1、2-1选 修逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科。学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分“简易逻辑”学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)由此，这一大节首先给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的意义，介绍了判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假的方法接下来，讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法然后，通过若
2、干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识这一大节的重点是逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的这一大节的难点是对一些代数命题真假的判断初中阶段，学生只是对简单的推理方法有一定程度的熟悉，并且，相关的技能和能力，主要还是通过几何课的学习获得的，初中代数侧重的是运算的技能和能力，因此，像对代数命题的证明，学生还需要有一个逐步熟悉的过程第一章 常用逻辑用语一、内容与课程学习目标解读 2010 年高考大纲- 常用逻辑用语（1）命题及其关系
3、 理解命题的概念.了解“若 p，则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.（2）简单的逻辑联结词 了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.（3）全称量词与存在量词 理解全称量词与存在量词的意义. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.二、本章知识框图1奎 屯王 新 敞新 疆1 命题与量词 约 2 课时1奎 屯王 新 敞新 疆2 基本逻辑连接词 约 3 课时1奎 屯王 新 敞新 疆3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 约 2 课时本章小节 约 1 课时知识点 1.命题的概念命题的概念：可以判断真假的陈述句叫命题 奎 屯
4、王 新 敞新 疆 正确的叫真命题，错误的叫假命题 奎 屯王 新 敞新 疆注意：1.初中教材中命题的定义是：判断一件事情的句子叫做命题；这里的定义是：可以判断真假的语句叫做命题.说法不同，实质是一样的 奎 屯王 新 敞新 疆2.要判断句子是否是命题，首先看句子的句型。一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题，其次看能不能判断其真假，也就是判断是否成立。3.开语句 . 语句中含有变量 x 或 y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)例如， x5 3 是 15 的约数 0.7 是整数 是真命题，是假命题反例：3 是 15 的约数吗
5、？ x8 都不是命题，不涉及真假(问题) 无法判断真假“这是一棵大树”； “x2” 都不能叫命题由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假由于 x 是未知数，也不能判断“x 2”是否成立 知识点 2.量 词1.全称量词与全称命题2.存在量词与存在性命题知识点 3基本逻辑联结词逻辑联结词 “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题 奎 屯王 新 敞新 疆知识点 4简单命题与复合命题简单命题：不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题 奎 屯王 新 敞新 疆复合命题：由简单命题再加上一些逻辑联结
6、词构成的命题叫复合命题 奎 屯王 新 敞新 疆其实，有些概念前面已遇到过如：或：不等式 2x-x-60 的解集 x | x3 且：不等式 -x-6-2 且 x2”，其显然为真.小结：非 p 复合命题判断真假的方法当 p 为真时，非 p 为假；当 p 为假时，非 p 为真，即“非 p”形式的复合命题的真假与 p 的真假相反，可用下表表示p 非 p真 假假 真2“p 且 q”形式的复合命题例如果 p 表示“5 是 10 的约数 ”，q 表示“5 是 15 的约数”，r 表示“5 是 8 的约数”，试写出且，且的复合命题，并判断其真假，然后归纳出其规律.解：p 且 q 即“5 是 10 的约数且是
7、15 的约数”为真（p、q 为真）；p 且 r 即“5 是 10 的约数且是 8 的约数”为假（r 为假）小结：“p 且 q”形式的复合命题真假判断当 p、q 为真时，p 且 q 为真；当 p、q 中至少有一个为假时， p 且 q 为假 奎 屯王 新 敞新 疆可用下表表示P q p 且 q真 真 真真 假 假假 真 假假 假 假3“p 或 q”形式的复合命题：例如果 p 表示“5 是 12 的约数 ” q 表示“5 是 15 的约数”，r 表示“5 是 8 的约数”，写出，p或 r，q 或 s，p 或 q 的复合命题，并判断其真假，归纳其规律.p 或 q 即 “5 是 12 的约数或是 15
8、的约数”为真（p 为假、q 为真）；p 或 r 即“5 是 12 的约数或是 8 的约数”为假（p、r 为假）小结：“p 或 q”形式的复合命题真假判断当 p，q 中至少有一个为真时，“p 或 q”为真；当 p，q 都为假时，“p 或 q”为假. 即“p 或 q”形式的复合命题，当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真. 可用下表表示.P q p 或 q真 真 真真 假 真假 真 真假 假 假像上面三个表用来表示命题的真假的表叫做真值表.在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容.4逻辑符号“或”的符号是“”，“且”的符号是“”，“
9、非”的符号是“”.例如，“p 或 q”可记作“pq ”； “p 且 q”可记作 “pq ”；“非 p”可记作“p”.注意：数学中的“或”与日常生活用语中的“或”的区别“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a 或 b”是指 a，b 中的某一个，但不是两者.日常生活中有时采用这一解释.例如“你去或我去 ”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能.二是“可兼有”，即“a 或 b”是指 a，b 中的任何一个或两者.例如“x A 或 x B”，是指 x 可能属于 A 但不属于 B（这里的 “但”等价于“且”）， x 也可能不属于 A 但属于 B，x 还可能既属于A 又属于 B
10、（即 x AB ）；又如在“p 真或 q 真”中，可能只有 p 真，也可能只有 q 真，还可能 p,q都为真. 数学书中一般采用这种解释，运用数学语言和解数学题时，都要遵守这一点. 还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”.另外，“苹果是长在树上或长在地里”这一命题，按真值表判断，它是真命题，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的.5学习逻辑的意义一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，课本中介绍的洗衣机上的“或门电路”和电子保险门上的“与门电路”就是两个在这方面应用的实例.可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的.同学们可以结合日常生活中电器的自
11、动控制功能，再找出一些这样的例子.电路：或门电路（或） 与门电路（且）知识点 7. 符号 “ ”的含义 奎 屯王 新 敞新 疆前面我们讨论了“若 p 则 q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若 p 则 q”为真，是指由 p 经过推理可以得出 q，也就是说，如果 p 成立，那么 q 一定成立，记作 p q，或者 q p；如果由 p 推不出 q，命题为假，记作 pq. 简单地说，“若 p 则 q”为真，记作 p q（或 q p）；“若 p 则 q”为假，记作 p q（或 q p）. 符号 “ ”叫做推断符号.例如， “若 x0，则 x20”是一个真命题，可写成：x0 x20；又如，
12、“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等 两三角形面积相等.说明：“p q”表示“若 p 则 q”为真；也表示“p 蕴含 q”.“p q”也可写为“q p”，有时也用“pq”.例 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件，q 是 p 的什么条件： p：x=y； q：x 2=y2. p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若 p 则 q”与“若 q 则 p”的真假进行判断.解：由 p q，即 x=y x2=y2，知 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件. 由 p q，即三角形的三条边相等 三角形的三个角相等，知 p 是 q 的充
13、分条件，q 是 p 的必要条件；又由 q p，即三角形的三个角相等 三角形的三条边相等，知 q 也是 p 的充分条件，p 也是 q 的必要条件.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.知识点 8. 充分条件与必要条件如果已知 p q，那么我们就说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件.在上面是两个例子中，“x0”是“x 20”的充分条件，“x 20”是“x0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必
14、要条件.知识点 9. 充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若 p q 成立，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）2.利用逆否命题判断：即“若q p 成立，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件”.知识点 10. 充要条件如果既有 p q，又有 q p，就记作 p q.此时，p 既是 q 的充分条件，p 又是 q 的必要条件，我们就说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也可以说 q 是 p 的充要条件）例如，“x=0，y=0”是“x 2+y2=0”的充要条件；“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条
15、件.说明：符号“ ”叫做等价符号.“p q”表示“p q 且 p q”；也表示“p 等价于 q”. “p q”有时也用“p q”；“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.知识点 11.几个与充要条件相关的概念若 p q，但 p q，则说 p 是 q 的充分而不必要条件；若 p q，但 p q，则说 p 是 q 的必要而不充分条件；若 p q，且 p q，则说 p 是 q 的既不充分也不必要条件.例如，“x2”是“x1”的充分而不必要的条件；“x1”是“x2”的必要而不充分的条件；“x0 ,y0”是“x+y0”的既不充分也不必要的条件.知识点
16、12.充要条件的判断方法四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）；确定条件是结论的什么条件.知识点 13.怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？答：有两种说法：若 A B，则 A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件（此时 B 也是 A的充要条件）.在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量 x 的允许值集合，叫做此命题的真值集合. 若 p q，说明 p 的真值集合 q 的真值集合，则 p 是 q 的
17、充分条件，q 是 p 的必要条件；若p q，说明 p，q 的真值集合相等，即 p，q 等价，则 p 是 q 充要条件（此时 q 也是 p 的充要条件）.知识点 14.四种命题1.四种命题简介两个命题，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.例 (1)同位角相等，两直线平行； (2)两直线平行，同位角相等(3)同位角不相等，两直线不平行； (4)两直线不平行，同位角不相等.比较命题(1)与(3)、(1)与(4)的条件与结论的异同在命题(1)与命题(3) 中，一个
18、命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们称命题(1)与命题(3) 互为否命题；在命题(1)与命题(4) 中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们称命题(1)与命题(4) 互为逆否命题；思考：由原命题怎么得到逆命题、否命题、逆否命题？交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.2概括：(1)为原命题 (2)为逆命题 (3)为否命题 (4)为逆否命题反问：若(2)为原命题，则(1)(3)(4)各为哪种命题？ 若(3)为原命题，则(1)(2)
19、(4)各为哪种命题？若(4)为原命题，则(1)(2)(3)各为哪种命题？强调：“互为”的含义3四中命题的形式若 p 为原命题条件，q 为原命题结论则：原命题：若 p 则 q 逆命题：若 p 则 q 否命题：若 p 则 q 逆否命题：若 q 则 p4四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用下图表示：为为为为p为q为为为为p为q为为为为q为p为为为为为q为p为为为为为为 为为为为为为为 为为为5四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三
20、条关系：原命题为真，它的逆命题不一定为真 奎 屯王 新 敞新 疆 原命题为真，它的否命题不一定为真 奎 屯王 新 敞新 疆原命题为真，它的逆否命题一定为真 奎 屯王 新 敞新 疆知识点 15.反证法反证法：要证明某一结论 A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明 A 的反面（非 A）是错误的，从而断定 A 是正确的 奎 屯王 新 敞新 疆 即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法 奎 屯王 新 敞新 疆反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立 奎 屯王 新 敞新 疆(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾 奎 屯王
21、 新 敞新 疆(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 奎 屯王 新 敞新 疆注意：可能出现矛盾四种情况：与题设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾 奎 屯王 新 敞新 疆 在证明过程中，推出自相矛盾的结论.1.简单命题、复合命题，真值判定。2. 满足条件 ， 满足条件 ，xA|pxB|q若 ；则 是 的充分非必要条件 ；BA_若 ；则 是 的必要非充分条件 ；若 ；则 是 的充要条件 ；若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；pq _3.原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 ；注意：“若 ，则 ”在解题中的运用，p如：“ ”是“ ”的 条件。sini4.反证法：当证明“若 ，则 ”感到困难时，则由非 q 出发推出矛盾，从而证明原命题成q立。步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。其中“1”相当于证明原命题的逆否命题反证法适用于待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一 个否定正面词语 至少有一 个 任意的 所有的 至多有 n个 任意两个否定本章小结
