1、第 3 章 圆的基本性质 单元复习 3.1 圆3.1.1 圆连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。3.1.2 垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦的直径垂直于弦且平分弦所对的两条弧。3.1.3 弧、弦、圆心角1、顶点在圆心的角叫做圆心角。2、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。推论 1：相等的弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等。推论 2：相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。例 2 如图，在O 中，AB AC 且 AB=AC，ODAB 于 D，OEAC 于 E，.求证四边形 ADOE 是正
2、方形。证明：ABAC，ODAB ，OEACOEA=EAD =ADO=90四边形 ADOE 是矩形ODAB，OE ACD、E 分别平分 AB、AC（垂径定理）AB=ACAD= AE四边形 ADOE 是正方形。例 1 赵州桥的主桥拱为圆弧形，它的跨度为 37.4m，拱高为 7.2m，求主桥拱的半径。解： 如图， 表示主桥拱，设 所在的圆心为 O，半径为 R， AB AB过 O 作 OCAB 交 AB 于 D，根据垂径定理，D 为 AB 的中点。已知：AB=37.4m ，CD =7.2m，AD= AB2=18.7m，OD= R-7.2在 Rt AOD 中，R 2=18.72+(R-7.2)2，解得
3、R27.9m答：主桥拱的半径约为 27.9m。例 3 如图，在O 中， = ，ACB=60，求证AOB =BOC=COA。 AB AC证明： = AB ACAB=AC，ABC 为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）ACB=60ABC 为等边三角形，AB=BC =CAAOB =BOC=COA（相等的弦所对的圆心角相等）3.1.4 圆周角1、顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对的圆心角的一半。推论 1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧也一定相等。推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周
4、角所对的弦是直径。3、如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就叫做多边形的外接圆。4、圆内接四边形的对角互补。求证：圆内接四边形的对角互补。证明：如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，A 所对弧为 ，C 所对弧为 ， BCD BAD且 和 所对的圆心角的和为周角 BCD BADA+C =3602=180同理B+ D=180圆内接四边形的对角互补。例 5 如图，O 的直径 AB 为 10cm，弦 AC 为 6cm，ACB 的平分线交O 于 D，求 BC、AD、BD 的长度。解： AB 是直径（已知）ACB=ADB =90（直径所对的圆周角是直角）在
5、 Rt ABC 中，BC= =8cm（勾股定理）102-62CD 平分ACB（已知）ACD=BCD（角平分线定义） = （两个圆周角相等，则所对的弧也相等 ） AD BDAD= BD（相等的弧所对的弦相等）在 Rt ABD 中，AD 2+BD2=AB2（勾股定理）AD=BD= =5 cm1022 2例 4 求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角.三角形。 圆内接平行四边形是矩形。证明：如图，设 OC 为 AB 边上的中线，以 OC 为半径画圆，AB=2OCAB 为O 的直径ACB=90 （ 直径所对的圆周角是直角）ABC 为直角三角形。证明：它是平行四边形对角相等
6、它是圆内接四边形对角互补一组对角为 1802=90它是矩形。3.2 点、直线、圆和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系1、若O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d，则有：点 P 在圆外d r；点 P 在圆上 d=r；点 P 在圆内dr。3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。4、经过圆外一点作圆的切线，这个点到切点的长度叫做这点到圆的切线长。5、切线长定理：从圆外一点可以引出两条切线，它们的切线长相等，这个点与圆心的连线平分两条切线的夹角。6、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三
7、条边的角平分线的交点，叫做三角形的内心。确定内切圆方法：作出角平分线，以交点为圆心，以它到任意一边的距离为半径作圆即可。例 6 .求证：经过同一直线上的三个点无法作出一个圆。证明：假设过同一直线 l 上的三个点 A、B、C 可以作出一个圆如图，设这个圆的圆心为 O，则点 O 在 AB、 BC 的垂直平分线 l1、l 2 上即点 O 是 l1、l 2 的交点，因为 l1l，l 2l与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾所以经过同一直线上的三个点无法作出一个圆。例 7 如图，直线 AB 经过O 上的点 C，OA=OB ，AC=BC，求证直线 AB 是O 的切线。证明：连接 OCOA= O
8、BAOB 是等腰三角形AC=BCOC 是 AB 边上的中线OCAB（三线合一）直线 AB 是O 的切线。 （切线的判定定理）3.2.3 圆和圆的位置关系1、如果两个圆没有公共点，就叫做这两个圆相离（如(1)(5)(6)） 。其中(1)叫做外离，(5)(6)叫做内含，(6)中两圆同心是内含的一种特殊情形。2、如果两个圆只有一个公共点，就叫做这两个圆相切（如(2)(4)） 。其中(2)叫做外切，(4) 叫做内切。3、如果两个圆有两个公共点，就叫做这两个圆相交（如(3)） 。4、若两个圆的半径分别为 r1、r 2（r 1r2） ，圆心距（两圆圆心的距离）为 d，则外离 dr1+r2 内含 d0， 舍
9、去根 -4 -42边长 =4 -4， AO=4-22 2面积 S 八边形 =S 正 -4S =42-(4-2 )224=32 -322 2答：正八边形的边长为(4 -4)cm，2面积为(32 -32)cm2。2例 10 如图，将O 分成相等的 5 段弧，顺次连接得到五边形 ABCDE，.求证五边形 ABCDE 是O 圆内接正五边形。证明： = = = = AB BC CD DE EAAB=BC= CD=DE=EA（相等的弧所对的弦相等） = =3 BCE CDA ABA=B（等弧所对的圆周角相等）同理B=C =D=E五边形 ABCDE 的顶点都在圆上五边形 ABCDE 是O 的圆内接正五边形。
10、例 11 有一个亭子的地基如图所示，它是一个半径为 4 m 的正六边形，.求地基的周长和面积（保留根号） 。解： 画正六边形的外接圆O六边形 ABCDEF 是正六边形中心角BOC=3606=60BOC 是等边三角形BC=R=4 m（正六边形的半径等于边长）周长 C=46=24 m在 RtCOP 中，OC =4 m，PC=42=2 m边心距 r= =2 m42-22 3面积 S=42 26=12 m23 3正多边形补充知识：1、正多边形都有内切圆和外接圆，这两个圆是同心圆（即垂直平分线、角平分线的交点） 。2、设正 n 边形的半径为 R，边心距为 r，边长为 a，周长为 C，面积为 S，有：（1
11、）a=2R sin (180/n)（2）r=Rcos (180/n)（3）S=1/2ran=1/2Cr3、每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。例 14 已知圆的半径为 r，.求：外切正三角形的边长，外切正六边形的边长。解：如左图，AOB=3603=120AOP=1202=60AP=OPtan 60= r3边长 AB=2 r3如右图，AOB=3606=60AOP=602=30AP=OPtan 30= r，边长 AB= r233例 13 用 48 m 长的篱笆围一个养鸡场，现有以下几种方案：正三角形，正方形，正六边形，圆，围成的面积分别为多少（保留一位小数）？最大的是
12、哪种？解： 如图，边长 BC=483=16m，CD=162=8mAD= =8 m，S =8 162=64 110.9m2162-82 3 3 3正方形边长为 484=12m，S =122=144m2如图，边长 AB=OB=486=8m，PB=82=4mOP= =4 m，S=4 826=96 166.3m282-42 3 3 3圆的半径为 = m， S=( )2= = 183.4m2482 24 24 5762 576面积最大的是圆形。在例 14 第 小题中， O 点是正三角形 ABC 的重心、垂心、内心、外心。重心：三角形三条中线的交点性质：重心到顶点的距离与到任意一边中点的距离之比为 21。
13、重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。在平面直角坐标系中，重心的坐标等于三个顶点坐标的算术平均数。垂心：三角形三条高线的交点性质：三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍。把三角形分成十二个直角三角形，构成三组相似三角形，每组四个。如右下图，相似三角形有：AOBDOEACDBCE，AOFCODADE CEF，BOCEOFABEACF。内心：三角形三条内角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）性质：内心到三边的距离相等。外心：三角形三边垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）性质：外心到三顶点的距离相等。中心：当且仅当三角形为正三角形时，以上四心合一，叫做三角形的中心。3.4
14、 弧长和扇形面积1、n的圆心角所对的弧长公式：l = （推导过程：360所对的弧长为 2R）nR1802、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。3、圆心角为 n的扇形面积公式：S= （推导过程：360所对的扇形面积为 R2）nR23604、比较弧长公式和扇形面积公式，可以得到另一个扇形面积公式：S= lR（l 为弧长）12解例 14 方法：O 点是重心，根据重心的性质得 OA=2r，AP= = r，AB=2 r；(2r)2-r2 3 3设边长为 x，则 r2+( x)2=x2，x= r12 233解例 14 方法：根据正多边形补充知识中的前两个公式，可以算出，根据重心的性
15、质得 OA=2r，再根据公式(1)得边长 a=22rsin(1803)=2 r3根据公式(2)得半径 R=rcos(1806)= r，正六边形的边长= r233233例 15 如图，圆柱形排水管道的横截面半径为 0.6 m，其中水面高 0.3 m，.求有水部分的面积。 （保留根号与 ）解：连接 OA、OB，作弦 AB 的垂直平分线，垂足为 D，交弧 AB 于 COC=0.6，DC=0.3OD=DC=0.3OCAD AD 是 OC 的垂直平分线AO=AC=OC（垂直平分线上的点到线段端点距离相等）AOD=60， AOB=120S 水 =S 扇 -S= - =(0.12-0.09 ) m21200
16、.623603例 16 如图，正三角形 ABC 的边长为 a，分别以 A、B、C 为圆心，以 为半径作圆，a2这.三个圆两两相切，求蓝色部分的面积。 （保留根号与 ）解：作 ADBCAD= = aS ABC =a a = a212三角形的内角和为 180三块扇形的面积 S 扇 = = a218S 蓝 =S -S 扇 = a25、连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。6、圆锥的侧面积公式：S 侧 = Cl=rl，圆锥全面积公式：S=r 2+rl=r(r+l)12数学活动四点共圆的条件：1、把四个点连成四边形，对角互补。2、把四个点连成共底边的两个三角形，两个顶角为直角，斜边即为直
17、径。3、四个点到某一定点的距离相等，定点即为圆心。4、作任意三个点的连线段的垂直平分线，有交点，该点即为圆心。例 17 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 OB、OD 的夹角为 120，OB 的长为.25cm，贴纸部分 AB 的长为 20cm，求贴纸部分的面积（保留整数） 。解：将图形补全为圆环，算得圆环面积 S 环 =252-(25-20)2=600S 纸 = =200628cm 2120600360例 18 从直径为 2 m 的圆上剪下一块最大的圆心角为 90的扇形，求这块扇形的面积，2.如果将这个扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面直径（所有结果保留根号与 ） 。解：最大的扇形形状如图，O
18、半径 OB=OC=2 2= m2 2扇形半径 BC= =2mS 扇 = = m29022360S 侧 =S 扇 =rl，l=BC=2mr= m，d=1m12例 19 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，四条边 AB、BC、CD、DA 的中.点分别为 E、F、G、H ，求证这四个点共圆，并指出圆心在哪里。证明：将四个点与点 O 相连ACBD（菱形的对角线互相垂直）AOB、BOC、COD、 DOA 都是直角三角形AB=BC= CD=DA（菱形四边都相等）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半OE= OF=OG=OH这四个点共圆，圆心为 O 点例 20 如图，O 的直径 AB=2，AM 与 BN 是O 的两条切线， DE 切O 于 E，交AM、.BN 于 D、C，设 AD=x，BC= y，求 y 与 x 的函数关系式。解：过 D 作 DFAB ，DF=2DA、DE 为 D 引出的切线，CB 、CE 为 C 引出的切线DA= DE，CB=CE（切线长定理）在 Rt DFC 中， 22+(y-x)2=(y+x)2解得函数关系式为 y= 。1x
