1、课时演练促提升A 组1.“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”是“ 方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析:“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”时,不一定能得到“方程 f(x,y)=0 是曲线C 的方程”,但反之 ,如果“方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程”,必能得出“曲线 C 上的点的坐标都是f(x,y)=0 的解”.答案:B2.方程 y=3x-2(x1)表示的曲线为( )A.一条直线 B.一条射线 C.一条线段 D.不能确定解析:方程 y=3x
2、-2 表示的曲线是一条直线,当 x1 时,它表示一条射线 .答案:B3.曲线 xy=2 与直线 y=x 的交点是( )A.() B.(-,-)C.()或(-,- ) D.不存在解析:由解得即交点坐标为()或(- ,-).答案:C4.如图所示的曲线方程是( )A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.-1=0D.-1=0解析: (0,0)点在曲线上, C,D 不正确. x0,yR, B 正确.答案:B5.一动点 C 在曲线 x2+y2=1 上移动时,它和定点 B(3,0)连线的中点 P 的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1 D.+y
3、2=1解析:设 C(x0,y0),P(x,y).依题意有所以因为点 C(x0,y0)在曲线 x2+y2=1 上,所以(2x- 3)2+(2y)2=1,即点 P 的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.答案:C6.如果方程 ax2+by2=4 的曲线过点 A(0,-2),B,则 a= ,b= . 解析:由已知解得答案:4 17.已知动点 M 到点 A(9,0)的距离是 M 到点 B(1,0)的距离的 3 倍,则动点 M 的轨迹方程是 .解析:设 M(x,y),则|MA|= ,|MB|=.由|MA|= 3|MB|,得=3,化简得 x2+y2=9.答案:x 2+y2=98.已知曲线 C 的方程是 y
4、2-xy+2x+k=0.(1)若点(1, -1)在曲线 C 上,求 k 的值;(2)当 k=0 时,判断曲线 C 是否关于 x 轴、y 轴、原点对称?解:(1)因为点(1,-1)在曲线 C 上 ,所以(-1) 2-1(-1)+21+k=0,解得 k=-4.(2)当 k=0 时,曲线 C 的方程为 y2-xy+2x=0.以-x 代替 x,y 不变 ,方程化为 y2+xy-2x=0,所以曲线 C 不关于 y 轴对称;以-y 代替 y,x 不变 ,方程化为 y2+xy+2x=0,所以曲线 C 不关于 x 轴对称;同时以-x 代替 x,-y 代替 y,方程化为(-y) 2-(-x)(-y)+2(-x)
5、=0,即 y2-xy-2x=0,所以曲线 C 不关于原点对称.9.已知两点 A(,0),B(-,0),点 P 为平面内一动点,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 Q,且=2,求动点 P的轨迹方程.解:设动点 P 的坐标为(x ,y),则点 Q 的坐标为(0,y ).于是=( -x,0),=(-x,-y),=(-x,-y),=x2-2+y2.由=2,得 x2-2+y2=2x2,即 y2-x2=2.故动点 P 的轨迹方程为 y2-x2=2.B 组1.方程 x2+xy=x 表示的曲线是( )A.一个点 B.一条直线C.两条直线 D.一个点和一条直线解析: x2+xy=x 可化为 x(x+y-1)=0
6、,即 x=0 或 x+y-1=0, 原方程表示两条直线.答案:C2.已知 A(-1,0),B(2,4),ABC 的面积为 10,则动点 C 的轨迹方程是 ( )A.4x-3y-16=0 或 4x-3y+16=0B.4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0C.4x-3y+16=0 或 4x-3y+24=0D.4x-3y+16=0 或 4x-3y-24=0解析:|AB|=5. SABC=|AB|h=10, h=4,即顶点 C 到 AB 所在直线的距离为 4,易求 AB 所在直线的方程为 4x-3y+4=0.设点 C(x,y),则=h=4, 4x-3y+4=20.故选 B.答案:B3.方程|x
7、|+|y|=1 所表示的曲线 C 围成的图形的面积为 . 解析:方程|x|+|y|=1 所表示的曲线 C 围成的图形是正方形 ABCD(如图),其边长为.故方程|x|+|y|= 1 所表示的曲线 C 围成的图形的面积为 2.答案:24.已知 RtABC,|AB|=2a(a0),求直角顶点 C 的轨迹方程.解法一:以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则有 A(-a,0),B(a,0),设顶点 C(x,y).由ABC 是直角三角形可知|AB| 2=|AC|2+|BC|2,即(2a) 2=(x+a)2+y2+(x-a)2+y2,化简得x2+y2=a2.依题
8、意可知,x a.故所求直角顶点 C 的轨迹方程为 x2+y2=a2(xa).解法二:以 AB 所在直线为 x 轴,AB 的中点为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则 A(-a,0),B(a,0). ACB=90, 点 C 在以 AB 为直径的圆上. 以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2=a2,又 C 与 A,B 不重合, xa. 顶点 C 的轨迹方程为 x2+y2=a2(xa).5.若直线 y=kx+1 与曲线 mx2+5y2-5m=0(m0)恒有公共点 ,求 m 的取值范围.解:将 y=kx+1 代入 mx2+5y2-5m=0,得(m+5k 2)x2+10kx+5(1-m)=0.由题意
9、得,该方程对 kR 总有实数解, =20m(m-1+5k2)0 对 k R 恒成立. m0, m1-5k 2恒成立 . 1-5k21, m1.故 m 的取值范围是1,+).6.已知 A,B 分别是直线 y=x 和 y=-x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2,P 是 AB 的中点.求动点P 的轨迹 C 的方程.解:设 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2). P 是线段 AB 的中点, A,B 分别是直线 y=x 和 y=-x 上的点, y1=x1,y2=-x2,又 |AB|=2, (x1-x2)2+(y1-y2)2=12. 12y2+x2=12. 动点 P 的轨迹方程为+y 2=1.
