1、示范教案12.2 集合的运算整 体 设 计教学分析 课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍补集和全集等概念在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如归纳等值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用 Venn 图的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用 Venn 图进行求补集的运算三维目标 1理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高归纳的能力2通过观察和类比，借助 Venn 图理解集合的基本运算体会直观图示对理解抽象概念
2、的作用，培养数形结合的思想重点难点 教学重点：交集与并集，全集与补集的概念教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系课时安排 2 课时教 学 过 程第 1 课时导入新课 思路 1.我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如 538.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题思路 2.请同学们考察下列各个集合，你能说出集合 C 与集合 A、B 之间的关系吗？(1)A1,3,5，B2,4,6，C1,2,3,4,5,6；(2)Ax|x 是有理数，Bx|x 是无理数，Cx|x 是实数 引导学生通过观察、归纳、思考和交流，得出结论教师强调集合也有运算，这就是我们本
3、节课所要学习的内容思路 3.(1)如下图甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合 A、集合 B有什么关系？ 观察集合 A 与 B 与集合 C1,2,3,4之间的关系(2)已知集合 A1,2,3，B2,3,4，写出由集合 A， B 中的所有元素组成的集合 C.已知集合 Ax|x1，Bx|x0，在数轴上表示出集合 A 与 B，并写出由集合A 与 B 中的所有元素组成的集合 C.学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的运算推进新课 Error!Error!通过上述问题中集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？用文字语言来叙述上述问题中
4、，集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系用数学符号来叙述上述问题中，集合 A 与 B 与集合 C 之间的关系试用 Venn 图表示 AB C.请给出集合的并集定义求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？请同学们考察下面的问题，集合 A 与 B 与集合 C 之间有什么关系？()A2,4,6,8,10 ，B3,5,8,12，C8；()Ax|x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级女同学 ，Bx|x 是国兴中学2007 年 9 月入学的高一年级男同学，Cx|x 是国兴中学 2007 年 9 月入学的高一年级同学类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语
5、言形式来表达活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用 Venn 图来显示讨论结果：集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相 混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集集合 C 叫集合 A 与 B 的并集，记为 ABC，读作 A 并 B.所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成了集合 C.Cx|xA，或 xB 如下图所示 一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合 A 与 B的并集其
6、含义用符号表示为 ABx|xA，或 xB集合之间还可以求它们的公共元素组成集合的运算，这种运算叫求集合的交集，记作 AB，读作 A 交 B.()ABC，()ABC.一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 的交集其含义用符号表示为：ABx|xA ，且 xB用 Venn 图表示，如下图所示 Error!思路 1例 1 设 A4,5,6,8，B3,5,7,8，求 AB，AB.活动：让学生回顾集合的表示法和交集、并集的 含义，由于本例题难度较小，让学生自己解决，重点是总结集合运算的方法根据集合并集、交集的含义，借助于 Venn 图写出观察这两个 集合中的元素，或
7、用 Venn 图来表示，如下图所示 解：AB4,5,6,83,5,7,83,4,5,6,7,8AB4,5,6,83,5,7,8 5,8点评：本题主要考查集合的并集和交集用列举法表示的集合，运算时常利用 Venn图或直接观察得到结果本题易错解为 AB3,4,5,5,6,7,8,8 其原因是忽视了集合元素的互异性解决集合问题要遵守集合元素的三条性质.变式训练1集合 M1,2,3，N1,5,6,7 ，则 MN _，MN_.答案：1,1,2,3,5,6,7 2集合 P1,2,3 ，m，Mm 2,3，PM1,2,3 ，m，则 m_.解析：由题意得 m21 或 2 或 m，解得 m1,1， ， ，0.因
8、m1 不合题意，故舍2 2去答案：1， ， ，02 23求下列每对集合的交集：(1)Ax|x 22x30，Bx|x 24x30；(2)C1,3,5,7，D2,4,6,8解：(1)AB1，3 1，3 3；(2)CD 4.已知 Qx|x 是有理数，Zx|x 是整数，求 QZ .解：QZx|x 是有理数 x|x 是整数x|x 是有理数Q.例 2 设 Ax|1x2，Bx|1x3，求 AB ，AB.活动：学生回顾集合的表示法和并集、交集的含义利用数轴，将 A、B 分别表示出来，则阴影部分即为所求用数轴表示描述法表示的数集解：将 Ax|1x2及 Bx|1x3在数轴上表示出来，如下图所示的阴影部分即为所求
9、由 图得 AB x|1x2x|1 x3x|1x3，ABx| 1 x2x|1x3 x|1x2点评：本类题主要考查集合的并集和交集用描述法表示的数集，运算时常利用数轴来计算结果.变式训练1设 Ax|2x42，Bx|2x40，求 AB ，AB.答案：ABR，ABx|2x3 2设 Ax|2x42，Bx|2x40，求 AB ，AB.答案：AB3,2，AB 3设 Ax|x 是奇数，Bx|x 是偶数，求 AZ，B Z，AB.解：AZx|x 是奇数x|x 是整数 x|x 是奇数A，BZx|x 是偶数x|x 是整数 x|x 是偶数B，ABx|x 是奇数 x|x 是偶数 4已知 A(x，y)|4xy6，B(x，y
10、)|3x2y7 ，求 AB.分析：集合 A 和 B 的元素是有序实数对(x，y) ，A，B 的交集即为方程组 Error!的解集解 ：AB(x ，y)|4xy6(x，y)|3x2y7(x，y)|Error!(1,2)5已知 Ax|x 是等腰三角形，Bx|x 是直角三角形，求 AB.解：ABx|x 是等腰三角形x|x 是直角三角形 x|x 是等腰直角三角形.思路 2例 1 Ax|x5，Bx|x 0，Cx|x10，则 AB，BC，ABC 分别是什么？活动：学生先思考集合中元素特征，明确集合中的元素将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果的寻求就容易进行这三个集合都是用描述法表示的数集，求
11、集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素解：因 Ax|x5，Bx|x0，Cx|x10，在数轴上表示，如下图所示，所以AB x|0x 5，BC x|x0 ，ABC 点评：本题主要考查集合的交集和并集求集合的并集和交集时，明确集合中的元素；依据并集和交集的含义，借助于直观(数轴或 Venn 图) 写出结果.变式训练1设 Ax|x2 n，nN ，B x|x2n，nN ，求 AB，AB.解：对任意 mA，则有 m 2n22 n1 ，nN ，因 nN ，故 n1N，有 2n1 N，那么 mB，即对任意 mA 有 mB ，所以 A B.而 10B 但 10 A，即 A B，那么 ABA，AB
12、B.2求满足1,2B1,2,3的集合 B 的个数解：满足1,2B1,2,3的集合 B 一定含有元素 3，B3；还可含 1 或 2 其中一个，有1,3，2,3 ；还可含 1 和 2，即1,2,3，那么共有 4 个满足条件的集合 B.3设 A4,2，a 1，a 2，B 9 ，a5,1a，已知 AB9 ，求 a.解：因 AB9，则 9A，a19 或 a29，a10 或 a3，当 a10 时，a55,1a 9；当 a3 时，a12 不合题意；当 a3 时，a 14 不合题意故 a10，此时 A4,2,9,100，B9,5，9 ，满足 AB94设集合 Ax|2x13，Bx|3x2，则 AB 等于 ( )
13、Ax|3x1 Bx|1x2Cx|x3 Dx|x1解析：集合 Ax|2x13x|x1 ，观察或由数轴得 ABx|3x1答案：A例 2 设集合 Ax|x 24x0，Bx|x 22(a 1)xa 210，aR ，若AB B，求 a 的值活动：明确集合 A、B 中的元素，教师和学生共同探讨满足 ABB 的集合 A、B 的关系集合 A 是方程 x24x 0 的解集，可以发现，B A，通过分类讨论集合 B 是否为空集来求 a 的值利用集合的表示法来认识集合 A、B 均是方程的解集，通过画 Venn 图发现集合 A、B 的关系，从数轴上分析求得 a 的值解：由题意得 A4,0ABB，B A.B 或 B 当
14、B 时，即关于 x 的方程 x22(a1)x a 210 无实数解，则 4(a1) 24(a 21) 0，解得 a 1.当 B 时，若集合 B 仅含有一个元素，则 4(a1) 2 4(a21)0，解得 a1，此时，Bx|x 200 A，即 a1 符合题意若集合 B 含有两个元素，则 这两个元素是4、0，即关于 x 的方程 x22(a1)x a 210 的解是4、0.则有Error! 解得 a1，则 a 1 符合题意综上所得，a1 或 a1.点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关系，通过深刻理解集
15、合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.变式训练1已知非空集合 Ax|2a 1x3a5，Bx|3x22 ，求能使 A (AB)成立的所有a 值的集合解：由题意知 A (AB)，即 A B，A 非空，得Error!解得 6a9，即所有 a 值的集合是a|6a92已知集合 Ax|2x5，集合 Bx|m1x2m 1，且 ABA，试求实数 m 的取值范围分析：由 ABA 得 B A，则有 B 或 B ，因此对集合 B 分类讨论解：ABA，B A. 又Ax|2x5 ，B ，或 B 当 B
16、时，有 m12m1，m 2.当 B 时，观察下图： 由数轴可得Error!解得2m3.综上所述，实数 m 的取值范围是 m2 或2m3 ，即 m3.Error!1设 a3,5,6,8 ，B4,5,7,8，(1)求 AB，A B.(2)用适当的符号( 、 )填空：(AB)_A，B_(AB) ，(A B)_A，(AB)_B，(AB)_(AB) 解：(1)因 A、 B 的公共元素为 5、8，则 AB3,5,6,84,5,7,85,8又 A、B 两集合的元素为 3、4、5、6、7、8，故 AB3,4,5,6,7,8(2)(AB) A，B (AB)，(AB) A，(AB) B，(AB) (AB)2设 A
17、x|x5 ，Bx|x0，求 AB.解：因 x5 及 x0 的公共部分为 0x5，故 ABx|x 5x|x0 x|0x53设 Ax|x 是锐角三角形，Bx|x 是钝角三角形，求 AB.解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立，故 A、B 两集合没有公共部分所以 ABx|x 是锐角三角形x|x 是钝角三角形 4设 Ax|x2，Bx|x3，求 AB.解：在数轴上将 A、B 分别表示出来，得 AB x|x25设 Ax|x 是平行四边形，Bx|x 是矩形，求 A B.解：因矩形是平行四边形，故由 A 及 B 的元素组成的集合为 AB，ABx|x 是平行四边形6已知 M1，N 1,2，设 A
18、(x，y)|xM，yN，B(x，y)|xN，yM，求 AB，AB.分析：M、N 中元素是数，A、B 中元素是平面内点集，关键是找其元素解：M1，N1,2，则 A(1,1)，(1,2) ，B(1,1)，(2,1)，故 AB(1,1)，AB (1,1)， (1,2)，(2,1) 7若 A、B、C 为三个集合， ABBC，则一定有( )AA C BC A CAC DA解析：思路 一：(BC) B，(BC) C，ABBC，(A B) B，(AB) C.A B C.A C.思路二：取满足条件的 A1，B1,2，C 1,2,3，排除 B、D，令 A1,2 ， B1,2，C1,2，则此时也满足条件 AB B
19、C，而此时 AC，排除 C.答案：AError!观察：(1)集合 A1,2，B1,2,3,4时，AB、AB 这两个运算结果与集合 A、B的关系；(2)当 A 时， AB、AB 这两个运算结果与集合 A、B 的关系；(3)当 AB1,2时，AB 、A B 这两个运算结果与集合 A、B 的关系由(1)(2)(3)你发现了什么结论？活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合 A、B 的关系用Venn 图来发现运算结果与集合 A、B 的关系(1)(2)(3)中的集合 A、B 均满足 A B，用Venn 图表示，如下图所示，就可以发现 AB、AB 与集合 A、B 的关系解：ABA A B
20、 AB B.可用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：ABB A，A (AB)，B (AB)；AAA，A A，A B ABB；ABBA ；(AB) A，(AB) B；AAA ；A ；A B ABA.Error!本节主要学习了：1集合的交集和并集2通常借助于数轴或 Venn 图来求交集和并集Error!1课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？2请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义3书面作业：课本习题 12A 3、4、5.设 计 感 想由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容设计中通过借助于数
21、轴或 Venn 图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法(设计者：尚大志)第 2 课时导入新课 问题：分别在整数范围和实数范围内解方程(x3)(x )0，其结果会相同吗？3若集合 Ax|0x2，xZ ，B x|0x2，xR，则集合 A、B 相等吗？学生回答后，教师指明：在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题推进新课 Error!Error!用列举法表示下列集合：Ax Z|(x2)(x )(x )0；13 2BxQ|(x2)(x )(x )0 ；13 2CxR|(x2)(x )(x )013 2问题中三个集合相等吗？为什么？由此看，解方程时
22、要注意什么？问题，集合 Z、Q、R 分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义已知全集 U1,2,3，A1，写出全集中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 B.请给出补集的定义用 Venn 图表示 UA.活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围讨论结果：A2，B2， ，C 2 ， ， 13 13 2不相等，因为三个集合中的元素不相同解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用 U 表示B
23、2,3对于一个集合 A，全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集. 集合 A 相对于全集 U 的补集记为 UA，即 UAx|xU ，且 x A如下图所示，阴影表示补集 Error!思路 1例 1 设 Ux|x 是小于 9 的正整数，A 1,2,3 ，B3,4,5,6，求 UA， UB.活动：让学生明确全集 U 中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集 U，依据补集的定义写出 UA， UB.解：根据题意，可知 U1,2,3,4,5,6,7,8，所以 UA4,5,6,7,8； UB1,2,7,8点评：本题主要考查补集的概念和求法用列举法表示的集合，依据
24、补集的含义，直接观察写出集合运算 的结果常见结论： U(AB)( UA) ( UB)； U(AB)( UA)( UB).变式训练1已知 U1,2,3,4,5,6，A1,3,5求 UA，A UA，A UA.解： UA2,4,6，A UA ，A UAU.2已知 Ux|x 是实数，Qx|x 是有理数，求 UQ.解： UQx|x 是无理数3已知 UR，Ax|x5，求 UA.解： UAx|x5.例 2 设全集 Ux|x 是三角形 ，Ax|x 是锐角三角形，Bx|x 是钝角三角形求 AB， U(AB)活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义结合交集、并集和补集的含义写出结果AB 是由集合
25、A、B 中公共元素组成的集合， U(AB)是全集中除去集合 AB 中剩下的元素组成的集合解：根据三角形的分类可知 AB ，ABx|x 是锐角三角形或钝角三角形 ，U(AB) x|x 是直角三角形.变式训练1已知集合 Ax|3x8，求 RA.解： RAx|x3 或 x82设 Sx|x 是至少有一组对边平行的四边形 ，A x|x 是平行四边形 ，B x|x 是菱形 ，Cx|x 是矩形 ，求 BC， AB， SA.解：BCx|正方形， ABx|x 是邻边不相等的平行四边形， SA x|x 是梯形3已知全集 IR，集合 Ax|x 2ax12b0 ，B x|x 2axb0，满足( IA)B2，( IB)
26、A4，求实数 a、b 的值答案：a ，b .87 1274设全集 UR，Ax|x2 ，B 3,4,5,6，则( UA)B 等于( )3A4 B4,5,6C2,3,4 D1,2,3,4解析：UR，Ax|x2 ， UAx|x2 而 4、5、6 都大于3 32 ，( UA)B4,5,63答案：B思路 2例 1 已知全集 UR，Ax|2x4 ，Bx|3x3，求：(1) UA， UB；(2)( UA)( UB)， U(AB)，由此你发现了什么结论？(3)( UA)( UB)， U(AB)，由此你发现了什么结论？活动：学生回想补集的含义，教师指导学生利用数轴来解决依据补集的含义，借助于数轴求得在数轴上表示集合 A，B.解：如下图所示， (1)由图得 UAx|x 2 或 x4 ， UBx|x3 或 x3(2)由图得( UA)( UB)x|x 2 或 x4 x|x3 或 x3x|x2 或
