1、 统计案例一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1对于自变量 x 和因变量 y，当 x 取值一定时，y 的取值带有一定的随机性，x，y 之间的这种非确定性关系叫( )A函数关系 B线性关系C相关关系 D回归关系解析：选 C 由相关关系的概念可知， C 正确2在一线性回归模型中，计算其相关指数 R20.96，下面哪种说法不够妥当( )A该线性回归方程的拟合效果较好B解释变量对于预报变量变化的贡献率约为 96%C随机误差对预报变量的影响约占 4%D有 96%的样本点在回归直线上解析：选 D 由相关指数 R2 表示的意义可知 A、B 、C 三种说法都很妥当，相关指数R20.
2、96 ，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有 96%的样本点在回归直线上，故选 D.3下表显示出样本中变量 y 随变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能是( )x 4 5 6 7 8 9 10y 14 18 19 20 23 25 28A线性函数模型 B二次函数模型C指数函数模型 D对数函数模型解析：选 A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型4下表是某厂 14 月份用水量(单位：百吨) 的一组数据：月份 x 1 2 3 4用水量 y 4.5 4 3 2.5由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好
3、的线性相关关系，其线性回归方程是0.7 x ，则 ( )y a a A10.5 B5.15C5.2 D5.25解析：选 D 样本点的中心为 (2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得 5.25.a 5下面的等高条形图可以说明的问题是( )A “心脏搭桥”手术和“血管清障 ”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B “心脏搭桥”手术和“血管清障 ”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D “心脏搭桥”手术和“血管清障 ”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有 100%的把握解析：选 D 由等高条形图可知选项 D 正确6根据一位母亲
4、记录儿子 39 岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为 7.19 x73.93，若用此方程预测儿子 10 岁时的身高，有关叙述正y 确的是( )A身高一定为 145.83 cmB身高大于 145.83 cmC身高小于 145.83 cmD身高在 145.83 cm 左右解析：选 D 用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值当 x10 时，y145.83，只能说身高在 145.83 cm 左右7在 22 列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( )A. 与 B. 与aa b cc d ac d ca bC. 与 D. 与aa d
5、cb c ab d ca c解析：选 A 当 ad 与 bc 相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时 与aa b相差越大cc d8如图，5 个(x，y)数据，去掉 D(3,10)后，下列说法错误的是 ( )A相关系数 r 变大B残差平方和变大C相关指数 R2 变大D解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强解析：选 B 由散点图知，去掉 D 后，x 与 y 的相关性变强，且为正相关，所以 r 变大，R 2 变大，残差平方和变小9为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了 60 名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀 作文成绩一般 总计课外阅读量较大 2
6、2 10 32课外阅读量一般 8 20 28总计 30 30 60由以上数据，计算得到 K2 的观测值 k9.643，根据临界值表，以下说法正确的是( )A没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B有 0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C有 99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关解析：选 D 根据临界值表， 9.6437.879，在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关10两个分类变量 X 和 Y，值域分别为
7、x1，x 2和 y1，y 2，其样本频数分别是a10，b21，c d35.若 X 与 Y 有关系的可信程度不小于 97.5%，则 c 等于( )A3 B4 C5 D 6解析：选 A 列 22 列联表如下：x1 x2 总计y1 10 21 31y2 c d 35总计 10c 21d 66故 K2 的观测值 k 5.024.661035 c 21c2313510 c56 c把选项 A，B，C，D 代入验证可知选 A.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)11给出下列关系：人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；曲线上的点与该点的坐标之间的关系；苹果的产量与气候之间的关系；森
8、林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；学生与他(她)的学号之间的关系其中有相关关系的是_解析：利用相关关系的概念判断是不确定关系曲线上的点与该点坐标是一种对应关系，即每一个点对应一个坐标，是确定关系学生与其学号也是确定的对应关系答案：12已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是_解析：设回归直线的方程为 x .回归直线的斜率的估计值是 1.23，即 1.23，y b a b 又回归直线过样本点的中心(4,5)，所以 51.234 ，解得 0.08，故回归直线的方程a a 为 1.23 x0.08.y 答案： 1.23x0.08y 13某单位为了
9、了解用电量 y(度) 与气温 x()之间的关系，随机统计了某 4 天的用电量与当天气温，并制作了对照表由表中数据得线性回归方程 x ，其中 2.现y b a b 预测当气温为4时，用电量的度数约为_.用电量 y(度) 24 34 38 64气温 x() 18 13 10 1解析：由题意可知 (1813101)10，x14 (24343864)40，y142.b 又回归直线 2x 过点(10,40)，y a 故 60 ，a 所以当 x4 时， 2( 4)6068.y 答案：6814某部门通过随机调查 89 名工作人员的休闲方式是看电视还是运动，得到的数据如下表：看电视 运动 总计女 24 31
10、55男 8 26 34总计 32 57 89你认为性别与休闲方式有关系的把握为_解析：由列联表中的数据，得 K2 的观测值为k 3.6892.706，892426 318255343257因此，在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为性别与休闲方式有关系，即认为性别与休闲方式有关系的把握为 90%.答案：90%三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤)15(本小题满分 12 分)有两个分类变量 x 与 y，其一组观测值如下面的 22 列联表所示：y1 y2x1 a 20ax2 15a 30a其中 a,15a 均为大于 5 的整数，则 a 取何值时
11、，在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系？解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系，则k2.706，而k65a30 a 20 a15 a2204515506565a 300220451550 .1313a 6026090由 k2.706 得 a7.19 或 a2.04.又 a5 且 15a5，aZ，即 a8 或 9，故 a 为 8 或 9 时，在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为 x 与 y 之间有关系16(本小题满分 12 分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了 4 次试验，得到数据如下
12、：零件的个数 x(个) 2 3 4 5加工的时间 y(小时) 2.5 3 4 4.5(1)在给定坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求 y 关于 x 的线性回归方程 x ；y b a (3)试预测加工 10 个零件需要的时间解：(1)散点图如图所示：(2)由题中表格数据得 3.5， 3.5，x y (xi )(yi )3.5， (xi )25，4 i 1 x y 4 i 1 x 由公式计算得 0.7， 1.05，所以所求线性回归方程为 0.7x1.05.b a y b x y (3)当 x10 时， 0.7101.058.05，y 所以预测加工 10 个零件需要 8.05 小时17(本小题满分
13、 12 分)通过随机询问某校 110 名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：男 女 总计看营养说明 50 30 80不看营养说明 10 20 30总计 60 50 110(1)从这 50 名女生中按是否看营养说明分层抽样，抽取一个容量为 5 的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名？(2)从(1)中的 5 名女生中随机选取 2 名进行深度访谈，求选到看与不看营养说明的女生各 1 名的概率；(3)根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为“性别与在购买食物时看营养说明有关系”？参考公式：K 2 ，其中 nabcd.nad bc2a bc da c
14、b d参考数据：P(K2k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879解：(1)根据分层抽样可得，样本中看营养说明的女生有 303 名，样本中不看营550养说明的女生有 202 名550(2)记样本中看营养说明的 3 名女生为 a1，a 2，a 3，不看营养说明的 2 名女生为b1，b 2，从这 5 名女生中随机选取 2 名，共有 10 个等可能的基本事件：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a1，b 1)，( a1， b2)，(a 2，a 3)， (a2，b 1)，( a2，b 2)，(a 3，b 1)，
15、( a3，b 2)，( b1，b 2)其中事件 A“选到看与不看营养说明的女生各 1 名”包含了 6 个基本事件：(a 1，b 1)，(a1，b 2)，( a2， b1)，(a 2，b 2)， (a3，b 1)，( a3，b 2)所以所求的概率 P(A) .610 35(3)根据题中的列联表得K2 7.486.1105020 3010280306050 53972由 P(K26.635)0.010 可知，在犯错误的概率不超过 0.010 的前提下认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明有关系” 18(本小题满分 14 分)在关于人的脂肪含量(百分比) 和年龄的关系的研究中，研究人员获得了
16、一组数据如下表：年龄 x 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61脂肪含量 y9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6(1)作出散点图，并判断 y 与 x 是否线性相关，若线性相关，求线性回归方程；(2)求相关指数 R2，并说明其含义；(3)给出 37 岁时人的脂肪含量的预测值解：(1)散点图如图所示由散点图可知样本点呈条状分布，脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系设线性回归方程为 x ，y b a 则由计算器算得 0.576， 0.448，b a 所以线性回归方程为 0.576x0.448.y (2)残差平方和： (yi i)237.20，14 i 1e 2i 14 i 1 y 总偏差平方和： (yi )2644.99，14 i 1 y R21 0.942，37.20644.99表明年龄解释了 94.2%的脂肪含量变化(3)当 x37 时， 0.576370.44820.9，故 37 岁时人的脂肪含量约为 20.9%.y
