1、1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理教学建议在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用到计数原理,可以把它作为计数原理的一个应用,另一方面也为学习随机变量及其分布作准备.另外,由于二项式系数是一些特殊的组合数,由二项式定理可导出一些组合数的恒等式,这对深化组合数的认识有好处.总之,二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识.本节课要在用计数原理分析(a+b) n展开式的基础上,得出二项式定理的猜想,并用计数原理给出证明.重点:用计数原理分析(a+b) n的展开式 ,得到二项式定理.难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.资源拓
2、展二项式定理的发现历程在中国被称为“贾宪三角 ”或“杨辉三角”,一般认为是北宋数学家贾宪所首创 .它记载于杨辉的详解九章算法(1261)之中. 在阿拉伯数学家卡西的著作算术之钥(1427)中也给出了一个二项式定理系数表,他所用的计算方法与贾宪的完全相同.在欧洲,德国数学家阿皮安努斯在他 1527 年出版的算术书的封面上刻有此图.但一般却称之为“帕斯卡三角形 ”,因为帕斯卡在 1654 年也发现了这个结果 .无论如何,二项式定理的发现,在中国比在欧洲要早 300 年左右.1665 年,牛顿把二项式定理推广到 n 为分数与负数的情形,给出了展开式,但并未给出进一步证明.1811 年,高斯对此进行了严格的证明,结果表明牛顿的猜想是正确的.
