1、 初三数学讲义第 1 页 共 9 页内容提要1. 圆的旋转不变性圆是轴对称图形。也是中心对称图形。不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合。圆所特有的性质圆的旋转不变性圆绕圆心旋转任意一个角度 ，都能够与原来的图形重合。2. 圆心角，弦心距的概念. 顶点在圆心的角叫做圆心角。弧 AB 是AOB 所对的弧，弦 AB 既是圆心角AOB 也是弧 AB 所对的弦. 圆心到弦的距离叫做弦心距。3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。同样还有：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等在同圆或等圆中，如果两条弦
2、相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都也相等。4. 1的弧的概念. (投影出示图 759)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。这里指的是角与弧的度数相等，而不是角与弧相等。即不能写成圆AOB= ，这是错误的。【典型例题】例 1. 判断题，下列说法正确吗？为什么？（1）如图所示：因为AOB=A OB，所以 = . 初三数学讲义第 2 页 共 9 页（2）在O 和O中，如果弦 AB=AB ，那么 = 。分析：（1）、（2）都是不对的。在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理。对于（2）也缺少了等
3、圆的条件. 可让学生举反例说明。例 2. 已知：如图所示，AD=BC。求证：AB=CD。证：AD=BC BCADCB变式练习。已知：如图所示， = ，求证：AB=CD。证：ACADBC例 3. 在圆 O 中， 60ACB求证：AOB=BOC=AOC BCO证：ACBO60初三数学讲义第 3 页 共 9 页例 4. D、E 是圆 O 的半径 OA、OB 上的点，CDOA、 CEOB，CD=CE，则CA与 B的关系是？DAO12CBE证：连 CODCAD，CEOBCD=EC1=2 BCA例 5. 已知 AB 为圆 O 直径，M、N 分别为 OA、OB 中点，CMAB，DNAB。求证：BDAC。AM
4、OBCDN法一：连结 OC、OD，则 OC=ODOA=OB ，且O21MNB21ON，在 RtCMO 与 RtDNO 中DCBAAMOBCDN法二：连 AC、DB、CO、DOOBDNMCO，且 AM=MO，ON=NBAC=OC，OD=DB初三数学讲义第 4 页 共 9 页DBACODC，法三：由法二AC=CO=AOOD=OB=DBAOC=BOD=60 BAC例 6. CD 为圆 O 直径，以 D 为圆心，DO 为半径画弧，交圆 O 于 A、B。证：ABC 为等边三角形 ABD12C证：连 AC、BC、AO、BO、AD、BDAO=OD=AD1=60同理2=60AOB=120CD 为直径AOC=C
5、OB=120 AOC=COB= AOBAB=AC=BCABC 为等边三角形例 7. AB、CD 为圆 O 两直径，弦 CE/AB， 40CE，求BOD。BCODA解： 40CE，COE=40OC=OEC=E=21870CE/ABBOC=C=70 BOD+BOC=180 BOD=18070=110初三数学讲义第 5 页 共 9 页例 8. 证明：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等。已知：在圆 O 中，AB=CD，OEAB，OF CD求证：OE=OF OABCDFE证：OEAB，OFCD，OF、OE 过圆心AB21EDC21F，AB，OC=OB )HL(ORttOE=OF例 9. 点 O 在
6、EPF 的平分线上，圆 O 与EPF 的两边分别交于点 A、B 和 C、D ，求证 AB=CD。ACDFNMEP法一：作 OMPE，ONPF连接 OC、OAOP 为EPF 的平分线OMPE ，ONPFOM=ONOA=OC CNAMORttOM、ON 过圆心OMAB ， ONCDAB=2AMCD=2CNAB=CD法二：由法一，OM=ONAB=CD例 10. 圆 O 中弦 AB、CD 相交于 E，且 AB=CD求证：DE=BE初三数学讲义第 6 页 共 9 页DOABCE1234法一：连结 AD、BC 、ACAB=CD，CABD即 ，在ACD 和CAB 中ABDC在AED 和CEB 中BCAD21
7、E法二：连 DB、AD、BC证3=4ED=BE例 11. 在圆 O 中，AC=DB，求证：BFAEEFCDO证：连接 OA、OBOA=OB ，A= B )SA(ODCAOC=BODFE例 12. 圆 O 的直径 AB=10cm， C长是圆 O 的六分之一，AECD 于 E，BFCD 于 F。（1）求证：EC=FD（2）求 AE+BF初三数学讲义第 7 页 共 9 页OECDFMBA证：（1）作 OMEFAECD，BFCDAE/BFO 为 AB 中点，EM=MFOMCDCM=MD，EC=DF（2）AE+BF=2OMCD长是圆 O 的六分之一COD=60OC=5 325MBFAE【习题作业】 （答
8、题时间：40 分钟）1. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 或 中有一组是相等的，那么，所对应的其余各组量都分别相等。2. 在O 中的两条弦 AB 和 CD，ABCD，AB 和 CD 的弦心距分别为 OM 和 ON，则OM_ON。3. 已知：如图，AB=AC，D 为弧 AB 的中点，G 为弧 AC 中点，求证：DE=FG。4. AB、CD 是O 内两条弦，且 AB=CD，AB 交 CD 于 P 点，求证：PC=PB。ABCOD5. 若两弦相等，则它们所对的弧相等。（ ）6. 若弦长等于半径，则弦所对的劣弧的度数为 60。（ ）7. 若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大。（ ）8. 若两条
9、弧的度数相等，那么这两条弧是等弧。（ ）9. 在O 中，直径 AB 为 6cm,弦 BC 为 4cm，则弦 BC 的弦心距为_ cm。初三数学讲义第 8 页 共 9 页10. 在O 中，弦 AB=8cm，弦心距为 cm34，求圆心角AOB。11. 已知：如图，在O 中，弦 AB=CD，E、F 分别为 AB、CD 的中点。求证：AEF= CFE。12. 已知：如图，EF 为O 的直径，过 EF 上一点 P 作弦 AB、CD，且APF=CPF 。求证：PA=PC。13. 如图，在O 中，弦 EF直径 AB，若弧 AE 的度数为 50，则弧 EF 的度数为 ，弧 BF的度数为 ，EOF= ，EFO=
10、 。14. AB 为O 的直径，C、D 为半圆 AB 上两点，且弧 AC、弧 CD、弧 DB 的度数的比为 325，则AOC= ，COD= ，DOB= 。15. 已知O 的半径为 12cm,弦 AB 将圆分成的两段弧的度数之比为 15，求AOB 的度数及弦 AB 的长。16. 已知：如图，点 O 是EPF 的平分线上的一点，以 O 为圆心的圆和角的两边分别交于点 A、B 和C、 D。求证：OBA=OCD 。17. 已知：如图，AOB=90，C 、D 是弧 AB 的三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F。求证：AE=BF=CD。初三数学讲义第 9 页 共 9 页【试题答案】1. 两条弦
11、，两条弦心距2. 3. 证明：D 为弧 AB 中点，OD 是O 半径ODAB 于 E 同理，OGAC 于 F又 AB=ACOE=OFO DOE=OGOF 即 DE=FG。4. 证明：过 O 点作 OECD 于 E，OFAB 于 F，连结 OP，( 如图)AB=CD OE=OFOP 公用 POEPOFPE=PFOECD，O FAB ，AB=CDCE=BFCE-PE=BF-PF即 PC=PB。5. 6. 7. 8. 9. 510. 6011. 连结 OE、OF。E、F 为 AB、CD 中点，AEO=CFO=90，又AB=CD，OE=OF，EFO= FEO ，AEF= CFE。12. 作 OMAB 于 M，ONCD 于 N。APF=CPF，OM=ON，AB=DC。又AB21，CD21，AM=CN，证 POM PON，PM=PN ，AP=CP13. 80，50，80，5014. 54，36，9015. 60，12cm16. 作 OMAB，ONCD ，垂足分别为 M、N。由 PO 平分EPF ，得 OM=ON,又 BO=CO，得 RtBOM Rt CON，OBA=OCD。17. 通过角度的计算及弧等弦等，可以证得 AE=AC=CD=DB=BF。
