1、三角恒等变换专题讲义李 霞知识点 1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和与差的余弦公式 sincos)-cos(注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后3.会逆用及其变形2.两角和与差的正弦 sinco-sin)-sin(注： 1.公式中两边的符号相同2.式子右边异名三角函数相乘再加减3.会逆用及其变形3.两角和与差的正切公式tan(+)= ,tan1ttan(-)= .tt注：1.两角和时，上加下减2.两角差时，上减下加3.会逆用及其变形考点 1：求值问题【例】求下列各式的值（1）cos75 （2）cos75cos15sin
2、255sin15 (3） sin47sin47cos30 cos17（4） 1+tan75 1tan75（5）tan20+tan40+ tan20tan403考点 2：化简问题【例】化简下列各式(1) sinx+ cosx 31(2) sinx cosx231知识点 2：两倍角的正弦、余弦和正切公式1.两倍角的正弦公式Sin2=2sincos2.两倍角的余弦公式Cos2=.cos-sin=2cos1=12 sin3.两倍角的正切公式tan2= 2tan1注：对以上三个公式会逆用及其变形考点：求值问题【例 1】已知：sincos= ， ，则 sin2= 2），（ 0【例 2】计算求值 10sin
3、cos3知识点 3：简单的三角恒变形1.半角公式（1） （2）2cos1sin 2cos1cos（3） sincita2. 和差化积（1） 2coi2sin（2） sin（3） ccos（4） 2sii23. 积化和差（1） )in()si(1cosin（2） )sin()si(21sinco（3） coc（4） )s()s(si4. 辅助角公式辅助角公式： (其中 角所在的象限由 a, b2sincossinaxbabx的符号确定， 角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用t考点 1：化简求值问题（1）升幂化简【例 1】若 ，化简32(,)122cos【例 2】化简：40sin12【例
4、3】 是第三象限角，化简 sin1si【例 4】化简 ),2(cos1cs （2）降幂化简【例 1】求函数 2cosinyx的最小值【例 2】函数 最小正周期为 2cos14yx【 例 3】 函数 的单调递增区间为2553f()incosx3(R)_（3）切化弦【例 1】求 sin50（1+ tan10）的值3【例 2】（tan10 ）350sin1co（4）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ，()()， ， ，2()()2()2等）2【例 1】已知 ， ，求 的值tan()51tan()4tan()4【例 2】已知 ，且 ， ，
5、求的值02129cos()23sin()cos()【例 3】已知：锐角 和 ，满足 sin（）= ，sin= ，求 sin 的值534【例 4】已知：tan（+ ）= ，tan（ ）= ，求 tan（）的值621621（5）辅助角【例 1】已知函数 3()2cosin()2fxx（1）求函数 的最小正周期及取得最大值时 x的取值集合f（2）求函数 图像的对称轴方程()x【例 2】已知函数 ，且 ， 。23()cosincos2fxaxbx3(0)2f1()42f（1）求 的单调递减区间()f（2）函数 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数x【例 3】已知函数 y= cos2x
6、+ sinxcosx+1 （xR）13（1）当函数 y取得最大值时，求自变量 x的集合（2）该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到【例 4】已知函数 。1()cos)s(),(sin234fxxgx（1）求 的最小正周期；()f（2）求函数 的最大值，并求使 取得最大值的 x的集合。()hxfgx()hx（6）关于 的关系的推广应用)2sin(cosincsin或与（由于 故知道cosin21cos)o(2 ，必可推出 ）csi)si(csi或【例】已知 。3oin,3oin求（7）利用公式： 及“托底”方法求值1cossin22【例 1】 已知：tg = -
7、3，求 sin cos -cos2 的值【例 2】 已知：tg =3，求 的值cosin23s考点 2：证明问题证三角恒等式时，先观察左右两边：是否同名函数？如果不是同名函数，一般保留正弦和余弦，把其它的变为正弦和余弦（异名化同名）是否同角函数？如果不同角，就要考虑利用倍角、半角公式，（异角化同角）；次数是否相同？如果两边不同次，就要注意是否有必要“升次”或“降次”；是繁还是简？一般从较繁的一边往较简的一边变（化繁为简），如果两边都繁，则变两边（左右归一），有时还需要用三角函数值来替换数字，根据角来对三角函数加以配凑和拆项（1）异名化同名【例 1】 求证： 3cotse1cosin【例 2】求证 =22sinco1ta1【例 3】求证： .cosin1tasec1xx【例 4】求证:tanA+cotA= .sin2【例 5】求证： 2sin432tgc（2）异角化同角【例 1】求证： 4cos235tgt【例 2】求证： .2cosin2ta3tnxx（3）降次【例 1】求证 23cossin4466【例 2】求证 26644cos3in-1sico1（4）化繁为简【例 1】求证： 410cos3sin【例 2】求证： 3402340tgtgt（5）角的配凑 【例 1 求证： 4172cos36【例 2】求证：cos20cos40cos80= 81
