1、2.1.3 等角定理及两条直线的垂直关系考点一：等角定理的应用1.如图所示，在正方体 AC1 中， M、 M1 分别是 AD、 A1D1 的中点求证：BMCB 1M1C1.分析 证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等解析 解法 1：连 M1M，M 1、M 分别是 A1D1 和 AD 的中点A 1M1 AMAMM 1A1 为/平行四边形Error! MM1 BB1/四边形 BB1M1M 为平行四边形Error! BMCB 1M1C1.解法 2：同上可证 M1B1BM 为平行四边形Error!M 1C1B1MCBBMCB 1M1C1.考点二
2、：异面直线所成的角1.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求下列异面直线所成的角(1)A1B 与 CC1 (2)AB 与 B1C1来源：(3)A 1B 与 AC.解析 (1)BB 1CC 1， A1BB1 就是 A1B 与 CC1 所成的角，等于 45.(2)B 1C1BCABC 就是 AB 与 B1C1 所成的角，等于 90.(3)ACA 1C1，BA 1C1 就是 AC 与 A1B 所成的角，在A 1BC1 中，A1BBC 1A 1C1，BA 1C160即 A1B 与 AC 所成角为 60.2.四棱锥 ABCD 中，AD 1，AC ，BC ，BD ，ADBC，则 AC 与 BD32
3、3 132所成的角为_答案 90解析 解法 1：如图所示，分别取 AD、CD、AB、BD 的中点 E、F、G 、H，连结EF、FH 、HG、GE、GF.EFAC，且 EF ，GEBD，且 GE .GE 和 EF 所成的锐角(或直角)就是 AC34 134和 BD 所成的角同理，GH ，HF ，GHAD，HF BC.12 32又 ADBC，GHF 90.GF 2GH 2HF 在EFG 中，EG 2EF 21GF 2，GEF90，即 AC 和 BD 所成的角为 90.解法 2：如图所示，在平面 BCD 内，过 C 作 CE BD.连结 DE，则/DE BC，ACE 就是 AC 和 BD 所成的角或
4、其补角/又 ADBC，ADDE .AE 2AD 2DE 24.在ACE 中，AC2CE 2 2 24AE 2，(32) ( 132)ACE90.即 AC 和 BD 所成的角为 90.考点三：异面直线所成角的找法及计算1.由四个全等的等边三角形围成的封闭几何体称为正四面体如图，正四面体 ABCD 中，E、F 分别是棱 BC、AD 的中点，CF 与 DE 是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线 CF、DE 的平行线，找出异面直线 CF 与 DE 所成的角解析 思路 1：选取平面 ACD，该平面有以下两个特点：该平面包含直线 CF，该平面与 DE 相交于点 D，伸展平面 ACD，在该平面
5、中，过点 D 作 DMCF 交 AC 的延长线于 M，连结 EM.可以看出：DE 与 DM 所成的角，即为异面直线 DE 与 CF 所成的角如图1.思路 2：选取平面 BCF，该平面有以下两个特点： 该平面包含直线 CF，该平面与 DE相交于点 E.在平面 BCF 中，过点 E 作 CF 的平行线交 BF 于点 N，连结 ND，可以看出：EN 与 ED 所成的角，即为异面直线 FC 与 ED 所成的角如图 2.思路 3：选取平面 ADE，该平面有如下两个特点： 该平面包含直线 DE，该平面与 CF相交于点 F.在平面 ADE 中，过点 F 作 FGDE，与 AE 相交于点 G，连结 CG，可以
6、看出：FG 与 FC 所成的角，即为异面直线 CF 与 DE 所成的角如图 3.思路 4：选取平面 BCD，该平面有如下特点：该平面包含直线 DE，该平面与 CF 相交于点 C，伸展平面 BCD，在该平面内过点 C 作 CKDE 与 BD 的延长线交于点 K，且DKBD，连结 FK，则 CF 与 CK 所成的角，即为异面直线 CF 与 DE 所成的角如图 4.2.在四面体 ABCD 中，已知各个面都是正三角形，E 是棱 BC 的中点，则异面直线 AE 和BD 所成角的余弦值为_解析 如图取 CD 的中点 F，E 为 BC 的中点，EF BD ，AE 与 EF 所成的锐角或直角就是异面直线 AE
7、 和 BD 所成的角设四面体的棱长为 a，由正三角形的性质知，AEAF a，EF a.32 12在AEF 中，cosAEF ，12EFAE 36即异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值为 .363.空间四边形 ABCD 中，P 、Q、R、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点中华资源库 (1)若 ACBD 时，PQRH 是什么四边形？(2)空间四边形满足什么条件时，PQRH 为正方形？解析 (1)在ABD 中，P、H 为 AB，AD 中点，PH BD，同理，QR BD，PH QR/12 /12 /四边形 PQRH 为平行四边形来源：ACBD，PHBD ，PQAC ，HPQ 90，四边形，
8、PQRH 为矩形(2)由(1)知，当 ACBD 时，四边形 PQRH 为矩形，要使四边形为正方形，应有 PHPQ，ACBD ，当 ACBD ，且 ACBD 时，PQRH 为正方形4.(07福建) 在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F、G 、H 分别为 AA1、AB、BB 1、B 1C1的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于 ( )A45 B60C90 D120 答案 B解析 取 A1B1 的中点 M，E、F 、G 分别为 A1A、AB、BB 1 的中点，EFA 1BGM，MGH 为两异面直线 EF 与 GH 所成的角(或补角)，易知 GHM 为正三角形，MGH60，故选 B
