1、万变不离其宗2016 版高中数学课本典型试题改编系列之必修 1专题三：基本初等函数第二章：基本初等函数2.1-2.2 指数函数与对数函数1.【原题】 （必修 1 第五十九页习题 2.1 第 8 题）8.已知下列不等式，比较 ， 的大小mn（1） (2)2mn0.2.mn【解析】 （1）由于 与 的底数都是 2，故可以构造函数 ，因为 函数是 R 上的增函数，n 2xy2xy又 ，所以 .m（2）由于 与 的底数都是 0.2，故可以构造函数 ，因为 函数是 R 上的0.n 0.xy0.xy减函数，又 ，所以 .20.mn【原题解读】本题的解决需要学生具备一定的函数思想，及能根据需要构造相应的函数
2、，并应用函数的性质（单调性） ，来解决问题。【变式网络】变式 1.【2016 兰州模拟】设 ，那么（ ）1()12baA.a a b B.a b a C.a a b D.a b aa a变式 2.【2015 银川一中模拟】已知 ，则（ ）111222logllogcA B. C. D.2bacabcba2cab变式 3.【2012 山东高考】若函数 f(x)a x(a0，a1)在1,2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数g(x)(14m) 在0，)上是增函数，则 a_.x变式 4.【2016 衡水金卷】已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象关于直线)(fyxay01a对称，记 若 在区间
3、上是增函数，则实数 的取值范y12)()(xfxg )(g2,a围是（ ）A B C D),2),(0),2 21,0(2.【原题】 （必修 1 第七十五页习题 2.2B 组第 2 题）若 ，且 ，求实数 的取值范3log1(4a1)aa围.【解析】 时 单调递增，则； ，得； ，aylogax时 单调递减得； 综上可得；01la 304a3(0,)14a【原题解读】本题需考虑对数函数的单调性，利用对数函数的运算性质化为同底数的对数，再利用单调性比较真数，解出对数不等式。体现了分类思想。来源:Zxxk.Com来源:Z&xx&k.Com【变式网络】变式 1.【2016 石河子一中高一】若 ，则
4、的取值范围是（）01log2aA B C D),21(),()1,()21,0(变式 2.【2015 湖北襄阳一中】设 ，函数 ，则使 的 的取0log2xaxf 0(xf值范围是（ ）A B C D)0,(),0()3log,(a),3(loga变式 3.【2013 天津高考】已知函数 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 单调递增.若实数 a)fx 0,满足 ,则 a 的取值范围是（）212(log)(l)(faffA B1, 10,2C D,2 (,3.【原题】 （必修 1 第七十五页习题 2.2 B 组第 4 题）已知函数 ，()log(1)afx，且 （1）求函数 定义域；()log(
5、)0axx)a()fxg（2）判断函数 的奇偶性，并说明理由.(f【解析】 （1）由 ， 得 ，函数 的定义域为 xxx()fx(1,)（2）根据（1）知：函数 的定义域为()fg1, 函数 的定义域关于原点对称()fg又 ，lo(1)l()aaxxx()fgx 是 上的偶函数.()f(,)【原题解读】本题以对数函数为载体，考查函数的定义域与奇偶性求含有对数的函数的定义域时，除考虑前面所知晓的分母、根式要求外，须考虑对数的真数必须大于 0判断对数型函数的奇偶性时首先必须确定函数的定义域是否对称，对称的情况下判断 与 的关系，进而判()fx)f定达到考查运算能力以及代数恒等变换能力【变式网络】变
6、式 1.【2015 湖南高考】设函数 ，则 是 （ ）()ln1)l()fxx()fA.奇函数，且在 上是增函数 B. 奇函 数，且在 上是减函数(0,1) (0,1)C. 偶函数，且在 上是增函数 D. 偶函数，且在 上是减函数变式 2.【2015 高考新课标】若函数 为偶函数 ，则 _()fx2ln()ax a变式 3.【2016 兰州模拟】函数 的图象关于（）|3|4|92yA 轴对称 B 轴对称 C原点对称 D直线 对称x 0yx变式 4.【2016 北京模拟】已知 是偶函数，定义域为 .则 ， .2()fxab1,2ab4.【原题】 （必修 1 第八十二页复习参考题 A 组第七题）已
7、知 ，3xf求证：（1） ， （2） .fxyfxA()fxyf【解析】证明:（1）因为； ，则； ，得证。3,yff3xyxf fyA（2）因为； ，则； ，得证。,xyff xyxfxf f【原题解读】本题已指数函数为载体，通过指数幂的运算性质，完成函数关系的证明。容易联想到其它函数的性质，从而演化为抽象函数问题。考查运算能力和抽象概括能力。【变式网络】变式 1.【2014 高考陕西】下列函数中，满足“ ”的单调递增函数是（ ）fxyfyA. B. C. D.12fx3fx12xf3xf变式 2.【2016 北京模拟】给出下列三个等式： ,fxyffy.下列选项中，不满足其中任何一个等式的
8、是（）,1fxffxyfyfxA B C D来源:学科网 ZXXK3xfsinfx2logfxtanfx变式 3.【2014 辽宁高考】已知定义在 上的函数 满足：0,1() ； 对所有 ，且 ，有 .(0)1f yy1|()|2fy若对所有 ， ，则 k 的最小值为（ ）,xy|()|fxA B C D2141285.【原题】 （必修 1 第八十三页复习参考题 B 组第三题）对于函数 （a R）21()xf（1）探索函数 的单调性；（2）是否存在实数 使 为奇函数？()fxafx【解析】 （1） 在 上是增函数1xa(,)证明：任取 ，且 ，12,(,)12x 1()fx12xxa2x1x
9、)12(21xx因为 ，所以 2,(,)10,又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，121x2x12()0f即 ，所以函数 在 上是增函数2()fxf 1()xfa,（2）假设存在实数 使 为奇函数,则 0，即 ，afx()f(f 2021xxa所以 ，12xx12xx即存在实数 使 为奇函数a()xf【原题解读】本题为指数型函数，确定函数的单调性一是利用定义来 解决；二是利用函数单调性与奇偶性间的关系来解决已知性质求相关的参数问题通常要建立方程来解决问题考查学生运算能力、分析与探究问题的能力、逆向思维能力的目的【变式网络】变式 1.【2015 山东高考】若 函数 是奇函数，则使 成立的 的取值范围
10、为（ 21()xfa()3fxx）A B C D(,1)(,0)(0,)(1,)变式 2.【2016 湖北襄阳一中】对于函数 (xR)，2(1xfa（1）用定义证明： 在 R 上是单调减函数；()fx（2）若 是奇函数，求 值； ()fa（3）在（2）的条件下，解不等式 。(2t1)(t5)0ff变式 3.【2016 山东滨州高三二模】若函数 xea为奇函数，则 exf1)(的解集为（ ）A )0,( B )2,( C ),2( D ),0(变式 4.【2015 天津高考】已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数,R|1xmf记 0.5(log3),af=2b(log5),c()ff=,则
11、,的大小关系为（ ）abcA c B a C D bca6.【原题】 （必修 1 第八十三页复习参考题 B 组第四题）4.设 ，(),()22xxeefg求证：（1） ；（2） ；（3） ；2()()1gxf()2fxfg2)()fx【解析】证明：（1）由题； 2 22,() ,44x xxeeeef则 ，得证。224()()1gxf（2）由 ，得证；)()2(g)xxxeeef fx（3）由 ，得证。2 2222g()()()()()xxxf【原题解读】本题考查代数运算和变形能力及推理论证能力。同时该题以基本的指数函数 为,xxye背景，进行简单组合，从而推出一系列函数性质，启发我们对待复杂
12、函数问题的处理思路，即化繁为简。【变式网络】变式 1.【2016 衡水金卷】设 ，给出如下结论：(),()22xxeefg对任意 ，有 ； 存在实数 ，使得 ； 来源:Z xxk.ComxR21gx000(2)()fxfgx不存在实数 ，使得 ；02200()()xf对任意 ，有 ；其中所有正确结论的序号是ffg变式 2.【2016 福建福州外国语学校高一】已知函数 ， ，且满足()2xf,abcR， ， ，则 的值（ ）0abc0a()()fbfcA.一定大于零 B.一定小于零 C.一定等于零 D.都有可能变式 3.【2016 兰州模拟】已知函数 满足 ，且 ， 分别是 上的偶函xeFxhg
13、gxhR数和奇函数，若 使得不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 .2,1x02ahga变式 4.【2016 银川一中高一】已知定义在 R 上的奇函数 和偶函数 满足： ，fxgx+xfxge则.2121n nnggf【数学文化 3】对数的发明对数是中学初等数学中的重要内容，那么 当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家纳皮 尔(JNapier,15501617)男爵在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科 可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂
14、的“天文数学” ，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数 然而，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样 在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢?在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法 让我们来看看下面这个例子：(1)0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8，
15、 9， 10， 11， 12， 13， 14，(2)1，2，4，8，16，32，64，126，256，512，1024 ，2048，4096，8192，16384，这两行数字之间的关系是极为明确的：第(1)行表示 2 的指数，第(2) 行表示 2 的对应幂 如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现 比如，计算 64256 的值，就可以先查询第一行的对应数字：64 对应 6，256 对应 8；然后再把第一行中的对应数字加起来：68=14；第一行中的14，对应第二行中的 16384，所以有：64256=16384纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算
16、”的思想了 在“运用对数简化计算”的时候，采用的正是这种思路：计算两个复杂的乘积，先查常用对数表，找到这两个复杂数的常用对数，把这两个常用对数值相加，再通过常用对数的反对数表查出和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了 这种“ 化乘除为加减”从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗?经过多年的探索，纳皮尔男爵于 1614 年出版了他的名著奇妙对数定律说明书，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣 伟大的导师恩格斯在他的著作自然辩证法中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明 法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,17491827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍。
