1、河北省唐山一中 2015 届高三上学期 12 月调研考试数学文本试卷是高三文科试卷,以基础知识和基本技能为为主导,在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力,知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点考查:不等式、复数、导数、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何,统计概率等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份好试卷.一、选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合 12Mx, 2Nx,则 MN ( )A.0,)2 B. (, C. 1,) D. 1(,02【知
2、识点】集合及其运算 A1【答案】A【解析】集合 M=x|- x ,N=x|x 2x=x|0x1,则 MN=x|0x ,12 12【思路点拨】解一元二次不等式求得 N,再根据两个集合的交集的定义求得 MN2.复数 3zi( 为虚数单位) ,则复数 z的共轭复数为( )A 2i B i C 4i D 4i【知识点】复数的基本概念与运算 L4【答案】A【解析】由 -i)i|+i 5= +i4i=2+i,得 =2-i(3)zi2(3)1z【思路点拨】直接利用复数模的公式求复数的模,再利用虚数单位 i 的运算性质化简后得 z,则复数 z 的共轭复数可求3.设向量 )21,(),0(ba,则下列结论中正确
3、的是( )A. B. C. ba/ D. ba)(【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算 F2【答案】D【解析】 , 不正确,即 A 错误1(,0)(,)2ab|ab ,故 B 错误; =(1, 0), =( , ),易得 不成立,故 C 错误12b21/ab 则 与 垂直,故 D 正确;()【思路点拨】本题考查的知识点是向量的模,及用数量积判断两个平面向量的垂直关系,由 ,我们易求出向量的模,结合平面向量的数量坐标运算,对四个答案逐一进行判断,1(,0)(,)2ab即可得到答案4.下列关于命题的说法错误的是 ( )A命题“若 0232x,则 1x”的逆否命题为“若 1x,则 0232x”;
4、B“ a”是“函数 ()logaf在区间 (0,)上为增函数”的充分不必要条件;C若命题 p: ,nN,则 p: ,20nN; D命题“ (0)23xx ”是真命题【知识点】命题及其关系 A2【答案】D【解析】因为命题“若 x2-3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x1,则 x2-3x+20”,所以 A 正确;由 a=2 能得到函数 f(x)=log ax 在区间( 0,+ )上为增函数,反之,函数 f(x)=log ax 在区间(0,+)上为增函数,a 不一定大于 2,所以“a=2”是“ 函数 f(x)=log ax 在区间(0,+)上为增函数”的充分不必要条件,所以选项 B 正确;
5、命题 P:nN ,2 n1000,的否定为 P :nN,2 n1000,所以 C 正确;因为当x0 时恒有 2x3 x,所以命题 “x(-,0 ) ,2 x3 x”为假命题,所以 D 不正确【思路点拨】选项 A 是写一个命题的逆否命题,只要把原命题的结论否定当条件,条件否定当结论即可;选项 B 看由 a=2 能否得到函数 f(x)=log ax 在区间(0,+)上为增函数,反之又是否成立;选项 C、D是写出特称命题的否定,注意其否定全称命题的格式5.右图是一容量为 10的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本的重量的中位数为( )A11 B11.5 C12 D12.5 O 5 10 15
6、 20频 率组 距重量0.060.1【知识点】用样本估计总体 I2【答案】C【解析】由题意,5,10 的样本有 50.06100=30,10,15的样本有 50.1100=50 由于10 ,15的组中值为 12.5,由图可估计样本重量的中位数 12.【思路点拨】由题意,5,10的样本有 50.06100=30,10,15的样本有 50.1100=50,结合10,15的组中值,即可得出结论6.已知函数 0xae,f()ln,( a0,其中 e为自然对数的底数),若关于 x的方程 0f(x),有且只有一个实数解,则实数 的取值范围为( )A. 1, B. 12, C. 01, D. 01,【知识点
7、】函数与方程 B9【答案】B【解析】若 a=0 则方程 f(f( x)=0 有无数个实根,不满足条件,若 a0,若 f(f(x)=0,则 f(x)=1,x0 时,f ( )=1,1x关于 x 的方程 f(f(x)=0 有且只有一个实数解,故当 x0时, aex=1 无解,即 ex= 在 x0时无解,1a故 0 或 1,故 a(- ,0)(0,1),1a【思路点拨】若 a=0 则方程 f(f(x) )=0 有无数个实根,不满足条件,若 a0,若 f(f(x) )=0,可得当 x0时,ae x=1 无解,进而得到实数 a 的取值范围7现有四个函数: siny; cosy; |cos|yx; 2xy
8、的图象(部分)如下:则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A B C D【知识点】函数的奇偶性 B4【答案】B【解析】分析函数的解析式,可得:y=xsinx 为偶函数; y=xcosx 为奇函数;y=x|cosx|为奇函数,y=x2 x 为非奇非偶函数且当 x0时,y=x|cosx|0 恒成立则从左到右图象对应的函数序号应为: 【思路点拨】从左到右依次分析四个图象可知,第一个图象关于 Y 轴对称,是一个偶函数,第二个图象不关于原点对称,也不关于 Y 轴对称,是一个非奇非偶函数;第三、四个图象关于原点对称,是奇函数,但第四个图象在 Y 轴左侧,函数值不大于 0,分析四个函数的解析
9、后,即可得到函数的性质,进而得到答案8. 如图三棱锥 , 30oVABCBCVAB ,若侧面 VAC底面 B,则其主视图与左视图面积之比为( )A 4:3 B 4:7 C 7 D 3A CB左视主视V【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2【答案】A【解析】主视图为 RtVAC,左视图为以VAC 中 AC 的高 VD 为一条直角边,ABC 中 AC 的高 BE 为另一条直角边的直角三角形设 AC=X,则 VA= x,VC= x,VD= x,BE= x,32134o XXXX xxyxyxyxy则 S 主视图 :S 左视图 =( x x): ( x x)= 4:31231234【思路点拨】主视
10、图为 RtVAC,左视图为以VAC 中 AC 的高为一条直角边,ABC 中 AC 的高为另一条直角边的直角三角形9.点 )2,4(P与圆 42yx上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A 1x B 4)1()22yx C )()(22y D ( 【知识点】圆的方程 H3【答案】A【解析】设圆上任意一点为(x 1,y 1),中点为(x,y),则 ,142xy142xy代入 x2+y2=4 得(2x-4) 2+(2y+2) 2=4,化简得(x-2) 2+(y+1 ) 2=1【思路点拨】设圆上任意一点为(x 1,y 1),中点为(x,y),则 ,由此能够求出点142xyP(4, -2)与圆 x2+y2
11、=4 上任一点连线的中点轨迹方程10.如图所示的程序框图输出的结果 b ( )A.7 B.9 C.11 D.13【知识点】算法与程序框图 L1【答案】C【解析】第一次循环:b=3 ,a=2 ;第二次循环得:b=5, a=3;第三次循环得:b=7,a=4;第四次循环得:b=9 ,a=5 ;不满足判断框中的条件输出 b=9 = 的展开式的通项为:T r+1=61()bx61(9)x 61(9)rrrCx= 令 3-r=0 得 r=3常数项为( -1)333 =-54063(1)rrCx 6C【思路点拨】根据题意,分析该程序的作用,可得 b 的值,再利用二项式定理求出展开式的通项,分析可得常数项11
12、.以双曲线 1(a0,b0)中心 O(坐标原点)为圆心,焦距为直径的圆与双曲线交于 M 点(第一象x2a2 y2b2限) ,F 1、F 2 分别为双曲线的左、右焦点,过点 M 作 x 轴垂线,垂足恰为 OF2 的中点,则双曲线的离心率为( )A 3 B 3 C 31 D2【知识点】双曲线及其几何性质 H6【答案】C【解析】由题意 M 的坐标为 M( , ), ,代入椭圆方程可得2c2314cabe 4-8e2+4=0, e 2=4+2 e= +13【思路点拨】由题意 M 的坐标为 M( , ),代入椭圆方程可得 e 的方程,即可求出双曲线的离心2c3率12.设等差数列 na满足:2223336
13、3645sioscosins1in()aaa,公差 (1,0)d若当且仅当 9时,数列 的前 项和 nS取得最大值,则首项 1的取值范围是( )A 74,63B 4,32 C 7,63D 4,32【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2【答案】B【解析】由 =1222233363645sincoscosinsi()aaa得: 3363645co()1si 由积化和差公式得:363451co2sco2in()aa整理得: = sin(3d)=-1 63451(cos2)ina6363451(2sin)si()1(aad(-1 ,0),3d(-3,0),则 3d=- ,d=- 2由 Sn=n
14、a1+ = na1+ =- + ()2d()61n1()2a对称轴方程为 n= (a1+ ),由题意当且仅当 n=9 时,数列a n的前 n 项和 Sn 取得最大值,6 (a1+ ) ,解得 a1 79432首项 a1 的取值范围是( , )2【思路点拨】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式,根据公差 d 的范围求出公差的值,代入前 n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项 a1 取值范围第 II 卷(非选择题,共 90 分)二、选择题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13. 向量 ,abc在单位正方形网格中的位置如图所示,则 )(cba .【
15、知识点】平面向量的数量积及应用 F3【答案】3【解析】如图建立平面直角坐标系,则 =(1,3), =(3,-1)- (1,1)=(2,-2),ab=(3,2)-(5,-1)= (-2,3), + =(0,1),c bc =(1, 3)(0,1 )=3 【思路点拨】首先以向量的起点为原点,分别以水平方向和竖直方向为 x 轴、y 轴建立坐标系,将三个向量用坐标表示,再进行运算14.若 5)4sin(x,则 x2sin_.【知识点】二倍角公式 C6【答案】 72abc【解析】sin2x=cos( -2x)=1-2sin 2( -x)=2475【思路点拨】利用诱导公式和两角和公式对 sin2x 化简整
16、理,然后把 sin( -x)=435代入即可得到答案15. 已知正项等比数列 na满足 5672a,若存在两项 nma,使得 12mna,则 n9的最小值为 . 【知识点】基本不等式 E6b【答案】4【解析】设等比数列a n的首项为 a1,公比为 q,a 7=a6+2a5,则 a1q6=a1q5+2a1q4即 q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍去)若 , 则 m+n=412mn则 4( )=(m+n )( )=10+( )10+6=16 则19m999mn【思路点拨】由已知中正项等比数列a n满足:a 7=a6+2a5,我们易求出数列的公比,再结合存在两项am、a n 使得 ,我
17、们可以求出正整数 m,n 的和,再结合基本不等式中 “1”的活用,即可得到答12na案16.对于定义在 D上的函数 ()fx,若存在距离为 d的两条直线 1ykx和 2ykx,使得对任意x都有 12kk恒成立,则称函数 ()fD有一个宽度为 d的通道.给出下列函数: ()fx; ()sinfx; 2()1fx; ln()xf其中在区间 1,上通道宽度可以为 的函数有 (写出所有正确的序号).【知识点】单元综合 B14【答案】【解析】函数,在区间1,+ )上的值域为(0 ,1 ,满足 0f(x)1,该函数在区间1,+)上通道宽度可以为 1;函数,在区间1,+)上的值域为-1,1,满足-1f(x)
18、1,该函数在区间1,+)上通道宽度可以为 2;函数,在区间1,+)上的图象是双曲线 x2-y2=1 在第一象限的部分,其渐近线为 y=x,满足 x-1f(x)x,该函数在区间1,+)上通道宽度可以为 1;函数,在区间1,+)上的值域为0, ,满足 0f(x) 1,1ee该函数在区间1,+)上通道宽度可以为 1故满足题意的有【思路点拨】对 4 个函数逐个分析其值域或者图象的特征,即可得出结论二、解答题:(本题共 5 小题,每小题 12 分,共 60 分)17 (本小题满分 12 分)在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b ,c 已知cosA 23,sinB cosC()求 tan
19、C 的值;()若 a 2,求 ABC 的面积【知识点】解三角形 C8【答案】() 5()【解析】() cos A 230,sinA 251cos3A,又 5cosCsinB sin( AC)sinAcosC sinC cosA cosC 2sinC整理得:tanC 5 () tanC 则 sinC 6又由正弦定理知: siniac,故 3c 又 cosA223bca 解得 3b or b 3(舍去) ABC 的面积为: S 1sin= 52【思路点拨】根据同角三角函数基本关系求出,利用正弦定理余弦定理求出边,求出面积。18.(本小题满分 12 分)四棱锥 P-ABCD,侧面 PAD 是边长为
20、2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,BDA=60()证明:PBC=90;()若 PB=3,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值【知识点】空间向量及运算 G9【答案】(1)略()34【解析】(1)取 AD 中点 O,连 OP.OB,由已知得: OP AD,OB AD,又 OP OB=O, AD平面 POB, BC AD,BC平面 POB,PB平面 POB, BC PB,即PBC =90 (2)如图,以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 O-xyz,则 A(1,0,0),B(0, ,0),C(-2, ,0),由 PO=BO= ,PB=3,得3 3 3POB=120,POZ=30,P
21、(0,- , ),则=(-1, ,0),=(-2,0,0), = (0, ,- ),设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z), 3232 3 332 32则Error!,取 z= ,则 n=(0,1, ), 3 3设直线 AB 与平面 PBC 所成的角为 ,则 sin =|cos|= 34【思路点拨】根据线面垂直证明直角,利用空间向量求出法向量求出正弦值。19.(本小题满分 12 分)一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,收集数据如下:()在 5 次试验中任取 2 次,记加工时间分别为 ,ab 求时间 ,均小于 80 分钟的概率;()请根据第二次
22、、第三次、第四次试验的数据,求出 y关于 x的线性回归方程 ybxa,参考公式如下:( 12()niiiiixyb, xbya, 1212. .,nnxyy)【知识点】变量的相关性 I4【答案】 (1) (2 )y= x+5430【解析】 (1)a,b 构成的基本事件( a,b)有:(62.67 ),(62,75 ),(62,80),(62 ,89),(67,75),(67,80),(67,89),(75,80),(75,89 ),(80,89 )共有 10个 (2 分)其中“a,b 均小于 80 分钟” 的有( 62.67),(62,75 ),(67 ,75)共 3 个 事件“a,b 均小于
23、 80 分钟 ”的概率为 310(2) (20+30+40)=30, (67+75+80)=741xyb= = a= 74- 30=54.52267582y 关于 x 的线性回归方程 y= x+54.0【思路点拨】 (1)确定 a,b 构成的基本事件“a,b 均小于 80 分钟”的基本事件的个数,即可求得概率;(2)分别计算回归系数,利用公式,可得 y 关于 x 的线性回 归方程ybxa。20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 y2=2px (p0)上点 T(3,t) 到 焦点 F 的距离为 4.()求 t,p 的值;y xOBA()设 A、B 是抛物线上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且
24、 5OAB(其中 O 为坐标原点).()求证:直线 AB 必过定点,并求出该定点 P 的坐标;()过点 P 作 AB 的垂线与抛物线交于 C、D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值.【知识点】抛物线及其几何性质 H7【答案】 (1)p=2 ( 2) 963t(5,0)【解析】 (1)由已知得 ,4p所以抛物线方程为 y2=4x,代入可解得 . 3t(2 ) () 设直线 AB 的方程为 ,myt、 ,1,4yA2,4yB联立 得 ,则 , . 2xmt20t124y124yt由 得: 或 (舍去) ,5O121212()506y12即 ,所以直线 AB 过定点 ; 420tt(,)P()由
25、( )得 ,221|1|680ABmym同理得 ,22|()|CD则四边形 ACBD 面积 |SCD 2168021680m2218()(65)mm令 ,则 是关于 的增函数,283652S故 .当且仅当 时取到最小值 96. 96minS1【思路点拨】根据抛物线性质求出方程,直线和抛物线联立求出最小值。21.(本小题满分 12 分)已知函数 ()lnfxax在 1处的切线 l与直线 20xy垂直,函数2()gxfxb()求实数 a的值;()设 12,()是函数 ()gx的两个极值点,若 72b,求 12()gx最小值【知识点】导数的应用 B12【答案】 (1) a(2) (3) 3,152l
26、n8【解析】 (1) ()lfxax, () l与直线 20xy垂直, 12xkya, 1. (2) 由题知 在22 11ln, xbgxbgxb 0gx上有解, 设 ,则 ,所以只需0,021u01u故 b 的取值范围是 . 21340bb或 -3,(3) ,所以令 211xgx0gx1212,xb2 21211 2lnlnbb 21 112122lnlx xxxx120x所以设 ,所以120ttxln0httt2210thtt在 单调递减, ht, 27514b又 2121x54t即,201,40, ln8tttht故所求的最小值是 5ln8【思路点拨】根据导数的意义求出 a 值,利用单
27、调性求出最小值。请考生从给出的 3 道题中任选一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号方框涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡指定位置答题。如果不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答的第一题评分。22 (本小题满分 10 分)(选修 41 几何证明选讲)如图,已知 PE切 O于点 ,割线 PBA交 O于 BA、 两点, A的平分线和 A,分别交于点 DC,. 求证:() DC; () E【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1【答案】 (1)略(2)略【解析】 (1)PE 切圆 O 于点 EA=BEPPC 平分APE,A+CPA=BEP+DPEECD= A
28、+CPA,EDC=BEP+DPE ECD= EDC,EC=ED(2)PDB= EDC , EDC=ECD PDB= PCEBPD=EPC PDBPEC PECBD同理PDEPCA CADDE=CE .APEB【思路点拨】 (1)由弦切角定理是,及 PC 为APE 的平分线,可证得ECD=EDC,进而证得CE=DE(2)先由 AA 证明出PBCECD,进而证得PBCPEC,可由相似三角形对应边成比例得到结论23 (本小题满分 10 分)(选修 44 极坐标参数方程选讲)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别为 2cos,in
29、4.()求 C1 与 C2 交点的极坐标;()设 P 为 C1 的圆心,Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点已知直线 PQ 的参数方程为)(3Rtbyatx,求 a,b 的值【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3【答案】 (I)(4, )(2 , )(2) a=-1,b=24【解析】 (I)圆 C1,直线 C2 的直角坐标方程分别为 x2+(y-2) 2=4,x+y-4=0 ,解 得 或 ,22()40xyxyC 1 与 C2 交点的极坐标为(4 , )(2 , )4(II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为( 0,2),(1,3),故直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0,
30、由参数方程可得 y= x- +12ba ,解得 a=-1,b=212ba【思路点拨】 (I)先将圆 C1,直线 C2 化成直角坐标方程,再联立方程组解出它们交点的直角坐标,最后化成极坐标即可;(II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为( 0,2),(1,3),从而直线 PQ 的直角坐标方程为 x-y+2=0,由参数方程可得 y = x- +1,从而构造关于 a,b 的方程组,解得 a,b 的值ba24.(本小题满分 10 分)(选修 45 不等式选讲)设函数Rxaxf |,|25|)(.()求证:当1a时,不 等 式 1)(lnxf成 立 . ()关于 x的不等式 f)(在 R 上恒成立,求实数 a的最大值.【知识点】选修 4-5 不等式选讲 N4【答案】(1)略( 2) 54【解析】(1) 证明:由 51()|2fxx1225322xx得函数 ()fx的最小值为 3,从而 ()fxe,所以 ln()1fx成立. (2) 由绝对值的性质得 555()| |2faa,所以 ()f最小值为 5|2a,从而 |,解得 4,因此 的最大值为 4.【思路点拨】利用分段函数最值证明结论,根据绝对值的意义求出 a 的最大值。