所以圆心为 C(0，4)，半径为 4.设 M(x，y)，则 (x，y 4)， (2 x，2y)由题设知 0，故 x(2x) (y4)(2y) 0，CM MP CM MP 即(x1) 2(y 3) 22.由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1) 2(y3) 22.(2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心， 为半径的圆2由于|OP|OM|，故 O 在线段 PM 的垂直平分线上又 P 在圆 N 上，从而 ONPM.因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为 .13故 l 的方程为 y x ，即 x3y80.13 83又|OM|OP|2 ，O 到 l 的距离为 ，|PM| ，所以 POM 的面积为 .24105 4105 165
