1、第一章 集合与函数概念第一讲 集合热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型 1：集合元素的基本特征例 1（2008 年江西理）定义集合运算： |,ABzxyAB设,20,AB，则集合 的所有元素之和为（ ）A0 ；B 2；C3；D6解题思路 根据 的定义，让 x在 中逐一取值，让 y在 中逐一取值， xy在值就是的元素解析 ：正确解答本题, 必需清楚集合 AB中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=420，故应选择 D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。题型 2：集合间的基本关
2、系例 2数集 ZnX,)12(与 ZkY,)14(之的关系是（ ）A Y；B ； C X；D 解题思路 可有两种思路：一是将 和 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看，数集 与 之间必然有关系，如果 A 成立，则 D 就成立，这不可能；同样，B 也不能成立；而如果 D 成立，则 A、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。考点二：集合的基本运算例 3 设集合 0232xA， 0)5()1(22axxB（1 ） 若 B，求实数
3、 a的值；（2 ）若 ，求实数 的取值范围若 A，解题思路 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析 因为 2,1032xA，（1 ）由 B知， ，从而得 0)5()142a，即0342a，解得 1a或 3当 1时， 2,042xB，满足条件；当 时， ，满足条件所以 a或 3（2 ）对于集合 B，由 )3(8)5(4)1(2aa因为 A，所以 当 0，即 3时， ，满足条件；当 ，即 a时， 2B，满足条件；当 ，即 时， ,1A才能满足条件，由根与系数的关系得 725521)(aa，矛盾故实数 a的取值范围是 3【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们
4、的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.第 2 讲 函数与映射的概念求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为） “二次函数型” 的函数常用配方法，如求函数4cossin2xy，可变为 2)1(cos4cs2sinxxy 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数 )3(lg21就是利用函数 u21log和 32的值域来求。（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数 212xy的值域由 22xy得 01)(yxy，若 ，则得 ，所以0是函数值域中的一个值；若 ，则由
5、0)1(4)1(22yy得0213213yy且，故所求值域是 3,3（4）分离常数法：常用来求“分式型” 函数的值域。如求函数 1cos2xy的值域，因为 1cos521cos3xxy，而 2,0(1cosx，所以 25,(1cos5x，故,(（5）利用基本不等式求值域：如求函数 432xy的值域当 0x时， y；当 0x时， ，若 0，则 424xx若 x，则 4)(2)4( xxx ，从而得所求值域是 43,（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数 )2,1(2xy的值域因 )14(283xxy，故函数 4x在 (上递减、在 )0,1(上递增、在 ,0上递减、在 )2,(上递增，从而可得所
6、求值域为 30,85（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法） 。热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1） 2)(xf， 3)(xg；（2） f， ;01,（3） 12)(nxf， 12)()nxg（nN *） ；（4） ， ；（5） 12)(xf， 12)(tt解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析 （1）由于 f2)(， xxg3)(，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数 xf)(的定义域为 ),0(),(
7、，而 ;01,)(xg的定义域为 R，所以它们不是同一函数 .（3）由于当 nN*时，2n1 为奇数， xxf12)(， xgn12)()，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数 f)(x的定义域为 0，而 xg2)(的定义域为 10x或 ，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.答案（1） 、 （2） 、 （4）不是；（3） 、 （5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一
8、函数。第 （ 5） 小 题 易 错 判 断 成 它 们 是 不 同 的 函 数 。 原 因 是 对 函 数 的 概 念 理 解 不 透 ， 在 函数 的 定 义 域 及 对 应 法 则 f 不 变 的 条 件 下 ， 自 变 量 变 换 字 母 对 于 函 数 本 身 并 无 影 响 ， 比 如1)(2xf， 1)(2t， 1)(2uf都可视为同一函数 .考点二：求函数的定义域、值域题型 1：求有解析式的函数的定义域例 2.（08 年湖北）函数 )(xf )4323ln(22xx的定义域为( )A. ),2)4,(;B. 1,0,4；C. 1,0(),4;D. 1,0,解题思路 函数的定义域应
9、是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数 )(xf有意义，必须并且只需0043234222xxx )1,0(,4x，故应选择 D【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为 0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于 0；负分数指数幂中，底数应大于 0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。题型 2：求抽象函数的定义域例 3（2
10、006湖北）设 xxf2lg，则 xff2的定义域为（ ）A. 4,0,； B. 4,1,； C. ,1,； D. 4,2,解题思路 要求复合函数 ff的定义域，应先求 )(f的定义域。解析由 20x得， ()fx的定义域为 2x，故2,.x解得 4,1,x。故 xff2的定义域为 4,1,.选 B.【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数 ()f的定义为 ,ab，则函数 ()fgx的定义域是满足不等式 ()agxb的 x 的取值范围；一般地，若函数 f的定义域是,ab，指的是 ,，要求 ()f的定义域就是 ,x时 ()x的值域。题型 3；求函数的值域例 4已知函数 6242Raxy，若 0y
11、恒成立，求 32af的值域解题思路 应先由已知条件确定 取值范围，然后再将 )(af中的绝对值化去之后求值域解析 依题意， 0恒成立，则 62(41，解得 21，所以 7)3()(2)( 2aaf ，从而 4)()maxff，4193min，所以 f的值域是 ,49【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。考点三：映射的概念例 5 （06 陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文 密文（加密） ，接收方由密文 明文（解密） ，已知加密规则为：明文 ,abcd对应密文2,3,4.abcd例如，明文 1,234对应密文 5718,6.当接收方收到密文14
12、98时，则解密得到的明文为（ ）A 7,6；B ,17；C ,67；D ,解题思路 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。解析 当接收方收到密文 14，9，23，28 时，有2438abcd，解得 417abcd，解密得到的明文为 C【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点：（1）集合 A、B 及对应法则 f 是确定的，是一个整体系统；（2）对应法则有“方向性” ，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从集合 B 到集合A 的对应关系一般是不同的；（3）集合 A 中每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征；（4）集合 A 中
13、不同元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（5 ）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象.第 3 讲 函数的表示方法热点考点题型探析考点 1：用图像法表示函数例 1 （09 年广东南海中学）一水池有 2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、 乙所示.某天 0点到 6点,该水池的蓄水量如图丙所示给出以下 3个论断：进水量 出水量 蓄水量甲 乙 丙（1） 0点到 3点只进水不出水；（2） 3点到 4点不进水只出水；（3） 4点到 6点不进水不出水则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . 解题思路 根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即
14、可。解析 由图甲知，每个进水口进水速度为每小时 1 个单位，两个进水口 1 个小时共进水 2个单位，3 个小时共进水 6 个单位，由图丙知正确；而由图丙知，3 点到 4 点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故错误；由图丙知，4 点到 6 点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故不一定正确。从而一定不正确的论断是（2）【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式” 。考点 2：用列表法表示函数例 2 （07 年北京）已知函数 ()fx
15、， g分别由下表给出x1 2 3时 间01 时 间021时 间035则 (1)fg的值为 ；满足 ()()fgxf的 x的值是解题思路 这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。解析 由表中对应值知 (1)fg= 3f；当 1x时， ,(1)g，不满足条件当 2时， ()2,(3)1fff，满足条件，当 3x时， ()g，不满足条件，满足 ()()ffx的 的值是 2x【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。考点 3：用解析法表示函数题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式例 3 （04 湖北改编）已知 )1(x
16、f= 2，则 )(xf的解析式可取为 解题思路这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法解析 令 tx1，则 t， 1)(2tf. 12)(xf.故应填 2【名师指引】求函数解析式的常用方法有： 换元法（ 注意新元的取值范围） ； 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ；整体代换（配凑法） ；构造方程组（如自变量互为倒数、已知 )(xf为奇函数且 )(xg为偶函数等） 。题型 2：求二次函数的解析式例 4 （普宁市城东中学 09 届高三第二次月考）二次函数 )(xf满足xfxf)(1(， 且 1)0(f。求 的解析式；在区间 ,上， )(xfy的图象恒在 mx
17、y2的图象上方，试确定实数 m的范围。1 3 1 x1 2 3()g3 2 1解题思路（1）由于已知 )(xf是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求 2mx对于 1,恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。解析设 2()(0)fabxc，则 2(11)()2fx axbca与已知条件比较得： 2,0ab解之得， 1,又 (0)1f，2()1fx由题意得： 2xm即 231x对 ,x恒成立，易得 2in(3)m【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。考点 4：分段函数题型 1：根据分段函数的图象
18、写解析式例 5 (07 年湖北) 为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间 t（小时）成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为a16（a 为常数） ，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量 y（毫克）与时间 t（小时）之间的函数关系式为 ；（）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。思路点拨 根据题意，药物释放过程的含药量 y（毫克）与时间 t 是一次函数，药物释放完毕后，
19、y 与 t 的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（）解析 （ ）观察图象，当 1.0t时是直线，故 ty10；当 1.时，图象过)1,.0(所以a1.06，即 1.，所以 1.0,)16(.tyt（） .1625.015.0.0. taa，所以至少需要经过 6.0小时【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。题型 2：由分段函数的解析式画出它的图象例 6 (2006上海 )设函数 54)(2xf，在区间 6,2上画出函数 )(xf的图像。思路点拨需将来绝对值符号打开，即先解 0542x，然后依分界点将函数分段表示，再画出
20、图象。解析 22 2156()()xxfxx或,如右上图.【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。第 4 讲 函数的单调性与最值热点考点题型探析考点 1 函数的单调性题型 1：讨论函数的单调性例 1 (2008 广东)设 Rk,函数 1,)(xxf RxkfF,)(.试讨论函数 (xF的单调性.解题思路分段函数要分段处理，由于每一段都是基本初等函数的复合函数，所以应该用导数来研究。解析: 因为 1,)(xxf,所以 RxkkxfxF,1)( .(1)当 x0， )1(,)1()2
21、xkxF当 0k时， 0(在 ,上恒成立，故 F(x)在区间 )1,(上单调递增；当 时，令 )(,0)2x，解得 kx，且当 kx1时， (F；当 11k时， 0)(F故 F(x)在区间 ),(上单调递减,在区间 ,(k上单调递增；(2)当 x1 时， x-10， )1,2( xx当 0k时， 0)F在 ),1上恒成立，故 F(x)在区间 ),(上单调递减；当 时，令 )(,0(kx，解得 241k，且当 241kx时， )；当 241时， 0)(xF故 F(x)在区间 ,(上单调递减,在区间 ,(k上单调递增；综上得，当 k=0 时，F(x)在区间 ),(上单调递增，F(x)在区间 ),1
22、(上单调递减；当 k0 时，F(x)在区间 1,上单调递增，在区间 4,(2上单调递减,在区间),41(2k上单调递增；当 0k时，F(x)在区间 ),k上单调递减,在区间,上单调递增,在区间 ),1(上单调递减.【名师指引】求函数的单调区间或研究函数的单调性是高考的一个热点，分段落函数用注意分段处理.题型 2：研究抽象函数的单调性例 2 定义在 R 上的函数 )(xfy， 0f，当 x0 时， 1)(xf，且对任意的a、bR，有 f（a+b）= f（a） f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的 xR，恒有 f（x）0；（3）求证：f（x ）是 R 上的增函数；（4）若 f（x） f（2xx 2）1，求 x 的取值范围.解题思路 抽象函数问题要充分利用“恒成立” 进行“赋值”，从关键等式和不等式的特点入手。解析（1）证明：令 a=b=0，则 f（0）=f 2（0）.又 f（0）0，f（0）=1.（2）证明：当 x0 时，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.
