1、D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 1研究生录取中的最佳匹配问题 摘 要： 本文将考生录取问题转化为图论中一个特定约束条件下双向二部图的最大权匹配问题。对于问题一，采用搜索法直接得到最优解，运算复杂度为 O(MN)。对于问题二，考虑是否满足稳定匹配条件的两种情况，采用 Kuhn-Munkras 算法和改进的 Kuhn-Munkras算法分别求得最大满意度的解和极大满意度的解，前者的算法复杂度仅为 O(Nlog2N)。对于问题三，分两步解决。首先给出一种选优录取 10 个考生的方法，在此基础上提出了一种最大平衡策略，求出一组约束条件下的极大解。对于问题四，首先在充分考虑考生志愿和专业平衡的
2、条件下，给出了 5 名导师和 10 名考生的选择策略，然后在此基础上采用虚拟导师节点的方法，转化为问题二中的情况进行求解。最后，我们分析上述各种策略的弊端，提出了虚拟节点的方法，有效消除了上述弊端，并将模型统一到问题二的情况中。本文的最终模型可扩展性好，算法复杂度低，较好的解决了本文提出的所有问题。 问题的重述 某学校系计划招收 10 名计划内考生， 依照有关规定由初试上线的前 15 名考生参加复试，专家组由 8 位专家组成。在复试过程中，要求每位专家对每个参加复试考生的以上个方面都给出一个等级评分，从高到低共分为 A,B,C,D 四个等级，并将其填入面试表内。所有参加复试考生的初试成绩、各位
3、专家对考生的个方面专长的评分如表（）表（ 8）所示。 该系现有 10 名导师拟招收考生，分为四个研究方向。导师的研究方向、专业学术水平（发表论文数、论文检索数、编 (译 )著作数、科研项目数） ，以及对考生的期望要求见表 (9)。在这里导师和考生的基本情况都是公开的。要解决的问题是： (1) 首先，请你综合考虑考生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定 10 名考生的录取名单。然后，要求被录取的 10 名考生与 10 名导师之间做双向选择，即考生可根据自己的专业发展意愿（依次申报个专业志愿，如表 (10)所示） 、导师的基本情况和导师对考生的期望要求来选择导师；导师根据考生所报专业志愿、
4、专家组对考生专长的评价和自己对考生的期望要求等来选择考生。请你给出一种 10 名考生和导师之间的最佳双向选择方案（并不要求一名导师只带一名考生） ，使师生双方的满意度最大。 (2) 根据上面已录取的 10 名考生的专业志愿，如果每一位导师只能带一名考生，请你给出一种 10 名导师与 10 名考生双向选择的最佳方案，使得师生双方尽量都满意。 (3) 如果由十位导师根据初试的成绩及专家组的面试评价和他们自己对考生的要求条件录取考生，那么， 10 名考生的新录取方案是什么？为简化问题，假设没有申报专业志愿，请你给出这 10 名考生各申报一名导师的策略和导师各选择一名考生的策略。相互选中的即为确定；对
5、于剩下的导师和考生，再按上述办法进行双向选择，直至确定出每一名导师带一名考生的方案，使师生都尽量满意。 (4) 学校在确定考生导师的过程中，要充分考虑考生的申报志愿情况。为此，学校要求根据 10 名导师和 15 名考生的综合情况选择 5 名导师招收考生，再让这 5 名导师在 15 名考生中择优录取 10 名考生。请你给出一种导师和考生的选择（录取）方案，以及每一名导师带名考生的双向选择最佳策略。 (5) 请你设计一种更能体现“双向选择”的考生录取方案，提供给主管部门参考，并说明你的方案的优越性。 模型的假设 D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 21 考生和导师都是诚实的，在按策略选定录取
6、方案时不会撒谎。 2 考生填报的志愿要尽量满足，专业不对口将大大降低考生和导师的满意度。 符号系统 T, S: S 表示所有导师组成的集合， T 表示所有考生组成的集合。 N， M：分别表示系统中考生和导师的个数， N=|S|， M=|T|。 Ai (Ai1， Ai2， Ai3， Ai4， Ai5)：考生 i 的复试成绩中的 5 项指标的成绩的归一化值向量。 Bi：考生 i 的复试综合成绩的归一化值。 i ：考生 i 的初试成绩的综合归一化值。 MNjiW= , ：考生对导师的满意度矩阵，ji, 表示当考生 i 被导师 j 录取时，考生 i 的满意度。 MNjiW= , ：导师对考生满意度的矩
7、阵。ji, 表示当考生 i 被导师 j 录取时，导师 j 的满意度。 jia,：与考生 i 是否报了导师 j 的专业这一因素相关的系数，取值 0 1 之间。 lj, ：导师 j 的学术水平在指标 l )4,3,2,1( =l 上的归一化值。 bj：导师 j 的学术水平综合值。 lji, ：考生 i 与导师 j 在复试指标 l 上的专长期望匹配度的归一化值。 ci ,j：考生 i 与导师 j 总的专长期望匹配度的归一化值。 sgn(x)： sgn(x)表示变量 x 的符号，定义如下： =0,10,1)sgn(xxx )(xfloor ： x 向下取整函数 ； 问题的分析 1. 将考生录取转化为二
8、分图的匹配问题 本文需要解决的问题是在特定的约束条件下，导师和考生之间建立一种匹配关系（即：考生被某个导师录取） ，使得导师和考生双方的总满意度最大。可以把导师集合 T 和考生集合 S 看成某个二部图顶点集的两个子集，连接 S 与 T 的边表征了某考生对某导师可能的申报关系，该边上的权表征了申报该导师使得该考生所能获取的满意度；连接 T 到 S 的边表征了导师对考生可能的录取关系，其上的权表征了录取该考生使得该导师所能获取的满意度。该二部图具有以下特点： 它的边是双向的。这种双向的边是成对出现的，即：对于每个考生，如果存在他对某个导师的申报可能，就必然存在该导师对此考生的录取可能；反之亦然。
9、它的边是带权的。 D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 3 本文的目标是在某种特定约束下，构造一种考生到导师的匹配使得在该匹配下考生和导师双方的总体满意度最大。 这样我们就将本文的所有问题映射到了图论中特定约束条件下双向二部图的最大权匹配问题。 下图为一个简单的双向二部图的最大权匹配问题。 图 1 一个双向带权二部图的实例 图 1 中考生集合 S=A, B, C, D，导师集合 T=1, 2, 3, 4，图 1 表中列出上述左图二部图上任意双向边上的正反两向的权值。 现实中类似的双向带权二部图的实例还有婚姻匹配问题1, 3, 4, 6，任务分配问题2, 5等。 总体满意度可以表示为考生的总
10、体满意度和导师的总体满意度的线性组合， 因此可以将二部图中的双向边转化为单向边，同时将边上的权修正为正向权值与反向权值的线性组合，则双向二部图的总体满意度最大问题就可以转化为对应的无向二部图中的最大权匹配问题了。 2不稳定匹配方案的概念与满意度的关系 正如婚姻匹配问题中可能存在不稳定的匹配方案一样， 通过上述方法解出的匹配方案也可能存在不稳定的匹配对。对于婚姻匹配问题而言，一个不稳定的匹配对 (x, y)指的是一对不稳定的男 x 女 y，他们没有结合，但是 x 喜欢 y 的程度胜过他喜欢目前的配偶，并且 y 喜欢 x 的程度也胜过她目前配偶；同样的，对于一种匹配方案而言，如果存在这么一对男女，
11、这个系统就称为不稳定，其所以不稳定是因为 x 和 y 最有可能放弃目前配偶，双双私奔，造成社会不安。 同样的，对于一种强调“双向选择”的匹配系统而言，不稳定匹配对的出现可能会造成匹配方案的崩溃。对考生录取问题而言，一个不稳定匹配对的例子如图 2： Tutors Student 1 2 3 4 A 0， 0 2， 3 0， 0 4， 5 B 4， 2 0， 0 0， 0 0， 0 C 0， 0 3， 1 4， 5 5， 3 D 3， 6 0， 0 0， 0 2， 4 D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 4图 2 一个不稳定匹配对的实例 , 边上的权用二元组表示。 如（ 1, 2）表示，从左
12、到右的权为 1，从右到左的权为 2 如图 2 所示，假设（ S1, T1） 、 （ S2, T2）为二部图最大权匹配的两条边，但 S1对 T1的满意度为 1， S1对 T2的满意度为 2；而 T2对 S1的满意度为 2， T2对 S2的满意度为 1，这样，相对于 T1, S1更倾向于选 T2做导师， T2也更倾向于选 S1做考生，这样的匹配对（ S1, T1）和（ S2, T2）就是一对不稳定匹配对。含有不稳定匹配对的匹配方案也称之为不稳定的。 模型的建立 在建立模型之前，我们需要先对已有数据进行处理，从中构造出下列信息： 1各个考生的复试成绩指标及复试成绩归一化值。 考生 i 的复试成绩向量
13、 Ai (Ai1, Ai2, Ai3, Ai4, Ai5)与考生的复试成绩的 5 项指标有关，对于某项指标 i，他的分数取所有专家打分的平均 (更一般的情况为所有专家打分的凸线性组合 )，则他的复试成绩=515.0jjiiAB 。 2 考生对导师的满意度的矩阵 W MNji , 和导师对考生满意度的矩阵W=MNji , 。 考生信息包含以下 3 个方面： 初试成绩、 复试成绩 （与 5 项指标相关） 以及填报专业 （包括其所申报的第一志愿和第二志愿） 。 导师信息包含以下 3 个方面：所属的专业、学术水平状况（与 4 项指标相关）以及对考生的标准。 考生 i 对导师 j 的满意度ji, 与以下
14、因素有关： (1) 专业匹配度 考生 i 与导师 j 的专业匹配度用jia,表示，应满足两个特征： 如果考生 i 和导师 j 专业不对口 (也即导师 j 所在的专业不属于考生 i 所申报的两个专业志愿中 )， 则考生 i 就对该导师的满意度应该为 0，即：jia, 0，如果考生 i 的第一志愿是 j 的专业，就令jia, 1； 如(1, 2) (2, 2) (1, 1) 1 2 1 S T 2 D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 5果考生 i 的第二志愿是导师 j 的专业， 则jia,取值是一个介于 0 1 之间的可调值 h(其具体值将在问题的求解部分定义 )。 (2) 导师的学术水平
15、(导师 j 在学术上的造诣，由导师 j 的学术水平指标决定 )。 导师 j 的学术水平有 4 个指标，其归一化值分别为lj, )4,3,2,1( =l 。则导师 j 的学术水平可表述为： 4,143,132,121,11 jjjjjkkkkb += (=4111llk ，1lk 0, l=1, 2, 3 ,4) 其中因子1ik ( 4,32,1 null=i )用以衡量导师学术水平的第 i 个指标在考生心目中的重要性。 (3) 专长期望匹配度（考生 i 与导师 j 对考生专长期望要求的匹配度） 。 考生 i 如果与导师 j 的对考生的专长期望要求匹配的越好，他就对导师 j 越满意。复试成绩有
16、5 个指标，用归一化值lji, ( 54,32,1l )描述导师 j 对考生 i 的满意度，也表现为考生 i 对导师 j 的满意度。以lji, 为例，它具有以下特性： 它与考生 i 在指标 l 上的值 xi相关的， 当考生 i 在指标 l 上达到门限 gi,j时满意度为 Q0。 当考生 i 在指标 l 上值为 0 时满意度为也为 0。 lji, 的值恒小于 1。 一种满足上述条件的lji, 的函数形式为ijixgQljie,0)1ln(,1= ，如下图所示。 图 3 lji, 函数的曲线示意图 则考生 i 与导师 j 总体专长期望要求的匹配度可表示为： 525424323222121, jij
17、ijijijikkkkkcji += ( 1512=llk ， 12lk 0, l=1, 2, 3, 4） 其中2ik ( 54,32,1i )是指关于复试中的第 i 个指标在考生和导师心目中的重要性0 期望门限 gi,j 1 指标大小 指标满意度 达到门限时的满意度 Q0 D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 6因子。 考察上述三个因素，用因素分析法进行分析。按照假设 1，当考生 i 的专业与导师 j 不对口时，他们之间不存在满意与否的问题，即jia, 0 时， 0,=ji ；而不考察考生 i 志愿的情况下， 考生 i 对导师 j 的满意度应该为jijcb,5.05.0 + ， 即jia
18、, 1 时，jijjicb,5.05.0 += ，因此ji, 应表示为jia,与jijcb,5.05.0 + 的乘积比较合理，于是我们取)5.05.0(, jijjijicba += 。 再考察导师 j 对考生 i 的满意度ji, ，它与以下因素有关： （ 1）专业匹配度（考生 i 是否报了导师 j 的专业） 这个比例系数跟考生是一样的，仍为jia,。 （ 2）考生 i 的综合成绩 我们已将考生复试成绩的各项指标归一化， 则考生的 i 的复试成绩 =jijiAB512.0 （认为复试时考查的各项专长同等重要） ， i 的初试成绩的归一化值为i ，则考生 i 的综合成绩为iiB5.05.0 +
19、(不同的学校对初、复试的意义轻重看法可能不一致，为简洁计，本文认为它们在总成绩中的权重是相同的 )。 （ 3）专长期望匹配度（考生 i 与导师 j 对考生专长期望要求的匹配度） 。 对于教师，可以认为这个因素也是跟考生一样的： 525424323222121, jijijijijikkkkkcji += 归纳起来得： 5.0)25.025.0(, jiiijijicBa += 。 在构造出满意度矩阵 W 和 W之后，我们就可以对模型进行建模了。 问题一： 我们按照各个考生的综合成绩iiB5.05.0 + 排序 (为了方便计，假设初试，面试的重要性是一样的 )，取出前 10 个成绩最好的考生加入
20、录取名单。 用MNjixX= ,表示我们最终求得的结果，其中： =录取没有被导师考生录取被导师考生jijixji,0,1,我们的目标是，考生和导师的总体满意度最大，为了公平起见，我们认为导师和考生的满意度同等重要。目标函数就可表示为： max1010,1010, =+NiMjjijiNiMjjijixx D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 7约束 1：一个考生只能被一个导师录取。即 1,1,0;110,=NixMjjinull 。 约束 2：jix,取值约束： 1,1,0;1,1,0,01,= MjNixjinullnull 因此问题一可看成一个 0 1 整型规划问题： max1010,
21、1010, =+NiMjjijiNiMjjijixx =1,1,0;1,1,0011,1,01,10,MjNixNixtsjiMjjinullnullnull其中： M 10， N 10 在实际求解中，因为每个考生只能报一个导师，因此只需要对每一个考生 i 搜索 j 使得j 满足：jiji , + = max,10kikiMk +，并令jix, 1， )(0,jlxli= ，则考生 i 与导师 j构成的匹配对使得由考生 i 发出的边正好使双方的总体满意度最大。 这样得到的 X 就可以使得目标函数=+1010,1010,NiMjjijiNiMjjijixx 在满足约束条件下达到最大值。 问题二：
22、 目标函数还是 (1)式不变，但增加每个导师只能招收一名考生的约束。即： 1,1,0,110,=MjxNijinull 稳定匹配约束：如果 112211,=jijixx 且 ，则不存在 1,1,0,2211 Mjiji null 使得22211121,jijijiji 且 ，该条件等价于下式： 1,1,0,2)sgn()sgn(2211,222122112111M 时，可以增加位虚拟 MN 位导师（虚拟结点） ，虚拟导师对所有考生的满意度均为 0，反之亦然；在匹配方案中，当考生对应的导师为虚拟导师时，该考生即落榜； z 当 NM, 增加 NM 位虚拟考生，任意虚拟考生对导师的满意度为 0，反之
23、亦然； 这样，很多 NM 的问题都可以通过构造虚拟节点的方式转化为问题二求解。 模型的求解与结果分析 在上一节中，我们采用统一的模型，在不同的约束条件下，对原题中的五个问题设计了合理的求解方案。下面我们将分别使用上述各求解方案，对于原题中给定的全部数据，使用计算机进行模拟和求解，并给出结果和分析。 数据的预处理 原题中的数据具有多种表示形式，比如考生的笔试成绩采用计分制，而面试成绩则采用从 A 到 D 的分级制，显然这样两种表现形式不同的数据是不具有可比性的。为了体现全面、公正的原则，在求解前首先需要对数据进行预处理，使得各类成绩具有可比较性。 D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 11我
24、们把所有需要进行预处理的数据分为两类，第一类是考生的面试成绩，以及导师对考生专长的期望要求，这类数据是使用从 A 到 D 的分级制表示的。为方便起见，我们定义 A为 0.9 分、 B 为 0.8 分、 C 为 0.7 分、 D 为 0.6 分，并对 8 名专家给考生的面试评分进行平均化处理，从而建立了从分级数据到 1,0 之间的映射。 第二类数据是考生的笔试成绩，以及导师的学术水平指标，包括发表论文数、科研项目数等，这类数据采用整数表示，但实际含义不同，相互之间也不具备可比性。我们采用如下方法将上述数据归一到 1,0 区间：对于同一类数据 ,.)3,2,1( =idi，令,.)3,2,1(ma
25、x= iddeiii，显然有 1,0ie 。用归一化ie 取代原始数据id ，将使数据的意义更加明确，也更具有可比性。 除此之外，还有两个常数需要在求解之前确定下来： 1） 考生 i 和导师 j 的专业匹配程度jia,，我们采用下式确定： 313,=eeeeaxji，其中 x=1,2,3，分别表示导师的专业方向是考生的第一志愿，导师的专业方向是考生的第二志愿，以及导师的专业方向不是考生的志愿这三种情况。显然当 x 分别取 1、 2、 3 时，jia,分别取 1、 0.2689（ h 0.2689） 、 0。在模型的稳定性分析中，我们对 h 的取值做了更广泛的分析。 2） 当考生 i 在导师需要
26、的复试科目的指标 l 上达到门限 gi,j时，导师的满意度为 Q0。考虑实际情况，我们取 9.00=Q 。 问题一的求解与结果 问题一的求解相对比较简单。首先是将已归一化到 1,0 区间的考生初试始和复试成绩加权相加，作为综合成绩，并选取其中综合成绩较高的 10 名考生予以录取；然后对每一名已经录取的考生，在全部导师中搜索，使得双方总满意度取最大值。为方便起见，暂时令式中所有权值都相等。算法复杂度为 )log(2MNNNO + 。 下面的图表显示了问题一的求解结果，其中总体满意度 975.12)( =XF 。 D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 12考生 1 2 3 5 12 4 9 8
27、 15 6 导师 4 6 3 6 6 9 3 4 3 6 上表显示了考生和导师的对应关系，上图则比较直观的体现出了这种对应关系。图中左侧节点表示被录取的考生的编号，右侧节点表示导师编号，连线表示考生与导师之间的匹配关系。由图表可见，由于在问题一中，允许每位导师指导多名考生，因此与每名考生相匹配的导师，基本上都是与该考生的第一志愿方向一致的导师中，学术水平最高者。即导师 3、4、 6、 9 分别是四个专业方向中学术水平最高者，所有被录取的考生都在这四位导师中选择与其第一志愿方向相符者。 问题二的求解与结果 问题二与问题一的唯一区别在于，问题二中规定每位导师只能指导一名考生。又由基本题设可知，共有
28、 10 名被录取的考生和 10 名导师，每名考生有且仅有一名导师，因此考生到导师之间构成双射，问题二可转化为图论中的二分图最佳匹配问题。 对于二分图最佳匹配问题，常见的算法包括由 Ford-Fulkerson 算法演变来的最小费用最大流算法，以及由 Hungarian 算法演变来的 Kuhn-Munkras 算法，其中后者的空间和时间开销更优。 Kuhn-Munkras 算法的主要流程如下所示： 名称： Kuhn-Munkras 算法 输入：加权完全二分图 G，其中节点集 V(G)被分为 X 和 Y 两部分。令,.,.,2121 nnyyyYxxxX = ，权值 0)( jiyx 。 输出：最
29、佳匹配 M，其中 )(GEM 。且 M 上的 YyXxyx, 取得最大值。 D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 13step1 ：作映射 RGVl )(: ，其中=.,0)(;),(max)(YyylXxxyxlYy。令)()()(),( xyylxlGExyxyEl=+= ， 记以lE 为边集的 G的生成子图为lG 。 在lG中选一初始匹配 M。 step2：若 X 中的所有节点都能在 M 中找到相连的边，算法结束，输出 M，否则取未与 M 相连的节点 u，令 = TuS , 。 step3：若lG 中 S 的相邻点集 TSNlG=)( ，令 )()()(min,xyylxlaTySx
30、l+=，+=.),(;,)(;,)()(其它vlTvavlSvavlvlll， )(vll ，llGG 。 step4 ：选 TSNlG)( 中任一节点 y ，若存在 z 使得 Myz ，则 yTTzSS , ，转 step3。否则在图lG 中找一条由 u 至 y 的路径 P，令)()( PEMPEMM ，转 step2。 算法结束 下面的图表显示了使用 Kuhn-Munkras 算法对问题二求解的结果，其中总体满意度581.11)( =XF 。 D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 14考生 1 2 3 5 12 4 9 8 15 6 导师 5 6 2 8 7 9 3 4 1 10 同样
31、的， 图中左侧节点表示被录取的考生， 右侧节点表示导师， 深色实线表示匹配关系。从图中可以看到，考生与导师达到了一一对应，且由 Kuhn-Munkras 算法的最优性可知，上图中的匹配关系令总体满意度达到最大值。 值得注意的是，上述结果虽然得到了总体满意度的最大值，但却存在不稳定对，图中用浅色虚线标出了所有的三组不稳定对。 如考生 1 和导师 4 是一组不稳定对， 对于考生 1 来说，与导师 4 匹配能够获得比目前更大的满意度；另一方面，对于导师 4 来说，与考生 1 匹配同样能够获得比目前更大的满意度。 为了消除不稳定对，我们首先尝试采用经典的稳定婚姻匹配算法 D. Gale and L.
32、S. Shapley 算法（具算法流程见参考文献3） ，对问题二进行求解。算法中采取考生一方主动策略，其结果如下图表所示： 考生 1 2 3 5 12 4 9 8 15 6 导师 4 6 3 8 7 9 2 5 1 10 图中未出现虚线，这说明稳定婚姻匹配算法能够保证匹配中不出现不稳定对，但却只能保证全体考生的满意度之和达到最大值，而对总的满意度之和（全体考生与导师的满意度之和）不一定最大。图中总体满意度之和 576.11)( =XF ，说明与 Kuhn-Munkras 算法的总体满意度相比略有不足。 在保证不出现不稳定对的前提下，为了尽量提高总体满意度。我们设计了改进的Kuhn-Munkra
33、s 算法，其流程如下： D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 15名称：改进的 Kuhn-Munkras 算法 输入：加权完全二分图 G 输出：匹配 M， M 中不存在不稳定对，且 M 上的 YyXxyx, 取极大值。 step1： 使用 Kuhn-Munkras 算法计算最佳匹配 M。 step2：找到当前匹配 M 中的所有不稳定对集合 U。 step3：若 =U ，算法结束，输出 M。 step3 ：对于所有 Uxy ，总有11, yx ，使得 MyxMxy 11, 。令,1111yxxyyxxyMM = ，尝试所有可能的 M ，找到其中总体满意度 )(XF与 M 相差最小者，得到此时
34、的 xy。 step4：令 ,1111yxxyyxxyMM ，从而更新 M，转 step2。 算法结束 在问题二中，使用改进的 Kuhn-Munkras 算法，得到的结果恰好和考生一方主动策略的稳定婚姻匹配算法相同。但在其他情况下，使用改进的 Kuhn-Munkras 算法可能得到比稳定婚姻匹配算法更接近最优值的结果。 问题三的求解与结果 问题三的求解模式较为固定。 首先需要由导师组选择考生， 可由公式=10,Mjji 直接计算，得出导师组对每个考生的满意程度之和（不考虑专业方向的因素） ，然后排序并选择前 10名考生；然后，按照每一轮相互选中即为确定的方案，导师和考生都采取我们设计提出的 最
35、大平衡策略 ， 定理 1 已经证明，至多经过 10 轮循环，算法即可结束。 下面的图表显示了在问题三的求解模式中，采用最大平衡策略得出的结果： D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 16考生 1 2 12 5 15 9 3 4 8 6 导师 4 6 7 8 3 1 2 9 5 10 其中 575.11)( =XF ，与前面的结果相比，由于问题的限制，这种方案的总体满意度会更差一些，但是具有收敛速度快的优势。 问题四的求解与结果 问题四的求解过程包括以下三个步骤： 第一步，按照我们在模型设计过程中采取的主要权衡各专业招生人数，兼顾导师及考生水平的策略。采用 Hamilton 议席分配策略，首
36、先确定各专业具有“招生资格”的导师名额，再以考生对导师的满意程度（体现出了导师水平等因素）为指标，在各个专业方向选择最优秀的导师。 第二步，主要考虑 4 个专业方向的考生人数与具有招生资格的导师人数成比例，按照导师对考生的满意程度，录取分布在 4 个专业方向上的 10 名考生。 第三步，对 5 名具有招生资格的导师各创建一个虚拟节点，从而将 5 名导师和 10 名考生的匹配问题转化成为 10 名导师和 10 名考生的最佳加权匹配问题。至此，完全可以采用问题二中的求解方式进行求解。 为了确定问题四中双方总体满意度的上限，我们首先采用问题二中的 Kuhn-Munkras 算法求出最优解。如下面图表
37、所示： D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 17考生 15 9 1 8 2 12 5 6 4 7 导师 3 3 4 4 6 7 6 7 9 9 其中 822.12)( =XF 为本题条件下的双方总体满意度极限值。但同时我们可以看到，考生 12 和导师 6 构成了一对不稳定对（用浅色虚线表示） 。如果采用改进 Kuhn-Munkras 算法进行计算，则可得到下面的结果： D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 18考生 15 9 1 8 2 12 5 6 4 7 导师 3 3 4 4 6 6 7 7 9 9 其中 819.12)( =XF ，虽然从总体满意度来衡量，比最优解略有不足，但却
38、有效消除了最优解中的不稳定对，使得结果更符合实际情况，容易为导师和考生所接受。 同时，从上面两图中还可以看出，具有招生资格的导师分别是导师 3、 4、 6、 7 和 9。这 5 位导师的专业涵盖了所有的四个方向，且属于本方向的导师中较为优秀者。 问题五的求解与结果 使用问题二的题设，但暂时不确定录取 10 名考生，而是由全部导师和 5 个空结点构成的集合与全部的 15 名考生去做最佳匹配，最后淘汰映射到空结点上的 5 名考生，从而一次性得到全局最优的 10 名考生的录取方案，以及这 10 名考生与 10 名导师的最佳匹配。 先使用 Kuhn-Munkras 算法求最优解，其结果如下图表所示：
39、D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 19考生 1 2 3 4 5 7 8 9 12 15 导师 5 6 2 10 8 9 4 3 7 1 图中没有映射到导师节点的考生即被认为是映射到空节点，也就是被淘汰。其中478.12)( =XF ，优于使用 Kuhn-Munkras 算法对问题二求解的结果。但是在图中仍然出现了两条不稳定对。而如果使用改进 Kuhn-Munkras 算法进行计算，则可得到消除了不稳定对的较优结果，如下面图表所示： D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 20考生 1 2 3 4 5 7 8 9 12 15 导师 4 6 2 10 8 9 5 1 7 3 下面考虑采用
40、问题四的题设， 先确定 5 名导师， 然后对这 5 名导师各生成一个虚拟结点，最后在导师集合中添加 5 个空结点。用这 15 个结点的导师集合，以及包含 15 名考生的集合去做最佳匹配，最后淘汰映射到空结点上的 5 个考生，从而得到一个全局最优的 10 名考生的录取方案及与 5 个导师的对应关系。其结果与问题四的结果完全相同，说明采用问题五中的方案，并非在所有情况下都能够产生比原方案更优的结果。 稳定性分析 在模型的建立过程中，我们将很多系数设为可调整的，如初试成绩在考生综合成绩中所占比重、某考生复试成绩中某个指标对复试成绩的影响系数、导师水平中某项指标所占的权重，等等。在模型求解过程中，我们
41、将这些可调系数均设为比较均衡的，而在本节中对以下三个重要参数进行调整，并观察其对结果的影响。 1其他参数不变，调整综合满意度中，考生一方的满意度所占的权重 k，按照问题二中的方法求得匹配结果和综合满意度如下： 令 k=0.1; 考生 1 2 3 5 12 4 9 8 15 6 导师 5 6 2 8 7 9 3 4 1 10 F(X)=11.398 令 k=0.2; 考生 1 2 3 5 12 4 9 8 15 6 导师 5 6 2 8 7 9 3 4 1 10 F(X)= 11.763 令 k=0.5; 考生 1 2 3 5 12 4 9 8 15 6 导师 5 6 2 8 7 9 3 4 1
42、 10 F(X)=11.581 令 k=0.9; 考生 1 2 3 5 12 4 9 8 15 6 导师 5 6 2 8 7 9 3 4 1 10 F(X)=11.457 可见调整导师和考生的满意度权重，对导师和考生的匹配结果影响不大。而综合满意度在 k值比较居中的时候比较大。 2其他参数不变，调整初试成绩在考生综合成绩中所占比重 k。按照问题二中的方法求得匹配结果和综合满意度如下： 令 k=0.1; 考生 2 1 12 15 5 9 3 8 4 13 导师 6 4 7 1 8 3 2 10 9 6 D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 21F(X)=11.561 令 k=0.2; 考生
43、2 1 12 15 5 9 3 8 4 6 导师 6 5 7 1 8 3 2 4 9 10 F(X)= 11.581 令 k=0.5; 考生 1 2 3 5 12 4 9 8 15 6 导师 5 6 2 8 7 9 3 4 1 10 F(X)=11.581 令 k=0.9; 考生 1 2 3 5 12 4 9 8 7 6 导师 5 2 1 6 8 10 3 4 9 7 F(X)=11.509 可见随着初试成绩在考生综合成绩中所占比重的调整，对考生的录取情况产生了较大的影响。即使同为已录取的考生，其排名先后也随着初试成绩所占比重而具有较大的变化。而初试成绩所占比重对考生和导师的综合满意度影响并不
44、明显。 3其他参数不变，考察当导师的专业方向是考生的第二志愿时，对考生满意度的影响因子h。值得注意的是随着 h 的增加，综合满意度必然会增加，因此这里只比较导师和考生的匹配结果。 h=0.2689; 考生 1 2 3 5 12 4 9 8 15 6 导师 5 6 2 8 7 9 3 4 1 10 h=0.5; 考生 1 2 3 5 12 4 9 8 15 6 导师 5 6 2 8 7 9 3 4 1 10 h=0.8; 考生 1 2 3 5 12 4 9 8 15 6 导师 5 6 2 8 10 9 3 4 1 7 h=0.9; 考生 1 2 3 5 12 4 9 8 7 6 导师 5 6 2
45、 8 10 9 3 4 1 7 可见当 h 取值较大时，对导师和考生的匹配结果产生了一定的影响。 模型的评价 优点： D 题 -张雄明，晏小波，褚瑞 -一等奖 221. 以总体的最大满意度为主要优化目标，同时考虑分配方案的稳定性，比较符合实际情况。 2. 主要模型为采用图论中加权二分图的最大权匹配问题，计算复杂度低，量级为O(Nlog2N) 3模型的扩展性比较好，可以直接移植到工作指派等问题。 缺点： 1. 关于满意度的计算参数比较多，具体参数的确定主观性较强。 参考资料 1 Chung-Piaw Teo, Jay Sethurman and Wee-Peng tan, Gale-Shaple
46、y Stable Marriage Problem Revisted: Strategic Issues and Applications, Management Science, Vol. 47,No.9 2001 2 Alvin E. Roth, The Evolution of the Labor Market for Medical Interns and Residents: A Case Study in Game Theory, Journal of Political Economy, 1984, vol. Y2, No. 6 3 Elmar Wolfstetterk, Eco
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