1、目录 【 1】大数伊始 3 【 1,1】最简单的运算 3 【 1,2】以 0结尾的东西 5 【 1,3】经典数字 14 【 1,4】增长率 15 【 2】超越乘方 17 【 2,1】感叹号 ! 17 【 2,2】没有运算符 18 【 2,3】阿克曼函数 20 【 2,4】多边形符号 22 【 3】箭头时代 28 【 3,1】高德纳上箭头 28 【 3,2】葛立恒数 29 【 3,3】低级超运算 33 【 3,4】康威链式箭号 35 【 4】超越箭头 39 【 4,1】 Friedman序列 39 【 4,2】 Circle函数 40 【 4,3】 Hydra函数 41 【 4,4】 E与 #
2、41 【 5】数阵时代 65 【 5,1】 BEAF 65 【 5,2】鸟之记号 86 【 6】超越数阵 101 【 6,1】图论问题 101 【 6,2】 Loader.c 104 【 6,3】 函数 106 【 6,4】 函数 108 【 7】序数时代 111 【 7,1】 f(x)与 111 【 7,2】 、 和 117 【 7,3】 函数 123 【 7,4】 函数 130 【 7,5】 CK 148 【 8】最终章 151 【 8,1】 Rayo数 151 【 8,2】大数的意义 152 【 】大数伊始 【 1,1】最简单的运算 【 1,1,1】正整数与后继数 正整数集 N * 是这
3、么定义的 ,它满足下面的所有条件 : 1.任意一 个 正整数 a都恰 有一 个 后继数 a +2.有一 个 正整数 ,没有 什 么正整数的后继数是它 .这 个 数记 作 1 3.除了 1以 外 的任意一 个 正整数 a,都 是 某 一 个 正整数的后继数 4.如果 1S, 且 (若 nS, 则 n + S), 那 么 S=N * 问题 来了 .到现在为止 ,我们并不知道 ” 1的后继数 ”、 ” 1的后继数的后继数 ” 等该用什 么 表示 .难道 是 ” 1 + ”、 ” 1 + ”之 类 的 吗 ? 于 是 ,很久很久 以 前 ,就 有 人 定义 了 :1 + =2,2 + =3,3 + =
4、4,4 + =5,5 + =6,6 + =7,7 + =8, 8 + =9,9 + =10.我们用把两个 数字 拼起来做成 的 ” 10”来表示 9的后继数 . 接 下 来 ,10 + =11,11 + =12, ,19 + =20, ,99 + =100, 于 是 ,我们就 有 理 论上 能够表 示出 任 何 正整数的 办法了 . 但 是 ,后继数这 种 运算 本身只 是简单的数数 而已 ,并无 任 何实际应用价值 .真 正有 价值 的东西是下面的 【 1,1,2】 加法 加法 的定义 如 下 ,用加 号 ” +”表示 . 1. a+1=a +2. a+b + =(a+b) +很 简单 吧
5、!不过 ,这 个 定义 十分抽象 ,其实我们可 以 得到 下面的结论 : a+b=a + + (共 b个 后继数符号 ” + ” ).这 就清晰明了 多 了 . 不过 ,有时 候加法还 是 不够用 .于 是 ,我们需要 【 1,1,3】乘 法 乘 法 的定义 如 下 ,用 乘号 ” 表示 . 1.a 1=a 2.a b + =a b+a 这 也 是 很 简单的定义 .通俗 一 点说 ,a b=a+a+ a(共 b个 ” a” ). 可 以 发现 ,10 10=100,100 10=1000,100 0(共 n个 ” 0” ) 10=100 0(共 n+1 个 ” 0” ).这 将引导我们 进入
6、 下一级运算 【 1,1,4】乘方 乘方运算符一 般 用 ” ”表示 ,定义 为 : 1.a1=1 2.ab + =ab a 乘 法 没有 交换律 、结 合律 .一 般 来说 ,它是 右 结 合 的 ,abc被解释 成 a(bc) 有时 候 ,乘 法可 以 不用 任 何 运算符 来表示 ,直 接用 上 标 记 作 ” a b ” ,此 时 a b =ab 可 以 ”通俗 一 点 ”说 ,a b =a a a(共 b个 ” a” ).然 而 ,更 高级的运算 很 长时 间 没有 得 到发 展 ,一 直 到 近 代 .人们 曾 经 ”创造 ”了很 多数字 ,给 它 们 命名 ,用 以 说出 任 何
7、可 能 的正整数 . 【 1,2】以 ” 0”结尾的东西 【 1,2,1】 4种 中文计 数 系统 在 中文 数字 中 ,10称 为十 ,100称 为 百 ,1000称 为 千 ,10000称 为 万 .这是 不可 置疑 的 .但 是 ,更 大的数字 该如何 称呼呢 ? 早 在 黄帝 时 期 ,3种 计 数 系统 就 存 在了 .它 们分 别 是 ”下数 ”、 ”中 数 ”、 ”上数 ” . 而现在 ,这 3种 计 数 系统几乎 不 存 在 ,取 而 代之的是 ”万进 ”计 数方 法 .这 里 ,我将 它 们 的数 值 列 举 如 下 : 数字 名称 下数 万进 中 数 上数 万 104 10
8、4 104 104 亿 105 108 108 108 兆 106 1012 1016 1016 京 107 1016 1024 1032 垓 108 1020 1032 1064 秭 109 1024 1040 10128 穰 1010 1028 1048 10256 沟 1011 1032 1056 10512 涧 1012 1036 1064 101024 正 1013 1040 1072 102048 载 1014 1044 1080 104096 由此 可 见 ,”下数 ”实际 上是 ”十 进 ” ,”中 数 ”则 是 ”万万进 ” ,而 ”上数 ”是 ”平 方 进 ” . 其实 ,
9、”上数 ”是一 种很 经 济 的 表示 方 法 ,它 可 以 用 最 少 的 称呼 表示出 大数 .与 “上数 ”类 似 的 表示法还 有 很 多 ,如 下面一 例 . 【 1,2,2】 华严 大数 如 下 表 所 示 .也 是 ”平 方 进 ” . 名称 数值 名称 数值 倶 胝 10 7一 持 10 469762048阿 庾 多 10 14异路 10 939524096那 由他 10 28颠倒 10 1879048192频波罗 10 56三末耶 10 3758096384矜羯罗 10 112毗睹罗 10 7516192768阿 伽罗 10 224奚婆罗 10 15032385536最 胜
10、10 448伺察 10 30064771072摩婆罗 10 896周广 10 60129542144阿 婆罗 10 1792高 出 10 120259084288多 婆罗 10 3584最 妙 10 240518168576界 分 10 7168泥 罗婆 10 481036337152普 摩 10 14336诃 理 婆 10 962072674304祢 摩 10 28672一 动 10 1924145348608阿 婆 钤 10 57344诃 理 蒲 10 3848290697216弥 伽婆 10 114688诃 理 三 10 7696581394432毗 攞 伽 10 229376奚 鲁 伽
11、 10 15393162788864毗伽婆 10 458752达 攞歩 陀 10 30786325577728僧 羯 逻 摩 10 917504诃鲁 那 10 61572651155456毗 萨 罗 10 1835008摩 鲁陀 10 123145302310912毗 赡 婆 10 3670016忏慕陀 10 246290604621824毗 盛 伽 10 7340032瑿攞 陀 10 492581209243648毗 素陀 10 14680064摩 鲁 摩 10 985162418487296毗婆 诃 10 29360128调伏 10 1970324836974592毗 薄底 10 5872
12、0256离 憍 慢 10 3940649673949184毗 佉 担 10 117440512不 动 10 7881299347898368称 量 10 234881024极量 10 15762598695796736名称 数值 名称 数值 阿么 怛 罗 10 31525197391593472阿 怛 罗 10 2115620184325601055735808勃 么 怛 罗 10 63050394783186944酰鲁 耶 10 4231240368651202111471616伽 么 怛 罗 10 126100789566373888薜鲁 婆 10 84624807373024042229
13、43232那 么 怛 罗 10 252201579132747776羯罗波 10 16924961474604808445886464奚 么 怛 罗 10 504403158265495552诃 婆婆 10 33849922949209616891772928鞞 么 怛 罗 10 1008806316530991104毗婆罗 10 67699845898419233783545856鉢 罗 么 怛 罗 10 2017612633061982208那 婆罗 10 135399691796838467567091712尸 婆 么 怛 罗 10 4035225266123964416摩 攞 罗 10
14、 270799383593676935134183424翳 罗 10 8070450532247928832娑 婆罗 10 541598767187353870268366848薜 罗 10 16140901064495857664迷 攞 普 10 1083197534374707740536733696谛 罗 10 32281802128991715328者 么 罗 10 2166395068749415481073467392偈 罗 10 64563604257983430656駄 么 罗 10 4332790137498830962146934784窣 步 罗 10 1291272085
15、15966861312鉢攞 么 陀 10 8665580274997661924293869568泥 罗 10 258254417031933722624毗 迦 摩 10 17331160549995323848587739136计罗 10 516508834063867445248乌 波 跋 多 10 34662321099990647697175478272细 罗 10 1033017668127734890496演 説 10 69324642199981295394350956544睥 罗 10 2066035336255469780992无 尽 10 13864928439996259
16、0788701913088谜 罗 10 4132070672510939561984出 生 10 277298568799925181577403826176娑 攞 荼 10 8264141345021879123968无我 10 554597137599850363154807652352谜鲁陀 10 16528282690043758247936阿 畔 多 10 1109194275199700726309615304704契鲁陀 10 33056565380087516495872青莲 华 10(298 7) 摩睹罗 10 66113130760175032991744鉢 头 摩 10(
17、299 7) 娑母 罗 10 132226261520350065983488僧 祇 10(2100 7) 阿 野娑 10 264452523040700131966976趣 10(2101 7) 迦 么 罗 10 528905046081400263933952至 10(2102 7) 摩伽婆 10 1057810092162800527867904阿 僧 祇 10(2103 7) 名称 数值 阿 僧 祇 转 10 141976867225561692967630759002112无 量 10 283953734451123385935261518004224无 量转 10 56790746
18、8902246771870523036008448无 边 10 1135814937804493543741046072016896无 边 转 10 2271629875608987087482092144033792无等 10 4543259751217974174964184288067584无等 转 10 9086519502435948349928368576135168不可 数 10 18173039004871896699856737152270336不可 数 转 10 36346078009743793399713474304540672不可 称 10 7269215601948
19、7586799426948609081344不可 称 转 10 145384312038975173598853897218162688不可 思 10 290768624077950347197707794436325376不可 思转 10 581537248155900694395415588872650752不可 量 10 1163074496311801388790831177745301504不可 量转 10 2326148992623602777581662355490603008不可说 10 4652297985247205555163324710981206016不可说 转 10
20、 9304595970494411110326649421962412032不可说不可说 10 18609191940988822220653298843924824064不可说不可说 转 10(2122 7)=10 37218383881977644441306597687849648128什 么 ?你认 为 这 种 数字 很 大 ?那 么 你 的目 光 真 是 够 短浅 的 【 1,2,3】 2种 ” -illion”数字 系统 我们知道 ,英 文中 的 ten是 10,hundred是 100,thousand是 1000,而 million 则 是 10 6 .这 2种 计 数 系统
21、就 从 这 里 开 始 分 离 .它 们 是 美 式 英 文 的 ” short scale” 和 其 他 外 文 的 ” long scale” .short scale按照 10 3n+3 命名 以 -illion结尾的数字 ,而 long scale按照 10 6n 命名 以 -illion结尾的数字 ,按 10 6n+3 命名 以 -illiard结尾 的数字 .下面是一 些 典 型 的 例 子 . 名称 short scale long scale 名称 long scale million 106 106 milliard 109 billion 109 1012 billiard
22、 1015 trillion 1012 1018 trilliard 1021 quadrillion 1015 1024 quadrilliard 1027 quintillion 1018 1030 quintilliard 1033 sextillion 1021 1036 sextilliard 1039 septillion 1024 1042 septilliard 1045 octillion 1027 1048 octilliard 1051 nonillion 1030 1054 nonilliard 1057 decillion 1033 1060 decilliard 1
23、063 undecillion 1036 1066 undecilliard 1069 duodecillion 1039 1072 duodecilliard 1075 tredecillion 1042 1078 tredecilliard 1081 quattuordecillion 1045 1084 quattuordecilliard 1087 quindecillion 1048 1090 quindecilliard 1093 sexdecillion 1051 1096 sexdecilliard 1099 septendecillion 1054 10102 septend
24、ecilliard 10105 octodecillion 1057 10108 octodecilliard 10111 novemdecillion 1060 10114 novemdecilliard 10117 vigintillion 1063 10120 vigintilliard 10123 unvigintillion 1066 10126 unvigintilliard 10129 duovigintillion 1069 10132 duovigintilliard 10135 当 然 ,这 些 数字 并不止 这么 点 .我们还 有 名称 short scale long
25、scale trigintillion 1093 10180 quadragintillion 10123 10240 quinquagintillion 10153 10300 sexagintillion 10183 10360 名称 short scale long scale septuagintillion 10213 10420 octogintillion 10243 10480 nonagintillion 10273 10540 centillion 10303 10600 primo-vigesimo-centillion 10366 10726 ducentillion
26、10603 101200 trecentillion 10903 101800 quadringentillion 101203 102400 quingentillion 101503 103000 sescentillion 101803 103600 septingentillion 102103 104200 octingentillion 102403 104800 nongentillion 102703 105400 millillion 103003 106000 dumillillion 106003 1012000 myrillion 1030003 1060000 mil
27、li-millillion(micrillion) 103000003 106000000 nanillion 103000000003 106000000000 picillion 103000000000003 106000000000000 femtillion 10 300000000000000310 6000000000000000attillion 10 300000000000000000310 6000000000000000000zeptillion 10 300000000000000000000310 6000000000000000000000yoctillion 1
28、0(3 1024+3) 10(6 1024) xonillion 10(3 1027+3) 10(6 1027) vecillion 10(3 1030+3) 10(6 1030) mecillion 10(3 1033+3) 10(6 1033) duecillion 10(3 1036+3) 10(6 1036) trecillion 10(3 1039+3) 10(6 1039) 看 ,trecillion已 经超越 华严 经数字 了 ,然 而我们还 有 更 大的 . 以下 均 为 short scale中 的数字 . 名称 short scale 名称 short scale Tetr
29、ecillion 10(3 1042+3) Exdakillion 10 3 10(3 1048)+3Pentecillion 10(3 1045+3) Zedakillion 10 3 10(3 1051)+3Hexecillion 10(3 1048+3) Yodakillion 10 3 10(3 1054)+3Heptecillion 10(3 1051+3) Nedakillion 10 3 10(3 1057)+3Octecillion 10(3 1054+3) Ikillion 10 3 10(3 1060)+3Ennecillion 10(3 1057+3) Ikenillio
30、n 10 3 10(3 1063)+3Icosillion 10(3 1060+3) Icodillion 10 3 10(3 1066)+3Triacontillion 10(3 1090+3) Ictrillion 10 3 10(3 1069)+3Tetracontillion 10(3 10120+3) Icterillion 10 3 10(3 1072)+3Pentacontillion 10(3 10150+3) Icpetillion 10 3 10(3 1075)+3Hexacontillion 10(3 10180+3) Ikectillion 10 3 10(3 1078
31、)+3Heptacontillion 10(3 10210+3) Iczetillion 10 3 10(3 1081)+3Octacontillion 10(3 10240+3) Ikyotillion 10 3 10(3 1084)+3Ennacontillion 10(3 10270+3) Icxenillion 10 3 10(3 1087)+3Hectillion 10(3 10300+3) Trakillion 10 3 10(3 1090)+3Killillion 10(3 103000+3) Tekillion 10 3 10(3 10120)+3Megillion 10 3
32、103000000+3Pekillion 10 3 10(3 10150)+3Gigillion 10 3 103000000000+3Exakillion 10 3 10(3 10180)+3Terillion 10 3 103000000000000+3Zakillion 10 3 10(3 10210)+3Petillion 10 3 10(3 1015)+3Yokillion 10 3 10(3 10240)+3Exillion 10 3 10(3 1018)+3Nekillion 10 3 10(3 10270)+3Zettillion 10 3 10(3 1021)+3Hotill
33、ion 10 3 10(3 10300)+3Yottillion 10 3 10(3 1024)+3Botillion 10 3 10(3 10600)+3Xennillion 10 3 10(3 1027)+3Trotillion 10 3 10(3 10900)+3Dakillion 10 3 10(3 1030)+3Totillion 10 3 10(3 101200)+3Hendillion 10 3 10(3 1033)+3Potillion 10 3 10(3 101500)+3Dokillion 10 3 10(3 1036)+3Exotillion 10 3 10(3 1018
34、00)+3Tradakillion 10 3 10(3 1039)+3Zotillion 10 3 10(3 102100)+3Tedakillion 10 3 10(3 1042)+3Yootillion 10 3 10(3 102400)+3Pedakillion 10 3 10(3 1045)+3Notillion 10 3 10(3 102700)+3名称 short scale 名称 short scale Kalillion 10 3 10(3 103000)+3Hotejillion 10 3 10(3 10300000000)+3Dalillion 10 3 10(3 1060
35、00)+3Gijillion 10 3 10(3 103000000000)+3Tralillion 10 3 10(3 109000)+3Astillion 10 3 10(3 10(3 1012)+3Talillion 10 3 10(3 1012000)+3Lunillion 10 3 10(3 10(3 1015)+3Palillion 10 3 10(3 1015000)+3Fermillion 10 3 10(3 10(3 1018)+3Exalillion 10 3 10(3 1018000)+3Jovillion 10 3 10(3 10(3 1021)+3Zalillion
36、10 3 10(3 1021000)+3Solillion 10 3 10(3 10(3 1024)+3Yalillion 10 3 10(3 1024000)+3Betillion 10 3 10(3 10(3 1027)+3Nalillion 10 3 10(3 1027000)+3Glocillion 10 3 10(3 10(3 1030)+3Dakalillion 10 3 10(3 1030000)+3Gaxillion 10 3 10(3 10(3 1033)+3Hotalillion 10 3 10(3 10300000)+3Supillion 10 3 10(3 10(3 1
37、036)+3Mejillion 10 3 10(3 103000000)+3Versillion 10 3 10(3 10(3 1039)+3Dakejillion 10 3 10(3 1030000000)+3Multillion 10 3 10(3 10(3 1042)+3Bentrizillion=10 6 10(6 10(6 106000000000)【 1,2,4】 ” -yllion”记 法 高德纳 (Donald Knuth)发明了 一 种很 ”经 济 ”的 计 数方 法 ,10称 作 ten,100称 作 hundred(这 2个 没 变 ),然 而 ,1000被称 作 ten
38、 hundred,3456被称 作 34 hundred 56(不 使 用 ” thousand” ),10000则 冠 以一 个 新 的 名称 myriad.现 在 ,一 些 数的 名称 和 值 列 举 如 下 : 名称 数 值 名称 数 值 myriad 104 septyllion 10512 myllion 108 octyllion 101024 byllion 1016 nonyllion 102048 tryllion 1032 decyllion 104096 quadryllion 1064 undecyllion 108192 quintyllion 10128 duode
39、cyllion 1016384 sextyllion 10256 tredecyllion 1032768 名称 数 值 名称 数 值 quattuordecyllion 1065536 novemtrigintyllion 10241 quindecyllion 10131072 quadragintyllion 10242 sexdecyllion 10262144 quinquagintyllion 10252 septdecyllion 10524288 sexagintyllion 10262 octodecyllion 10 1048576septuagintyllion 1027
40、2 novemdecyllion 10 2097152octogintyllion 10282 vigintyllion 10 4194304nonagintyllion 10292 unvigintyllion 10 8388608centyllion 102102 duovigintyllion 10 16777216ducentyllion 102202 trevigintyllion 10 33554432trecentyllion 102302 quattuorvigintyllion 10 67108864quadringentyllion 102402 quinvigintyll
41、ion 10 134217768quingentyllion 102502 sexvigintyllion 10 268435456sescentyllion 102602 septemvigintyllion 10 534870912septingentyllion 102702 octovigintyllion 10 1073741824octingentyllion 102802 novemvigintyllion 10 2147483648nongentyllion 102902 trigintyllion 10 4294967296millyllion 1021002 untrigi
42、ntyllion 10 8589934592myryllion 10210002 duotrigintyllion 10 17179869184 micryllion 1021000002 tretrigintyllion 10 34359738368 nanyllion 10 21000000002quattuortrigintyllion 10 68719476736 picyllion 10 21000000000002quintrigintyllion 10 137438953472 femtyllion 10 2(1015+2)sextrigintyllion 10 27487790
43、6944 attyllion 10 2(1018+2)septtrigintyllion 10 549755813888 zeptyllion 10 2(1021+2)octotrigintyllion 10 1099511627776 yoctyllion 10 2(1024+2)应 当指 出 的是 ,如果 Bentrizyllion存 在 的 话 ,那得 多大 ! 【 1,3】经典数字 【 1,3,1】 163 e p163 e p 被称 作 拉马努金 数 ,它 比 262537412640768744约小 2.5 10 -13 ,以 致 于人们 会误认 为 它是 个 整数 . 【 1,3
44、,2】 魔 方 8! 3 7 12! 2 11 /2=43252003274489856000,这是 三 阶魔 方的 排 列方 法 总 数 . 7! 3 6 24! 24!/24 6 7.4011968415649 10 45 ,这是 四 阶魔 方的 排 列方 法 总 数 .五 阶魔 方 为 8! 3 7 12! 2 10 24! (24!/24 6 ) 2 2.8287094227774 10 74 ,六 阶 魔 方 为 7! 3 6 24! 2 (24!/24 6 ) 4 1.5715285840103 10 116 ,七 阶魔 方 为 8! 3 7 12! 2 10 24! 2 (24!
45、/24 6 ) 6 1.9500551183732 10 160 . 【 1,3,3】数 独 2 20 3 8 5 7 27704267971=6670903752021072936960,这是 9 9数 独 的 总 种 数 . 【 1,3,4】阿 伏 伽 德 罗 常 数 阿 伏 伽 德 罗 常 数 约 为 6.02214179 10 23 【 1,3,5】大数定 律 质 子 和 电 子 的 静电力 与 万 有 引 力 之 比约 为 2.26881 10 39 ,这是 物 理 学 中 的 一 个 神秘 的大数 . 【 1,3,6】 带电粒 子 可 见 宇宙 中 带电粒 子 的 总 数 约 为 136
