1、习题课抛物线的综合问题及应用,1.利用抛物线的定义解题若抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,则点P到点F的距离等于点P到准线l的距离.2.抛物线的焦半径与焦点弦(1)抛物线的焦半径抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径,其长度如下:,(2)抛物线的焦点弦过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.若抛物线y2=2px(p0)的焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:|AB|=x1+x2+p;AB垂直于对称轴时,AB叫通径,焦点弦中通径最短;A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即以AB为直径的圆必与准线相切.,做一做1抛物线y2=8x上一点P到x轴距离为12,则点
2、P到抛物线焦点F的距离为()A.20B.8C.22D.24解析：设P(x0,12),则x0=18,所以|PF|=x0+ =20.答案：A做一做2抛物线x= y2的通径的长度等于()解析：抛物线标准方程为y2=6x,2p=6,故通径的长度等于6.答案：C,做一做3过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45的直线,则它被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.61解析：由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.答案：B做一做4若抛物线y2=-16x上
3、一点P到焦点的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为.解析：根据抛物线的定义可知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F(-4,0),所以P点横坐标为-2,代入抛物线方程得y=4 ,故点P的坐标为(-2,4 ).答案：(-2,4 ).,做一做5已知抛物线x2=4y,经过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2为定值.证明：抛物线x2=4y的焦点F(0,1),设直线AB的斜率为k,则其方程为y-1=kx.,探究一,探究二,规范解答,探究一利用抛物线的定义解决问题【例1】 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O
4、,且经过点M(2,y0),若点M到焦点的距离为3,则|OM|等于(),解析：依题意设抛物线方程为y2=2px(p0),由点M到焦点的距离为3可得,点M到准线的距离也为3,于是2+ =3,解得p=2,则y2=4x,因此可得M(2,2 ),故|OM|=2 .答案：B,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,变式训练1在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是.,探究一,探究二,规范解答,【例2】 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时的点P的坐标.分析：根据抛物线的定义,就是在抛物线上找一点P
5、,使得点P到点A的距离与点P到准线的距离之和最小,然后可借助平面几何知识求解.,探究一,探究二,规范解答,解：如图所示,作PNl于点N(l为准线),作ABl于点B,则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|AB|,当且仅当点P为AB与抛物线的交点时,等号成立.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,变式训练2定点M 与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为(),答案：C,探究一,探究二,规范解答,探究二抛物线的焦点弦问题【例3】 已知抛物线方程为y2=2px(p0),过此抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两
6、点,且|AB|= p,求AB所在直线的方程.分析：依题意只需求出直线AB的斜率即可利用点斜式求得方程,可根据焦点弦长度公式求解.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,变式训练3设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.(1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;,解：依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1).设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),消去y整理得x2-3x+1=0,所以x1+x2=3,x1x2=1.所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2
7、=5.,探究一,探究二,规范解答,(2)求证: 是一个定值.,证明：设直线l的方程为x=ky+1,设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),消去x整理得y2-4ky-4=0,所以y1+y2=4k,y1y2=-4.因为 =(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3,所以 是一个定值.,探究一,探究二,规范解答,抛物线中的定点与定值问题典例导学号03290048如图所示,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求
8、证:直线BC的斜率是定值.【审题策略】 欲证明直线BC的斜率为定值,可写出直线BC的方程,然后说明其斜率为定值,或直接用k0= ,写出斜率,然后说明k0的值与参数无关;而已知直线AB,AC过定点,AB与AC两直线倾斜角互补,故两直线方程可用同一参数(直线AB的斜率k)来表示.,探究一,探究二,规范解答,【规范展示】 设直线AB的斜率为k(k0).因为直线AB,AC的倾斜角互补,所以直线AC的斜率为-k(k0).又直线AB的方程是y=k(x-4)+2.,探究一,探究二,规范解答,探究一,探究二,规范解答,【答题模板】 第1步:由已知条件寻求直线AB,AC斜率之间的关系.第2步:写出AB的方程并与
9、抛物线方程联立,利用根与系数的关系求得点B的横坐标.第3步:根据AB,AC斜率之间的关系,写出点C的横坐标.第4步:利用两点连线的斜率公式写出直线BC的斜率,整理得到结果.第5步:得出结论.,探究一,探究二,规范解答,1 2 3 4 5,1.抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2 )在此抛物线上,M为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为 (),答案：D,1 2 3 4 5,2.设抛物线y2=2x与过焦点F的直线交于A,B两点,则 的值是(),答案：B,1 2 3 4 5,3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=.解析：|AB|=x1+x2+p=6+2=8.答案：8,1 2 3 4 5,4.抛物线y=x2上的点到直线y=2x-4的距离最短的点的坐标是.解析：设与直线y=2x-4平行且与y=x2相切的直线方程为y=2x+b,由 得x2-2x-b=0,所以=4+4b=0,解得b=-1,得切点的横坐标为x=1,故所求点的坐标为(1,1).答案：(1,1),1 2 3 4 5,5.已知抛物线y2=-8x的顶点为O,点A,B在抛物线上,且OAOB,求证:直线AB经过一个定点.,
