1、第 12 课时 5.4 算法案例重点难点重点:通过案例分析理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法,体会算法思想. 难点:把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言.学习要求 1理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理,并能根据这些原理进行算法分析. 2基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序.【课堂互动】问题:写出求两个正整数 a,b(ab)的最大公约数的一个算法。1.辗转相除法公元前 3 世纪,欧几里得介绍了求两个正整数 a,b(ab)的最大公约数的方法,求出一列数: ,这列数从第三项开始,每一项都是前两项相除所得的余数0,121nrrba(即
2、) ,余数等于 0 的前一项 ,即是 a 和 b 的最大公约数,这种方)(nnModnr法称为“欧几里得辗转相除法” 。例 1 求两个正数 8 251 和 6 105 的最大公约数(分析:8 251 与 6 105 两数都比较大,而且没有明显的公约数,如能把它们都变小一点,根据已有的知识即可求出最大公约数)【解】8 2516 10512 146显然 8 251 和的 2 146 最大公约数也必是 2 146 的约数,同样 6 105 与 2 146 的公约数也必是 8 251 的约数,所以 8 251 与 6 105 的最大公约数也是 6 105 与 2 146 的最大公约数6 1052146
3、218132 146181313331 81333351483331482371483740则 37 为 8 251 与 6 105 的最大公约数【小结】以上我们求最大公约数的方法就是欧几里得辗转相除法其求最大公约数的步骤如下:第一步:用较大的数 除以较小的数 ,得到一个商 和一个余数 ;mn0q0r第二步:若 ,则 为 的最大公约数;若 ,则用除数 除以余数 ,得0rn, rn0r到一个商 和一个余数 ;1q1第三步:若 ,则 为 的最大公约数;若 ,则用除数 除以余数 得r, 10r1到一个商 和一个余数 ;22依次计算直至 ,此时所得到的 即为所求的最大公约数.0n1nr【练习】求 a=
4、204,b=85 的最大公约数,步骤为:S1 20485 的余数为 34,S2 8534 的余数为 17,S3 3417 的余数为 0。所以它们的最大公约数为 17。算法描述:计算出 ab 的余数 r,若 r=0,则 b 为 a,b 的最大公约数;若 r0,则把前面的除数 b 作为新的被除数,把余数 r 作为新的除数( a,b 要重新赋值,a b,br) ,继续进行上述运算,直到余数为 0(用 While 循环语句,循环的执行条件是 r0,当 r=0 时,循环终止) ,此时的除数即为所求的最大公约数。算法如下:S1 输入两个正整数 a,b(ab);S2 若 Mod(a,b)=0,则转 S3;否
5、则,rMod(a,b), ab,br,转 S2。S3 输出最大公约数 b.【流程图】【伪代码】Read a,bWhile Mod(a,b)0rMod(a,b)abbrEnd WhilePrint b开始brYN结束输入 a,babrMod(a,b)Mod(a,b) 0输出 b2. 更相减损法我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术更相减损术求最大公约数的步骤如下:可半者半之,不可半者,副置分母之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之翻译出来为:第一步:任意给出两个正数,判断它们是否都是偶数若是,用 2 约简;若不是,执行第二步第二步:以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与
6、所得的差比较,并以大数减小数继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数再从这个角度看一下“求 a=204,b=85 的最大公约数”的问题,S1 步可以等价为等式:。S2 步可以等价为等式: 。这两步从减法的角度可以理342850 1723485解为:204-85,所得的差与减式中的较小数比较,再用大的数减小的数,循环执行以上步骤,直到结果为 0。此时减数就是 a 和 b 的最大公约数。这一算法根据它的特点,也可以用循环语句完成。参考代码:/a 放较大的数,b 放较小的数If a r Thena bb rElsea rEnd Ifr a b /确保相减后仍用较大的数
7、减去较小的数End WhilePrint b用“更相减损法”求多于两个数的最大公约数就可以显示出其优越性【小结】比较辗转相除法与更相减损术的区别(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到【追踪训练】1.分析下面一段代码的目的:Read m,nWhile m/nInt(m/n) cm- Int(m/n)nmnncEnd WhilePrint n(Int(x)表示不超过
8、x 的最大整数 )【解】 求 m,n 的最大公约数 。2.用辗转相除法求下列各组数的最大公约数。(1)225,135; (2)98,196.3.用更相减损法求下列各组数的最大公约数。(31)72,168; (2)153,119.4. 现有长度为 360cm 和 780cm 两种规格的钢筋若干.要焊接一批正方形模型.问:怎样才能保证正方体体积最大且不浪费?思路点拨: 正方体的所有棱长都相等 ,故必须将钢筋剪裁成长度相等的钢筋条; 又必须不浪费,这就说明必须剪后无剩余.于是为了保证正方体的体积最大,故剪的钢筋的最大长度为 360cm和 780cm 的最大公约数,可用更相减损术求最大公约数.第 11
9、 课时算法案例(2)分层训练1、阅读下列代码,写出该代码的运行结果t1n3s0While s10 ttnss+tEnd WhilePrint s答: 2、设计一个计算 13579 的算法下面给出了程序的一部分,则在横线上不能填入下面数据中的( )SlI3While I SSIII+2End WhilePrint SA9 B95 C 10 D10.53、下列一段伪代码执行结束后 S 的目的是( )S0alFor I From l To 4a2aSS+aEnd ForA计算 2+22+23+24 B计算 2+22+23 C计算 23 D计算 244. 先用不同的算法计算,再比较其优劣。112349
10、05. 已知ABC 中 ,试写出作ABC 的一个算法。,ABcCaAb6. 用条件语句表示:输入 x 的值,通过 计算 y 的值。124(,2),xxy7. 写出求 中最大数的一个算法。12310,a8、一球从 l00m 高度落下,每次落地后反弹回原高度的一半,再落下,在第十次落地时,共经过多少路程?第十次下落多高?思考 运用9. 我国古代劳动人民对不定方程的研究作出过重要贡献,其中张丘建算经中的百鸡问题就是一个很有影响力的问题:“今有鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一。凡百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何?”其意思是:一只公鸡的价钱是五钱,一只母鸡的价钱是三钱,三只小鸡的价钱是一钱。现在用一百钱买一百鸡,可以买公鸡、母鸡、小鸡各几个?这是一个不定方程的整数解问题,假设公鸡 x 只,母鸡 y 只,小鸡 z 只,首先,可以大致得到 x 在 1 至 20 之间,y 在 1 至 33 之间,z=100-x-y 可以确定。根据上述算法思想,画出求解的流程图,并写出相应的伪代码。w.w.gkstk