1、第 12 课时 等比数列的前 n 项和(1)【学习导航】知识网络 学习要求 1掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前 n 项和公式，掌握等比数列的前 n 项和公式2会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题【自学评价】1.等比数列a n的前 n 项和为 Sn当 时， 1qqaS1)(或 nn1当 q=1 时， 1aSn当已知 , q, n 时用公式；1当已知 , q, 时，用公式. 2.若数列a n的前 n 项和 Snp(1q n)，且 p0，q1 ，则数列a n是等比数列.【精典范例】【例 1】在等比数列a n中，（）已知 4， 12，求 ；110（）已知 ， 243，k
2、a3，求 qkS【解】（1）根据等比数列的前项和公式，得听课随笔（2）根据等比数列的前项和公式，得【例 2】在等比数列a n中， ，求 an.263,73S【解】若，则 ，这与已知 是矛盾的，所以从而263,73S将上面两个等式的两边分别相除，得所以，由此可得 ，因此21a点评:等比数列中五个基本量 a1、q、a n、n、S n，知三可求二.【例 3】在 等 比 数 列 an 中 ， a1+an=66,a2an 1=128,且 前 n 项 和 Sn=126,求 n 及 公 比 q.【解】 a 1an=a2an1 =128,又 a1+an=66,a 1、a n 是方程 x266x +128=0
3、的两根，解方程得 x1=2,x2=64,a 1=2,an=64 或 a1=64,an=2,显然 q1.若 a1=2,an=64,由 =126得 264q=126126q,q=2,由 an=a1qn1 得 2n1 =32,n=6.若 a1=64,an=2,同理可求得 q= ,n=6.综上所述，n 的值为 6，公比 q=2 或 .21点评:等比数列中五个基本量 a1、q、a n、n、S n，知三可求二，列方程组是求解的常用方法.解本题的关键是利用 a1ana 2an1 ，进而求出 a1、a n，要注意 a1、a n 是两组解.追踪训练一1某厂去年的产值记为，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则
4、从今年起到第五年，这个厂的总产值为（） 4. 51. )1.(5).(062求下列等比数列的各项和：（），2187；（）， ， ， ， .2148512【答案】 （1）3280；（2） 33等比数列a n的各项都是正数，若 a181，a 516，则它的前 5 项和是（ B ）A.179 B.211 C.243 D.2754若等比数列a n的前 n 项之和 Sn=3n+a,则 a 等于（ D ）A.3 B.1 C.0 D.15已知等比数列的公比为 2，若前 4 项之和等于 1，则前 8 项之和等于（ B ）A.15 B.17 C.19 D.21【选修延伸】【例 4】 是等比数列， 是其前 n 项
5、和，数列 （ ）是否nanS kkkSS232,N仍成等比数列？【解】设 首项是 ，公比为 q,n1当 q=1 且 k 为偶数时， 不是等比数列.kkkSS232,此时， =0.kkS32例如：数列 1,1,1,1,是公比为1 的等比数列， S2=0,46242当 q1 或 k 为奇数时，kSkaa3202 )(321kkk3q（ ）成等比数列kSS232,N追踪训练二1.在等比数列a n中，S n 表示前 n 项和，若 a3=2S21，a 4=2S3+1,则公比 q 等于（ A ）A.3 B.3 C.1 D.12.等比数列a n中，a 3=7,前 3 项之和 S3=21, 则公比 q 的值为
6、（ C ）A.1 B. 2C.1 或 D.1 或23.在公比为整数的等比数列a n中，已知 a1a 418，a 2a 312，那么 a5a 6a 7a 8 等听课随笔于（ A ）A.480 B.493 C.495 D.4984.在 14 与 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数组成等比数列，若各项的和为 ,则此数列的项87 87数为（ B ）A.4 B.5 C.6 D.75.在等比数列a n中，公比 q=2,log2a1+log2a2+log2a10=25,则 a1+a2+a10= .4036. 已知等比数列a n的各项均为正数，S n80，S 2n6560，且在前 n 项中最大项为 54，求此数列的公比 q 和项数 n.【解】 由 S2n2S n 知，q1得：1q n82，即 qn81q1 则 a1qn1 54 得: ，即 a1 q 231将、代入得 q3 n47.一个有穷等比数列的首项为 1，项数为偶数，其奇数项之和为 85，偶数项之和为 170，求这个数列的公比及项数.【解】 设此数列的公比为 q,项数为 2n.由题意得：q=2,2n=8170)(8522qn故此数列的公比为 2，项数为 8.根据已知 6501)(82an【师生互动】学生质疑教师释疑
