1、第 2 章 23 离散型随机变量的均值与方差看一看 1离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量 X 的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：称 E(X)为随机变量 X 的均值或数学期望，它反12()inEXxpx 映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差：称 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值21()()niiiDEXp的平均偏离程度，其算术平方根 为随机变量 X 的标准差()EX()D2均值与方差的性质(1) (2) 为常数)()()axbEXb2()(,axbab3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若 X 服从两点分布，则 ， ()p()1)X
2、p(2)若 ，则 ， (,)Bnp:nDn4正态曲线及性质(1)正态曲线的定义：函数 ，其中实数 和 为参数，我2()1()xufxe,)(0)们称 f(x)的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线 对称；u曲线在 处达到峰值 ；曲线与 x 轴之间的面积为 1；u12当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高” ，表示总体的分布越集中； 越大， 曲线越“矮胖” ，表示总体的分布越分散，如图乙所示5正态分布(1)正态分布的定义
3、及表示：若对于任何实数 ，随机变量 X 满足,()ab，则称 X 的分布为正态分布，记作 ()()baPaXfxd 2(,)N(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： P( X 06826； P( 2 X 2 09544； P( 3 X 3 09974想一想1、求随机变量的均值、方差和标准差常见的基本题型及方法有哪些？练一练1 【2017 山东烟台二中月考】已知随机变量 X 的分布列为则 E(6X8)( )A 132 B 212 C 202 D 2222 【2017 山东烟台二中月考】设随机变量 ，若,Bnp, ,则参数 的值为（ ）E=.4,1.,npA B 06np60.4C D 8,
4、.32,13 【2017 河南洛阳期末】设随机变量 ，随机变量 ，若 ，则,XBp 3,YBp 519PX( )1DYA 2 B 3 C 6 D 74 【2017 河北石家庄二中三模】在次实验中，同时抛掷 枚均匀的硬币 次，设 枚硬币正好出4164现枚正面向上， 枚反面向上的次数为 ，则 的方差是 （ ）A B C D 41565 【2017 安徽太和中学月考】某竞猜活动有 54 人参加设计者给每位参与者 1 道填空题和 3 道选择题，答对一道填空题得 2 分，答对一道选择题得 1 分，答错得 0 分，若得分总数大于或等于 4 分可获得纪念品假定每位参与者答对每道填空题的概率为 ，答对每道选择
5、题的概率为 ，且每位2参与者答题互不影响设参与者中可获得纪念品的人数为 ，则均值（数学期望） （ ）XEXA B C D 676 【2017 黑龙江牡丹江一中期中】离散型随机变量 X 的分布列为，则 E(X)与 D(X)依次为( )10,1kPXpqpq，A 0 和 1 B 和 C 和 D 和2p1p7 【2017 河南洛阳期末】设随机变量 ，若 ，则 等于( )2N ， (3)Pm(3PA B C D 2m1m8 【2017 安徽蚌埠二模】赌博有陷阱，某种赌博游戏每局的规则是：参与者现在从标有 5,6,7,8,9的相同小球中随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金（单位：元） ；随后放回该小球
6、，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的 2 倍作为其奖金（单位：元） ，若随机变量 和 分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赌金与奖金，则_（元） E9 【2017 重庆一中期中】随机变量 ，且 ，则 _1,3Bn+2=8En10 【2017 江西瑞昌二中段考】某学校要从名男生和 名女生中选出 人作为志愿者，若用随机量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 _ （结果用最简分数表示） 11某保险公司针对一个拥有 20000 人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金保险公司把企业的所有岗位共分为 、 、 三类工种，从事三类工种的人数分
7、布比例如图，根据历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付频率） 对于 、 、 三类工种职工每人每年保费分别为 元， 元， 元，出险后的赔偿金额分别为100 万元，100 万元，50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元（）若保险公司要求利润的期望不低于保费的 20%，试确定保费 、 所要满足的条件；（）现有如下两个方案供企业选择；方案 1：企业不与保险公司合作，企业自行拿出与保险提供的等额的赔偿金额赔付给出险职工；方案 2：企业于保险公司合作，企业负责职工保费的 60%，职工个人负责保费的 40%，出险后赔偿金由保险公司赔付若企业选择翻翻 2 的支出（不
8、包括职工支出）低于选择方案 1 的支出期望，求保费 、 所要满足的条件，并判断企业是否可与保险公司合作 （若企业选择方案 2 的支出低于选择方案 1 的支出期望，且与（）中保险公司所提条件不矛盾，则企业可与保险公司合作 ）12 【2017 河南南阳一中月考】学校设计了一个实验的考查方案：考生从 6 道备选题中一次随机抽取 3 道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，并规定：在抽取的 3 道题中，至少正确完成其中2 道题便可通过考查，已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确完成，2 道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为 ，且每题正确完成与否互不影响23（1）求考生甲正确完成题目个数 的分布列和数学期望；（2）用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性大？乐一乐概率为 0 的事件一定不发生吗？圆上任意取三点构成锐角三角形，钝角三角形和 直角三角形的概率分别是多少？这显然是几何概型的问题，容易求得锐角三角形的概率为 1/4，钝角的为 3/4，直角的就为 0非常奇怪，为什么构成直角三角形的概率是 0 呢？圆上任意取三点应该能够构成直角三角形的，这件事情明明会发生，也就是这是可能事件。这就说明了可能事件的概率也会是 0，概率为0 的事件也是可以发生的。
