1、习题课双曲线的综合问题及应用,1.双曲线中的焦点三角形问题双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=,又|F1F2|=2c,则(1)定义:|r1-r2|=2a.,一般地,在PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.,2.直线与双曲线的位置关系(1)判定方法直线:Ax+By+C=0,双曲线: (a0,b0),两方程联立消去y,得mx2+nx+q=0.,(2)联立直线方程与双曲线方程,消元后得到的方程不一定是一元二次方程,也可能是一次方程,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行.(3)直线与双曲线只有一个
2、公共点时,直线不一定与双曲线相切,也可能相交,这时,直线一定与双曲线的渐近线平行.,做一做1若M是双曲线 上一点,F1,F2为左、右焦点,若|MF1|=3|MF2|,则|MF2|等于()A.2B.4C.8D.12解析：由已知得2a=24=8,所以|MF1|-|MF2|=8,于是2|MF2|=8,|MF2|=4.答案：B,做一做2已知双曲线的两个焦点为F1(- ,0),F2( ,0),P是其上的一点,且PF1PF2,|PF1|PF2|=2,则该双曲线的方程是(),解析：|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|=|F1F2|2.又|PF1|-
3、|PF2|=2a,|F1F2|=2c=2 ,|PF1|PF2|=2,所以(2a)2+22=(2 )2,解得a2=4,b2=1.所以双曲线方程为答案：C,做一做3动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹为()A.双曲线的一支B.圆C.抛物线D.双曲线解析：设动圆半径为r,圆心为O,x2+y2=1的圆心为O1,圆x2+y2-8x+12=0的圆心为O2,由题意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2,所以|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1|O1O2|=4,由双曲线的定义知,动圆圆心O的轨迹是双曲线的一支.答案：A,做一做4过双曲线 的焦点且与x轴垂直的弦的
4、长度为.,探究一,探究二,思维辨析,探究一利用双曲线的定义解决轨迹问题【例1】 若动圆P经过定点A(3,0),且与定圆B:(x+3)2+y2=16外切,试求动圆圆心P的轨迹方程.分析：由动圆经过点A,以及与定圆B相切,找到动点P与两个定点A,B的距离之间的关系,再对照双曲线的定义进行判断求解.解：设动圆圆心P(x,y),半径为r.则依题意有|PA|=r,|PB|=r+4,故|PB|-|PA|=4.即动圆圆心P到两个定点B(-3,0),A(3,0)的距离之差等于常数4,且4|AB|,因此根据双曲线定义,点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析
5、,变式训练1动点P与点F1(0,5)与点F2(0,-5)满足|PF1|-|PF2|=6,则点P的轨迹方程为(),解析：依题意,动点P到两个定点F1,F2之间的距离之差等于常数6,且常数60,从而求出a的取值范围,可得离心率的取值范围.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,变式训练2已知斜率为2的直线被双曲线 截得的弦长为4,求直线l的方程.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,对直线与双曲线位置关系理解不全面致误典例导学号03290040求经过点 ,且与双曲线4x2-y2=1仅有一个公共点的直线的方程.,探究一
6、,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,变式训练若直线l经过点(2,0)且与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,则符合要求的直线l的条数是()A.1B.2C.3D.4解析：依题意,直线l斜率必存在,设其为k,则直线l的方程为y=k(x-2).联立 消去y整理得(1-k2)x2+4k2x-(4k2+1)=0.当1-k2=0,即k=1时,该方程只有一个解,直线与双曲线只有一个公共点;当1-k20时,由=(4k2)2+4(1-k2)(4k2+1)=0,得k无解,所以符合要求的直线只有2条.答案：B,1 2 3 4 5,1.已知定点A,B,且|
7、AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为(),解析：点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,当点P与双曲线右支顶点M重合时,|PA|最小,最小值为答案：C,1 2 3 4 5,2.已知双曲线C: 的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则PF1F2的面积等于()A.24B.36C.48D.96,答案：C,1 2 3 4 5,3.直线2x-y-10=0与双曲线 的交点是.,1 2 3 4 5,4.过双曲线 左焦点F1的直线交曲线的左支于M,N两点,F2为其右焦点,则|MF2|+|NF2|-|MN|的值为.解析：因为M,N两点
8、在双曲线的左支上,所以由双曲线定义得|MF2|-|MF1|=2a=4,|NF2|-|NF1|=2a=4,于是|MF2|-|MF1|+|NF2|-|NF1|=4a=8,而|MF1|+|NF1|=|MN|,所以|MF2|+|NF2|-|MN|=8.答案：8,1 2 3 4 5,5.如图所示,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.,解：圆F1:(x+5)2+y2=1,所以圆心F1(-5,0),半径r1=1.圆F2:(x-5)2+y2=42,所以圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,所以|MF2|-|MF1|=3|F1F2|.故点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,
