1、不等式专题复习一. 裂项放缩:1.求证: nk1235证:由 )12(42n得到 3521).5312 kn注:常见变型: 或)1(12nn )12(1422 nn 3)(.3(.)( Cn nnn21)12( nn 22 )1(21)(2nnn )!(!)1( 12)12()2()2( 1 nnnnn2.求证: )(67)1(.51322 nn证:由 )12(1)()()(2 nn得到 ).75321)(.5132 n)12(6)1(nn3.求证: 241.36142n证:由 )(2n得到 )12.531(.12 n42)n4. 351.9412nn证:先证左边:1)(.4.2 n再证右边:
2、35)21.7513(1.9412 n5.已知 , ,求证:nnanaaT.21 .21nT证:由 )1(323243111 nnnnnn得到 )(. 1121 nnT二. 函数放缩:6.求证: 653l.4l32lnn证:先构造函数有 xx1l1l得 )31.2(3ln.43n2l nn其中 )31.231(.)91876514()321(. nnnn 65)312()32(.)936()12( 11 nnn由,得 l.4lnl nn7.求证: 1.2)1l(.312证:构造函数有 xxnln得 nkk1.2)1(l)1l(11.3ln)ln( 111 kknn8.求证: 32)(.)32(
3、)( ne证:构造函数有 则xln)1(1ln得 32)1(32)(2)(132)(1l 1 nnkkknkknk9.求证: 4l.54ln32l )(n证:构造函数有 211l xx得 4)(ln.543n2l 2k10.已知函数 ,若 ,证明xfl)(0ba )(2ln)() bfafbaf 证:令 ln)(),0 fxfgaxl)l(2ln则 ,则 在 上递减,在 上递增,bx2l)(, )(0bb所以有 g )(ln)(bfafaf 三. 分式放缩:11.求证: 12)1).(513)( n证:记 BnA.67453,2642则 AB即 12)1).(513)( n注:也可得到 2n1
4、2.求证: 3)2).(74)(证:记 13.8956,31851 nBnAC.9063则 331, ACAB即: 3)21).(741)(n13.求证: 2.3n证: 212(.)81765()413(1.21 1 nnn2.82). nnn 四. 借助数列递推关系14.求证: 12.64)1(531.64231 证:记 nnnnn aaaa )(2.)(51 .)(.3. 21221n1)(n其中 3221.431 an所以 12121)(.21 nnnan15.若 ,求证:1,1nan )1(21.21 naa证:由 nnnnn a 211121得 )(.)()()(. 13524131
5、21 nn aaaa211n1na)1(22n五. 均值不等式放缩:16.设 ,求证:)1(.31nSn 2)1(2)(nS证:由 2)(得 2)1()1(212nnSnn注: aaaannn 21111 . 17.若 ,求证:nn)(1) 1a(2) 4n证:(1)由 111 )()2()(1)( nnnnn aa(2)由 4)2()2(1( 2 nnn a六. 加强命题法:18. 数列 中, ,对任何 有na231,2n)1(3nan求证 ！n*.321证:由已知可以推出 ,令13na13nnb即证 2.21b现用数学归纳法证明: 132.1321 nn当 时,左边= ,右边= ,命题成立1n假设 时, 成立,k 132.1321 kk则 132.3 1121 kkkkk所以 时,命题也成立.kn即: 213121 nn!*.32an
