1、第六课时 1.3.3 组合的应用教学目标：1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；2、能够解决一些组合应用问题教学重点：来源: 解决一些组合应用问题教学过程一、复习引入：1.组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从nmn个不同元素中取出 个元素的一个组合nm说明：不同元素；“只取不排”无序性；相同组合：元素相同2组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出 个元素的组合数用符号 表示n mnC3组合数公式的推导：（1 ）一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 ，可以分如下两步： 先求nA从 n 个不同元素中取出 m
2、 个元素的组合数 ； 求每一个组合中 m 个元素全排列数 ，n mA根据分步计数原理得： nACm（2 ）组合数的公式：或(1)2(1)!mnC )!(mn),nN且4.组合数的性质 1： mnC5.组合数的性质 2： + n11n二、讲解新课：典例分析例 1将 1，2，3，9 这 9 个数字填在如下图所示的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当 3，4 固定在图中的位置时，填写空格的方法数为( )3来源: 4A. 6 种 B. 12 种C. 18 种 D. 24 种答案：A解析：第一行从左到右前面两个格子只能安排 1，2，最右下角的格子只能是 9，这样只要在剩余的
3、四个数字中选取两个，安排在右边一列的上面两个格子中(由小到大) ，剩余两个数字安排在最下面一行的前面两个格子中 (由小到大) ，故总的方法数是 C 6.24例 2从编号为 1，2 ，3，10 ，11 的共 11 个球中，取出 5 个球，使得这 5 个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？ 解：分为三类：1 奇 4 偶有 ； 3 奇 2 偶有 ； 5 奇 1 偶有 ， 来源: 4516C2536C6一共有 + + 516C23例 3现有 8 名青年，其中有 5 名能胜任英语翻译工作；有 4 名青年能胜任德语翻译工作（其中有 1 名青年两项工作都能胜任） ，现在要从中挑选 5 名青年承担一
4、项任务，其 中3 名从事英语翻译工作，2 名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有 ；234C让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有 ；1让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有 ，234一共有 + + 42 种方法234C1234例 4甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一：（排除法） 4221341546C解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有 ；234另一类为甲不值周一，但值周六，有 ，241一共有 + 42 种方法241C3例
5、56 本不同的书全部送给 5 人，每人至少 1 本，有多少种不同的送书方法？解：第一步：从 6 本不同的书中任取 2 本“捆绑” 在一起看成一个元素有 种方法；26C第二步：将 5 个“ 不同元素（书） ”分给 5 个人有 种方法5A根据分步计数原理，一共有 1800 种方法 26C例 6、按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？来源: (1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；(3)平均分成三份，每份 2 本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(5)分成三份，1 份 4
6、 本，另外两份每份 1 本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；(7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本解：(1)无序不均匀分组问题先选 1 本，有 C 种选法；再从余下的 5 本中选 2 本，有 C 种选法；最后余下 3 本全选，16 25有 C 种选法故共有分配方式 C C C 60( 种)3 16 25 3(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式C C C A 360(种) 16 25 3 3(3)无序均匀分组问题先分三组，则应是 C C C 种方法，但是这里出现了重复不妨记六本书为 A， 26
7、24 2B，C ，D，E，F，若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种分法为(AB，CD ，EF)，则 C C C 种分法中还有(AB，EF，CD) ，( CD，AB ，EF)，(CD，EF，AB) ，26 24 2(EF，CD ，AB)，(EF ，AB， CD)，共有 A 种情况，而这 A 种情况仅是 AB，CD，EF 的顺3 3序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有 15( 种) (4)有序均匀分组问题在(3)的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 A C C C3 26 2490(种 )2(5)无序部分均匀分组问题共有分配方式 15(种)(6)有序部分均匀分组
8、问题在(5)的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式 A 90(种)3(7)直接分配问题甲选 1 本，有 C 种方法；乙从余下的 5 本中选 1 本，有 C 种方法；余下 4 本留给丙，16 15有 C 种方法共有分配方式 C C C 30( 种)4 16 15 4课堂小节：本节课学习了组合的应用课堂练习：1已知集合 A1,2,3,4，B5,6,7，C 8,9现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成的集合个数为( ) 来源 :A24 B36C26 D27解析：分三类：第一类：选集合 A、B 可组成 C C 12 个集合；14 1
9、3第二类：选集合 A、C 可组成 C C 8 个集合；14 12第三类：选集合 B、C 可组成 C C 6 个集合13 12由分类加法计数原理，可组成 128626 个集合答案：C2(1)3 人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为几种？(2)有 5 个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有 10 个保送上大学的名额，分配给 7 所学校，每校至少有 1 个名额，问名额分配的方法共有多少种？解析：(1)由题意知有 5 个座位都是空的，我们把 3 个人看成是坐在座位上的人，往 5 个空座的空档插，由于这 5 个空座位之间共有 4 个空，3 个人去插，共有 A 24( 种)34(2)总的排法数为 A 120(种) ，5甲在乙的右边的排法数为 A 60( 种)12 5(3)解法一 每个学校至少一个名额，则分去 7 个，剩余 3 个名额分到 7 所学校的方法种数就是要求的分配方法种数分类：若 3 个名额分到一所学校有 7 种方法；若分配到 2 所学校有 C 242(种) ；27若分配到 3 所学校有 C 35(种)37共有 7423584(种)方法解法二 10 个元素之间有 9 个间隔，要求分成 7 份，相当于用 6 块档板插在 9 个间隔中，共有 C 84 种不同方法69所以名额分配的方法共有 84 种
