1、3.2.1 几类不同增长的函数模型学案学习目标掌握指数函数、对数函数以及幂函数等的图象和性质，会比较它们的增长差异。重点与难点：利用函数模型分析问题。自学内容：通读教材。思考并回答以下问题：第一课时一、材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋。1859 年，有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲，由于澳洲茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到 75 亿只。可爱的兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利
2、亚的主要牲口。这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。二、例题分析例 1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报 40 元；方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？分析：问题 1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？问题 2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？解：问题 3、三个函数模型的增减性如何？问题
3、 4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？1、日回报效益分析：（1）三个方案所得回报的增长情况：（2）作出三个函数的图象：来源:高考试题库函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。我们看到，底为 2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多，从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？（3）根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资 5 天以下选方案一，投资 58 天选方案二，投资 8 天以上选方案三？由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不同。可以看到，尽管方案一、方案
4、二在第 1天所得回报分别是方案三的 100 倍和 25 倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第 7 天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所 无法企及的，从每天所得回报看，在第 14 天，方案一最多，在 58 天，方案二最多；第 9 天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第 30 天，所得回报已超过 2 亿元。2、累计回报效益分析：天数回报/元方案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550
5、660三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8因此，投资 8 天以下（不含 8 天） ，应选择第一种投资方案；投资 810 天，应选择第二种投资方案；投资 11 天（含 11 天）以上，刚应选择第三种投资方案。例 2、某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且资金 y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过 5 万元，同时资金不超过利润的 25%。现有三个奖励模型： ，其中哪个模型能符合公司的要xxy02.1,lo
6、g,25.07求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过01002003004005006000 5 10 15方 案 一 回 报(元 )方 案 二 回 报(元 )方 案 三 回 报(元 )线 性 (方 案 一回 报 (元 )多 项 式 (方 案二 回 报 (元 )指 数 (方 案 三回 报 (元 )5 万元，同时奖金不超过利润的 25%，由于公司总的利润目标为 1000 万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是，只需在区间10，1000 上，检验三个模型是否符合公司要求即可。（1）借助计算机作出函数的图象：对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓
7、的变化规律。通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。（2）列表计算确认上述判断：模型奖金/万元利润0.25yx1.02xy7log1yx1020800810来源:高$考试(题库 :_ST1000（3）问题：当 10，1000时，奖金是否不超过利润的 25%呢？x我们来看函数 的图象：7()log10.25fx综上所述，模型 确实能符合公司的要求。yx三、学习水平反馈：P98，练习 1，2。四、课堂小结五、课后作业：P98，练习 2。第二课时一、探究：对数函数 ，指数函数 与幂函数)1(logaxy )1(ayx在区间 上增长差异的具体情况。)0(nxy),(特例：探究对数函数 ，指数函数 与幂函数 在区间 上xy2l xy22xy),0(的增长差异情况。策略一：表格计算（学生可用计算器完成）x y2xy2log策略二：作出函数的图象进行比较。一般结论：二、探究对数函数 ，指数函数 与幂函数)10(logaxy )10(ayx在区间 上的衰减情况。)(nxy,特例探究：探究对数函数 ，指数函数 与幂函数 在区间xy21logxy)2(2xy上的增长差异情况。),0(策略一：表格计算（学生可用计算器完成）x来源:高$考试(题库来源 :高考%试题#库 xy)21xy21log策略二：作出函数的图象进行比较。一般结论：练习：P101高考!试 题库
