1、1人教版数学必修五第一章 解三角形 重难点解析 【重点】1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。【难点】1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质
2、的综合运用。3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。【要点内容】一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = = AasinBbiCcsin=2R（R 为ABC 外接圆半径）1直角三角形中：sinA= ，sinB= ， sinC=1 cacb即 c= ， c= ， c= AasinBbsiCsin = =iici2斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC 当中SABC = AbcBacCbsin21sisin21两边同除以 即得：
3、 = =siiCcsiabcOBCA D新东方优能中学教材证明二：（外接圆法）如图所示， RCDaA2sini同理 =2R， 2RBbici正弦定理的应用正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。 （见图示）已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况:若 A 为锐角时:)( ba ,sin 锐 角一 解 一 钝一 锐二 解 直 角一 解无 解 b a b a ba b aa一一一a,b一A一一一一一一一一一一一一一一一一 abCH=bsinA1, 1c2（锐角三角形） ，a 2b 2c 2
4、（钝角三角形）或 sin(AB)0，sinA sinB，sinC1 或cosC0 等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索【范例 2】 中，内角 . . 的对边分别为 . . ，已知 . . 成等ABC c比数列，且 奎 屯王 新 敞新 疆cos43（1）求 的值；tt（2）若 ，求 的值 奎 屯王 新 敞新 疆2ca解析（1）由 得 ，由 得 ，Bcos437inacb2 CABsinsin2CACA2iisoiisitct 奎 屯王 新 敞新 疆7sn12（2）由 得： ，因 ，所以： ，3B23coBacos43ac即： 奎 屯王 新 敞新 疆b由余弦定理
5、得s22 5os2Bba于是： 故 奎 屯王 新 敞新 疆945cca c3【点晴】 以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向，因此要特别关注三角函数在解斜三角形中的灵活应用.【文】在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B 、C 的对边，.2274sinosBCA(1)求角 A 的度数；(2)若 a= ，b+ c=3，求 b 和 c 的值.3解析 27(1)4sinos180,:2BABC上 22coc1,4(cs)4o54s0,os,2018,6CAA上 222():c1cos()3.123, : :.bcaAbcbab
6、bcc上上【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.【范例 3】已知ABC 的周长为 6， 成等比数列，求,BCA（1）ABC 的面积 S 的最大值；（2） 的取值范围BC新东方优能中学教材解析 设 依次为 a，b，c ，则 a+b+c=6，b=ac ,BCA在ABC 中得 ,2221cos 2ac故有 又 从而 036,c0（） ，即 2211sinsisin32SacBb max3S（）22()oaacbAC22(6)37b0,b18BAC【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当
7、的主变元主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的 【变式】在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c, ABC 的外接圆半径 R= ，且满足 .3sin2cos(1)求角 B 和边 b 的大小；(2)求ABC 的面积的最大值。解析 (1) 由 整理得 sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosBBCAsin2cossin(B+C)= 2sinAcosB sinA=2sinAcosB cosB= B=213 b=2RsinB b=3(2) =ABCS )3sin(3sin3sin212 ACARac 1)6i(当 A= 时, 的最大值是 3
8、ABCS439【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用自我提升1 在直角三角形中，两锐角为 A 和 B，则 sinAsinB( B )（A）.有最大值 和最小值 （B）.有最大值 但无最小值2121（C）.既无最大值也无最小值 （D）.有最大值 1 但无最小值152已知非零向量 与 满足 且 则ABC().0ABC12AB为（ D ）ABC（A）等边三角形 （B）直角三角形（C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形3ABC 中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则C 的大小是 （ A ）（A） （B ） （C） 或 （D ） 或65665324.一个直角三角形三
9、内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A )(A)arccos (B)arcsin 2121(C)arccos (D)arcsin 555. 已知 a+1，a+2，a+3 是钝角三角形的三边，则 a 的取值范围是 . （0，2）6 已知定义在 R 上的偶函数 在区间 上单调递增,若)(xfy)0,)1(f的内角 A 满足 ,则 A 的取值范围是 _BC0)(cosf 2,3(),(7 数列a n中，首项 a12，前 n 项和为 Sn，且.*14(38)3,nntSttN（1）判断数列a n是否为等比数列，并证明你的结论？（2）若对每个正整数 n，以 a n，a n+1，a n+2 为边长都能
10、构成三角形，求 t 的取值范围。解析 (1)略（2） 1658t【文】在 中， . . 的对边分别为 . . 。ABCabc（1） 若 a,b,c 成等比数列，求 f(B)=sinB+ cosB 的值域。3（2） 若 a,b,c 成等差数列，且 A-C= ，求 cosB 的值。解析 (1) , acb2 ac2212cos2acacbB当且仅当 时取等号, f(B)=sinB+ cosB=30B3)3sin(B 的值域为33)(f2,(2) sinA+sinC=2sinB ,2bca CA,3 C= sin( )+sin( )=2sinBBA23B展开,化简,得 , , cosin*2cos3
11、0432sinB新东方优能中学教材 cosB= 852sin1B8在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点 A 正好落在边 BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求 ADAB 的值 .解析 按题意，设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点，显然 A、P 两点关于折线 DE 对称，又设BAP =，DPA= ，BDP=2 ，再设AB=a， AD=x，DP=x.在ABC 中，APB=180ABPBAP=120 ，由正弦定理知： .BP=APBsinsi)120sin(a在PBD 中，, 6si)si(,60si,sinsi xxBDP从
12、而所 以.3)2in()12i( aax060，6060+2180，当 60+2=90，即 =15时，sin(60+2 )=1，此时 x 取得最小值 a，即 AD 最小，)32(3aAD DB=2 3.【文】在 中， 分别为角 的对边，且满足ABC,bc,ABC274cos()2（）求角 大小；（）若 ，当 取最小值时，判断 的形状3bca解析（） ，2 274os()2(1cos)cos32ABCAA， ，2c012， 06o（）由余弦定理 ，得 22csbcaA22bca， 22 9()393()4ab3所以 的最小值为 ，当且仅当 时取等号此时 为正三角2bcABC形17解三角形 检测题
13、班级 姓名 学号 成绩 一、选择题:1在ABC 中，下列式子不正确的是 A B C22cosabA:sin:siabcABDinBCS 2R2在ABC 中， ，则 的值为 0153sicoA B C D2323在ABC 中，若 ，则ABC 是 ABACBA等边三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形4 ，则三角形的形状为 1cosbA直角三角形 B等腰三角形或直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形5在ABC 中， ，则 B 等于 2,4abAA B 或 C D 或 336566在ABC 中，已知 ，则此三角形的最大内角:cab是 A120 0 B150 0 C60 0 D90 07在
14、ABC 中， “A=B”是 “ ”的 sin2iABA充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件8锐角ABC 中，B=2A ，则 的取值范围是 ba新东方优能中学教材A B C D2,0,2,2,3二、填空题：9在ABC 中，若 ，则 AC= ；01,5,7AB10在ABC 中， ， ，则BAC= 14ACS3,5AC；11一艘船上午 9：30 在 A 处，测得灯塔 S 在它的北偏东 300，处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东750，且与它相距 海里，此船的航速是 ；8212在锐角三角形 ABC 中，
15、已知 ， ，则BAC= 4,1AC3ABC， .ABC三、解答题：13已知三角形 ABC 的外接圆半径为 1，且角 A、B 、C 成等差数列，若角A，B，C 所对的边长分别为 ，求 的取值范围.,abc214在ABC 中， ，求 的值和三角形2sinco,3AACBtanA的面积.1915ABC 的三个内角为 A、B 、C，求当 A 为何值时， 取得2cosCBA最大值，并求出这个最大值。16在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别是 ，且 . 求,abc4os5A的值； 若 ，求 .2sincosB23ABCS新东方优能中学教材参考答案一、选择题：1 C 2 C 3 B 4 A 5 A 6
16、 B 7 B 8 D二、填空题：9. 3 10. 30 11.32 海里/小时 12.60 2三、解答题：13 14. 三角形的面积为2(,6)actan3A326415解：A、B、C 为ABC 的三内角 BCA2cos2cos2cos2in1siinAA2ssini1BCA令2213inco2Ax xx则A 是ABC 的内角 0809AA0sin102x即 x 可以取到 ，由抛物线的图像及性质可知当 时， 为其最大值。3cos2BCA此时 1sin,09062A16.（1）A，B，C 是ABC 的内角 182BCA22 2 21sincosincoscosscos1AA2 21sisss2BC21224413cossincos .550BCAA（2） A 是 ABC 的内角 in0cossin5A又又 113s2.25BCSbc2 24cos 13.aa是 ABC 的一边 a0.
