1、【高效整合篇】专题三 数列一考场传真1. 【2016 高考上海文科】无穷数列 由 k 个不同的数组成， 为 的前 n 项和.若对任意 ，nanSaNn，则 k 的最大值为_.3,2nS2 【2016 高考浙江文数】如图，点列 分别在某锐角的两边上，且,nAB， .(PQ 表示点 P 与 Q 不重*122,nnnAAN*122,nnBN合)若 ， 为 的面积，则（ ）dBS1nA. 是等差数列 B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 是等差数列nS2nd2nd3 2016 高考新课标文数 已知各项都为正数的数列 满足 ， .na1211()20nnaa（I）求 ；23,a（II）求 的通项公式
2、.n4 【2016 高考浙江数】设数列a n的前 n 项和为 Sn.若 S2=4，a n+1=2Sn+1，nN *，则 a1= ，S 5= .5 【2016 高考新课标 2 文数】等差数列 中， .a3457,6（）求 的通项公式；n（） 设 ，求数列 的前 10 项和，其中 表示不超过 的最大整数，如0.9=0,2.6=2.banbxx6 【2016 高考新课标 1 文数】已知 是公差为 3 的等差数列,数列 满足nanb,.12=3nbab， ，（I）求 的通项公式；（II）求 的前 n 项和.二高考研究【考纲解读】（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) （2）理
3、解等差数列 和等比数列的概念（3）掌握等差数列和等比数列的通项公式与前 n项和公式（4）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，在实际情形中运用数列知识解决实际问题.（5）了解等差数列与一次函数的关系以及等比数列与指数函数的关系.（6）掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.（7）认识数列的函数特性，能结合方程、不等式和解析几何等知识解决一些数列综合题【命题规律】来源:学,科,网（1）对等差数列与等比数列基本量的考查是重点内容，主要考查利用通项公式、前 n 项和公式建立方程组求解，属于低档题，主要是以选择、填空题的形式出现.（2）对等差数列与等比数列性质的考查是热点，具有“新、巧、活
4、”的特点，考查利用性质解决有关的计算问题，属中低档题，主要是以选择、填空题的形式出现.（3）数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据 与 的关系求通项公式以及利用构造或naS转化的方法求通项公式也是常考的热点选择、填空、解答题都有出现.（4）数列的求和问题，多以考查等差、等比数列的前 n 项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点.选择、填空、解答题都有出现.（5）数列与函数、不等式的综合问题也是高考考查的重点，主要考查利用函数的观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题，以解答题的形式出现.（6）数列与解析几何交汇主要涉及点列问题，难度
5、中等及以上，常以解答题形式出现.（7）数列应用题主要以等差数列、等比数列及递推数列为模型进行考查，难度中等及以上，常以解答题形式出现.来源:学|科| 网一基础知识整合1.等差数列知识要点：（1）通项公式要点： .1()nmadd*(,)nNm（2）前 项和公式要点：S n na 1 d.来源 :学 .科 .网 Z.X.X.Knna1 an2 nn 12（3）通项公式的函数特征： 是关于 的一次函数形式 (A、B 为常数) ，其中 ；na1dAaB前 项和公式的函数特征： 是关于 的常数项为 0 的二次函数形式 SnAn 2Bn (A 、B 为常数)，其中nnS.12dAaB（4）判断方法：定义
6、法： ；（证明方法）1(*)nadN等差中项法： ；（证明方法）12n通项公式法： ；AB前 项 和公式法： SnAn 2Bn ( A、B 为常数).n（5）常用性质：如果数列 是等差数列 （ ） ，特别地，当 为奇数namnpqpqaa,npNn时， .121=2中等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则 Sm，S 2mS m，S 3mS 2m，成等差数列.等差数列a n，b n的前 n 项和为 An，B n，则 .12naAb等差数列a n的前 n 项和为 Sn，则数列 仍是等差数列.n（6）等差数列的单调性：设等差数列 的公差为 ，当 时，数列 为递增数列；当 时，nad0na0d数列
7、为递减数列；若 ，则数列 为常数数列.n0d（7）等差数列的最值：若 是等差数列，求前 项和的最值时，n若 ， ，且满足 ，则前 项和 最大;10ad10nannS若 ， ，且满足 ，则前 项和 最小.1 1nan2.等比数列知识要点：（1）通项公式要点： .1nnmaq*(,)Nn（2）前 项和公式要点： .n11()()(1)nn naqS或（3）通项公式的函数特征： 是关于 的函数 （ ， 都是不为 0 的常数 ， ） ；nanacq nN前 项和公式的函数特征：前 项和 是关于 的函数 （ 为常数且 ， ）.nSnSkk0,1q（4）判断方法：定义法： （ ） ；（证明方法）1nqaN
8、等比中项法： ；（证明方法）21 11(,0)nnnna且通项公式法： ；0,)AB前 项和公式法： 或 .(,0)nnSB ()nSA（5）常用性质：如果数列 是等比数列 （ ） ，特别地，amnpqpqa,nN当 为奇数时， .n2121=nn中等比数列 的前 项和为 ，满足 成等比数列（其中aS23243,nnnnSS均不为 0）.232,nnnS（6）等差数列的单调性设等比数列 的公差为 ，当 或 时， 为递增数列；当 或 .nad10aq1na10aq1（7）等差与等比数列的转化若 为正项等比数列，则 为等差数列；nlog(0,1)cna若 为等差数列，则 为等比数列；a,na若 为
9、等差数列又等比数列 是非零常数列.n n3.数列常见通项公式的求法：（1）累加法： 1()naf（2）累乘法： 1()naf（3） （其中 均为常数， ）解法：把原递推公式转化为：1nnpq,p)01(pq，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解.)(1tatnnt1（4） （其中 均为常数， ）. （或 ,其中nnqp1,p)01)(qp1nnaprq均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以 ，得： ，令 ，得：,qr n1nnapqnb，再按第（3 ）种情况求解.bpnn11（5） 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令bann1(10)pa，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为 是公
10、比为()axynxyyxyxna的等比数列.p（6） 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令21(0,1)nnabcpa，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为2()(1)naxyzxyzyx是公比为 的等比数列.2n（7） （其中 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为nqap12 ,p其中 满足 ，再按第（4）种情况求解.)(112nnsatsa ,tstpq（8）取倒数法： 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为1()nngft，按第（3）种情况求解.（ ，解法：等式两边同时除以qpann1 11()()0nnngatfa后换元转化为 ，按第（3）种情况求解.）. qpann1
11、（9）取对数 解法：这种类型一般是等式两边取以 为底的对数，后转化为rna1)0,(p，按第（3）种情况求解.qpn1（10）已知 求 (或 )解法：这种类型一般利用 与nSa(nfa)2(11nSann消去 或与 消去 进行求解.)11nnnnffanS)2()(nfSa（11） 解法：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有hraqpnn1 na1aNn（其中 均为常数，且 ） ，那么，可作特征方程ann1,r rhrqph1,0,当特征方程有且仅有一根 时,则 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 、hrxqp0x0nax 1x时，则 是等比数列 .212na4.数列求和的主要方
12、法：（1）公式法：如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式，注意等比数列公比 q 的取值情况要分 或 .1q（2）倒序相加法：如果一个数列 ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个na数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的（3）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减（4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n
13、 项和就是用此法推导的（5）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常见的拆项公式如下：分式型 ;111()()(2)2nnnn， 乘式型1()(2)2(1)(1)()nn，12,3n () 234nn阶乘型 ,1 111,1!nkmmnnCC三角函数型 , 11tanttann11cott,sisinnnaa，根式型21sisicos ,2nkkk 2i 2sikk，1n（6）并项求和法：在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和二高频考点突破考点 1 等差数列、等比数列的通项及基本量的求解【例 1】 【安徽师范大学附属中学 20
14、17 届高三上学期期中考查】公差不为零的等差数列 na的前 项和为nS，若 4a是 37与 的等比中项, 832S,则 10等于 （ ）A18 B 24 C60 D 90【规律方法】等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含 a1、d(或 q)、n、a n 与 Sn 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个其中 a1 和 d(或 q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现【举一反三】 【山西省太原市 2017 届高三上学期阶段性测评（期中） 】已知等比
15、数列 中，公比na,则 （ ） 3571,642qaaA B C. D 248考点 2 等差数列、等比数列的性质【例 2】 【河南省新乡市 2017 届高三上学 期第一次调研】已知各项均不为 0 的等差数列 na满足7310a，数列 nb为等比数列，且 7ba，则 13bA（ ）A25 B16 C8 D4来源:Zxxk.Com【规律方法】条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别等差数列（或等比数列）中若出现的是通项与数列和的关系，则优先考虑等差数列性质 mnpqnpqaa（ ,npN）（ mnpq
16、npqa（ ,nN） ） ，以及 1()2nS.【举一反三】 【四川省绵阳市 2017 届高三第一次诊断性考试】在公差不为 0 的等差数列 中，n，且 为 和 的等比中项，则 .831a4295a考点 3 判断和证明等差数列、等比数列【例 3】 【2017 届四川成都市高三一诊考试】已知数列 n满足 112,4naa（1）证明数列 4na是等比数列；（2）求数列 的前 项和 nS【规律方法】(1)定义法：a n1 a nd( 常数)(nN *)an是等差数列； q(q 是非零常数) an是等an 1an比数列；(2)等差(比)中项法：2a n1 a na n2 (nN *)an是等差数列；a
17、a nan2 (nN *，a n0)2n 1an是等比数列；(3) 通项公式法：a npnq( p，q 为常数) an是等差数列；a na 1qn1 (其中 a1，q 为非零常数，nN *)an是等比数列(4)前 n 项和公式法： SnAn 2Bn( A，B 为常数)a n是等差数列；SnAq nA (A 为非零常数，q 0,1)an是等比数列.【举一反三】 【2017 届山东寿光现代中学高三 12 月月考】在数列 na中， 1，并且对于任意 *nN，都有 12nna（1）证明数列 na为等差数列，并求 na的通项公式；（2）设数列 1 ， 的前 项和为 nT，求使得 102n的最小正整数 n
18、考点 4 等差数列与等比数列的综合应用【例 4】 【2017 届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】已知等差数列 na的公差 0d， nS是其前n项和，若 236 a， ， 成等比数列，且 107a，则 2nS的最小值是（ ）A 1 B 58 C. 38 D 153【规律方法】等差数列、等比数列的综合问题的解题关键仍然是“基本量”方法，其通过方程或者方程组求出数列的基本量，然后再解决后续问题【举一反三】 【福建省福州外国语学校 2017 届高三适应性考试（三） 】已知等差数列 na的公差 0d，且 1a， 3， 1成等比数列，若 1a， nS为数列 na的前 项和，则 2163nS的最小值为
19、（ ）A4 B 3 C 23D2考点 5 一般数列的性质【例 5】设A nBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn， AnBnCn 的面积为 Sn，n=1,2,3,若b1c 1，b 1c 12a 1，a n1 a n，b n1 ，c n1 ，则( )cn an2 bn an2A.Sn为递减数列 B.Sn为递增数列C.S2n1 为递增数列，S 2n为递减数列 D.S2n 1为递减数列， S2n为递增数列【规律方法】 （1）在处理数列单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列 na是递增数列 ,na恒成立” ；（2）数列 ()naf的单调性与 (),1)yfx的单调性不完全一致；（3）当数列
20、对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题.【举一反三】已知 数列 n是递增数列，且对 *N，都有 2=+na，则实数 的取值范围是（ ）7A.(,)B.0,)C.2,)D.(3,)2考点 6 一般数列的通项及求和【例 6】 【河北省武邑中学 2017 届高三上学期第三次调研对于数列 na，定义112.naaHn为 n的“优值”，现在已知某数列 n的“优值” 12nH，记数列nk的前 项和为 S，若 5对任意的 n恒成立，则实数 k的取值范围是_. 【规律方法】 （1）通常情况下数列的第（1）题是需要求数列的通项公式，而且其中也设出一个新的数列，我们在做的过程中，要把这
21、个条件作为一种提示，配凑成这种新的数列，即可解决；若题中没有设出这样的新数列，可以看知识整合中 11 种求通项的方法；（2）对于数列求和，需要先判断用那种求和的方法，然后进行求解.【举一反三】 【2017 届江西抚州市七校高三上学期联考】在数列 na及 b中，2 21 11, ,nnnnnababab设 12nnc，则数列 nc的前项和为_考点 7 存在探索与证 明性问题【例 7】 【2017 届江苏如东高级中学等四校高三 12 月联考】已知数列 na满足 10， 28a，且对任意 m， *nN都有 221134mnmnaa（1）求 3， 5；（2）设 21nnb（ *） 求数列 nb的通项公式；设数列 1n的前 项和 nS，是否存在正整数 p， q，且 1pq，使得 1S， p， q成等比数列？若存在，求出 p， q的值，若不存在，请说明理由【规律方法】解决探索性问题的一般解题思路：先假设结论存在，若推理无矛盾，则结论确定存在；若推理有矛盾，则结论不存在解决探索性问题应具备较高的数学思维能力，即观察、分析、归纳、猜想问题的能力，这正是“以能力立意”的生动体现
