1、专题研究 1 递推数列的通项的求法1(2018海南三亚一模)在数列 1，2， ， ， ，中， 2 是这个数列的第( )项( )7 10 13 19A16 B24C26 D28答案 C解析 设题中数列a n，则 a11 ，a 22 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，所以 an .令1 4 7 10 13 3n 22 ，解得 n26.故选 C.3n 2 19 762设数列a n的前 n 项和 Snn 2，则 a8 的值为( )A15 B16C49 D64答案 A解析 a 1S 11，a nS nS n1 n 2(n 1) 22n1(n2)a 828115.故选 A.3已知数列a n满足 a10，a
2、n1 a n2n，则 a2 017 等于( )A2 0172 018 B2 0162 017C2 0152 016 D2 0172 017答案 B解析 累加法易知选 B.4已知数列x n满足 x11，x 2 ，且 (n2)，则 xn 等于( )23 1xn 1 1xn 1 2xnA( )n1 B( )n23 23C. D.n 12 2n 1答案 D解析 由关系式易知 为首项为 1，d 的等差数列， ，所以 xn .1xn 1x1 12 1xn n 12 2n 15已知数列a n中 a11，a n an1 1(n2) ，则 an( )12A2( )n1 B( )n1 212 12C22 n1 D
3、2 n1答案 A解析 设 anc (an1 c) ，易得 c2，所以 an2 (a12)( )n1 ( )n1 ，所以选 A.12 12 126若数列a n的前 n 项和为 Sn an3，则这个数列的通项公式 an( )32A2(n 2n1) B23 nC32 n D3n1答案 B解析 a nS nS n1 ，可知选 B.7(2018云南玉溪一中月考) 已知正项数列a n中，a 11，a 22，2a n2a n1 2a n1 2(n2) ，则 a6 的值为( )A2 B42C8 D16答案 B解析 因为正项数列a n中， a11，a 22，2a n2a n1 2a n1 2(n2)，所以 an
4、2a n1 2a n1 2a n2(n2)，所以数列a n2是以 1 为首项，a 22a 123 为公差的等差数列，所以 an213(n1) 3n2，所以 a6216.又因为 an0，所以 a64，故选 B.8(2018华东师大等四校联考) 已知数列a n满足：a 1 ，对于任意的 nN *，a n1 an(1a n)，则 a1 413a 1 17 72314( )A B.27 27C D.37 37答案 D解析 根据递推公式计算得 a1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ，可以归纳通项17 72 17 67 37 72 37 47 67 72 67 17 37公式为：当 n 为大于 1 的奇数时
5、，a n ；当 n 为正偶数时，a n .故 a1 413a 1 314 .故选 D.67 37 379(2018湖南衡南一中段考) 已知数列a n，若 a12，a n1 a n2n1，则 a2 016( )A2 011 B2 012C2 013 D2 014答案 C解析 因为 a12，故 a2a 11，即 a21.又因为 an1 a n2n1，a na n1 2n3，故 an1 a n1 2，所以 a4a 22，a 6a 42，a 8a 62，a 2 016a 2 0142，将以上 1 007 个等式两边相加可得 a2 016a 221 0072 014，所以 a2 0062 01412 0
6、13，故选 C.10在数列a n中，a 13，a n1 a n ，则通项公式 an_1n（n 1）答案 41n解析 原递推式可化为 an1 a n ，1n 1n 1则 a2a 1 ，a 3a 2 ，11 12 12 13a4a 3 ，a na n1 .13 14 1n 1 1n逐项相加，得 ana 11 .又 a13，故 an4 .1n 1n11已知数列a n满足 a11，且 an1 (nN *)，则数列a n的通项公式为_an3an 1答案 a n13n 2解析 由已知，可得当 n1 时，a n1 .an3an 1两边取倒数，得 3.1an 1 3an 1an 1an即 3，所以 是一个首项
7、为 1，公差为 3 的等差数列1an 1 1an 1an 1a1则其通项公式为 (n1)d1(n 1)33n 2.1an 1a1所以数列a n的通项公式为 an .13n 212在数列a n中，a 11，当 n2 时，有 an3a n1 2，则 an_答案 23 n1 1解析 设 ant3(a n1 t)，则 an3a n1 2t.t 1，于是 an13(a n1 1)a n1是以 a112 为首项，以 3 为公比的等比数列an 23n1 1.13在数列a n中，a 12，a n2a n1 2 n1 (n2) ，则 an_答案 (2n1)2 n解析 a 12，a n2a n1 2n1 (n2)
8、， 2.令 bn ，则 bnb n1 2(n2)，b 11.an2n an 12n 1 an2nbn 1(n1)22n1，则 an(2n1)2 n.14已知数列a n的首项 a1 ，其前 n 项和 Snn 2an(n1)，则数列a n的通项公式为_12答案 a n1n（n 1）解析 由 a1 ，S nn 2an，12Sn 1 (n1) 2an1 .，得 anS nS n1 n 2an(n1) 2an1 ，即 ann 2an(n1) 2an1 ，亦即 (n2) anan 1 n 1n 1 .ana1 anan 1an 1an 2 a3a2a2a1 n 1n 1n 2n n 3n 1 2413 2
9、n（n 1）an .1n（n 1）15(2017太原二模)已知数列 an满足 a11，a na n1 (nN *)，则 an_2anan 1n（n 1）答案 n3n 2解析 由 ana n1 得 2( )，则由累加法得 2(1 )，又因为2anan 1n（n 1） 1an 1 1an 2n（n 1） 1n 1n 1 1an 1a1 1na11，所以 2(1 )1 ，所以 an .1an 1n 3n 2n n3n 216(2018河北唐山一中模拟) 已知首项为 7 的数列a n满足 3 n1 (nN *)，则数列a n的通项公式n i 2 ai2i 1为_答案 a n 7（n 1），6n（n 2
10、）， )解析 当 n2 时， 3 n，又 3 n1 ，两式相减，得 23 n，所以 an6 n.由于 a17 不n 1i 2 ai2i 1ni 2 ai2i 1 an2n 1符合 an6 n，所以数列a n的通项公式为 an 7（n 1），6n（n 2）.)17数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Snn(n 1)(nN *)(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：a n ，求数列b n的通项公式b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1答案 (1)a n2n (2)b n2(3 n1)解析 (1)当 n1 时，a 1S 12，当 n2 时，a nS nS n1 n(n
11、 1)(n1)n2n，知 a12 满足该式，数列 an的通项公式为 an2n.(2)a n (n1) ，b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1an 1 .b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1 bn 13n 1 1，得 a n1 a n2，b n1 2(3 n1 1)bn 13n 1 1故 bn2(3 n1)(n N *)1(2017衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )A2 016 B2 015C. D.12 016 12 015答案 D解析 如果把第 n 个 a 值记作 an，第 1 次运行后得到 a2 ，第 2 次运行后得到 a3 ，第 n 次a1
12、a1 1 a2a2 1运行后得到 an1 ，则这个程序框图的功能是计算数列a n的第 2 015 项将 an1 变形为anan 1 anan 1 1，故数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，故 n，即 an ，所以输出结果是 .故1an 1 1an 1an 1an 1n 12 015选 D.2若数列a n满足 a11，a n1 2 nan，则数列a n的通项公式 an_答案 2n（n 1）2 解析 由于 2 n，故 2 1， 2 2， 2 n1 ，将这 n1 个等式叠乘，得 2 12(n 1)an 1an a2a1 a3a2 anan 1 ana12 ，故 an2 .n（n 1）2 n（n 1）2 3已知 Sn 为数列a n的前 n 项， a n2(n2) ，且 a12，则a n的通项公式为a12 a23 a34 an 1n_答案 a nn1解析 a n2(n2) ， 当 n2 时， a 22，解得 a23. a12 a23 a34 an 1n a12 a12 a23 a34 a n1 2， a n1 2(a n2)(n 2)，得 (n2)，an 1n ann 1 ann 1 an 1n 2 ann 1 1，a nn1(n 2)，当 n1 时也满足，故 ann1.an 1n 2 ann 1 a23
