1、一、填空题（每小题 2 分，共 20 分）1，实数空间 的度量是 .2，设 是拓扑空间，则它的开集的个数最少为 .RX3，拓扑学的中心任务是研究 . 4，设 0, 1，拓扑 = ，0 ， ，则 1 的邻域系为 .X5， 是实数空间， = ，则 .A1nZ()dA6，设 是拓扑空间， ，若 ， ，则 = .XX23()7，设 ，拓扑 ， ，则 = .1,234,1.,X,4YY8，平庸空间的任何一个商空间都是 空间.9，设 ， 是拓扑空间 仅有的两个不同的连通分支，则 = .1C2X12C10，设 是拓扑空间， ， 的邻域的定义是 .XA二、选择题（每小题 4 分，共 32 分）1，下列（ ）不
2、是 中的开集.RA. B. C. D. 0,)(3,0)(3,0)(,)(,)2，设 ，则 有（ ）个拓扑. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4,Xab3，设 是拓扑空间， ，则下列关系正确的为（ ）.DXA. B. C. D. ()dD()D4，设 是多于一点的平庸空间， 为 中的序列，下列说法正确的是（ ）.XixA. 不收敛 B. 收敛且极限唯一ixiC. 收敛但极限不唯一 D. 可能收敛也可能不收敛ixix5，设 ， ， ，下列（ ）是 的连通子集.1(,)2Yx(,1)YR3(0,)YyR2RA . B. C. D. 122331123Y6，设 是离散拓扑空间，且 ，则 的连通分
3、支的个数是（ ）.X,XXA . 1 B. 2 C. 3 D. 47，下列（ ）可遗传.A. 平庸空间 B. 连通空间 C. Lindeloff 空间 D. 空间4T8，设 ，拓扑 ，则 不是（ ）.1,23X,12.3,X(,)A. 空间 B. 可分空间 C. 空间 D. 正则空间 2A1T三、证明题(每小题 8 分，共 48 分） 1，证明：仅含有有限个点的度量空间都是离散的度量空间.2，设 是拓扑空间， 是任何一个不属于 的元素, 令(,)XX, .A证明: 是拓扑空间.(,)3，设 , 是拓扑空间，证明：积空间 同肧于积空间 .XYXYYX4，设 是多于一个点的离散空间，证明：若 为连通空间，则每一个连续映射 都是常值映射。:f5，设 是一不可数集，拓扑 可数 . 证明： 不是 空间.XuX(,)X1A6，设 是 空间， 是拓扑空间. 证明：如果 为同肧映射, 则 也是 空间.0TY:fYY0T
