1、1.5 定积分的概念1.5.11.5.2 曲边梯形的面积与汽车行驶的路程问题导学一、曲边梯形面积的计算活动与探究 1求由直线 x0，x 1，y0 及曲线 yx 22x 所围成的图形的面积 S迁移与应用用曲边梯形面积的计算方法求由直线 x0，x1，y 0 及直线 y3x 所围成图形的面积(1)求曲边梯形的面积时要按照分割近似代替求和取极值这四个步骤进行(2)近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替(3)求和时要用到一些常见的求和公式，例如：123n ，1 22 2n 2 等n(n 1)2 n(n 1)(2n 1)6二、汽车行驶路程的计算问题活动与探究 2
2、一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻 t 的速度为 v(t) t2(单位：km/h)，试计算12这辆汽车在 0t2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程 s(单位：km)迁移与应用某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻 t 的速度为 v(t)7t 2，试计算这个物体在 0t1 这段时间内运动的路程 s把变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念答案：课前预习导学【预习导引】1连
3、续不断预习交流 1 提示：只有和是连续函数2(2)小曲边梯形 小曲边梯形 矩形 小曲边梯形 近似值 求和 近似值 (3)分割 近似代替 求和 取极限预习交流 2 提示：不能直接对整个曲边梯形进行“以直代曲”，否则误差太大为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”3分割 近似代替 求和 取极限课堂合作探究【问题导学】活动与探究 1 思路分析：严格按照分割近似代替求和取极限这四个步骤进行计算求解解：(1)分割在区间0,1上等间隔地插入 n1 个点，将它等分为 n 个小区间：， ， ， ，记第 i 个区间为 (i1,2，n)，其长度为 x0，1n 1n，2n 2n，3n n
4、 1n ，1 i 1n，in in i 1n 1n分别过上述 n1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形( 如图)，它们的面积记作：S 1，S 2，S n，则小曲边梯形面积的和为 1iiS(2)近似代替记 f(x)x 2+2x，当 n 很大，即 x 很小时，在区间 上，可以认为 f(x)的值变化很1,in小，近似地等于一个常数，不妨用 来近似地作为 f(x)在该区间上的函数值从图形上看ifn就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间 上，用小矩1,in形的面积 S i近似地代替 S i，则有 S iS i 2iifxn(3)求和小曲边梯形的面积和 1
5、1nniii21ni1n(12n2 22n2 n2n2) 2(1n 2n nn) (n 1)(2n 1)6n2 n 1n 16(1 1n)(2 1n) (1 1n)(4)取极限分别将区间0,1等分成 8,16,20，等份时，S n 越来越趋向于 S，从而有S Sn Error!Error! limli43即由直线 x0，x 1，y0 及曲线 yx 22x 所围成的图形的面积等于 43迁移与应用 解：(1)分割：把区间0,1等分成 n 个小区间 (i1,2，n) ，其长度i 1n，in为 x 把梯形分成 n 个小梯形，其面积记为 Si(i1,2， ，n) 1n(2)近似代替：用小矩形面积近似代替
6、小梯形面积Sif x3 (i 1n ) i 1n 1n (i1)(i1 ，2，n)3n2(3)求和： Si (i1)ni 1ni 13n2 12(n1)3n2 32n 1n 32(1 1n)(4)取极限：S (i1)limnni 13n2 lin32(1 1n) 32故所求面积等于 32活动与探究 2 思路分析：由 v(t)及 t0，t2，v 0 所围成的面积即为汽车行驶的路程，按照求曲边梯形面积的方法求解即可解：(1)分割：在区间0,2 上等间隔地插入 n1 个分点，将区间分成 n 个小区间： ，0，2n， ， ，记第 i 个小区间为 (i 1，2，n) ，t ，则汽车在时2n，4n 2(n
7、 1)n ，2nn 2(i 1)n ，2in 2n间段 ， ， 上行驶的路程分别记作 s1，s 2，s 3，s n，有 sn0，2n 2n，4n 2(n 1)n ，2nnsin i 1(2)近似代替：取 i (i1,2，n)2ins i v t 2t(2in) 12(2in) i2(i1,2，n )124i2n22n 4n3(3)求和： sini 1ni 1(4n3i2) (122 23 2n 2)4n3 4n3n(n 1)(2n 1)6 23(1 1n)(2 1n)(4)取极限：s sn lim43故这段时间内汽车行驶的路程 s 为 km43迁移与应用 解：将区间0,1n 等分，得到 n 个
8、小区间：， ， ， ， 0，1n 1n，2n i 1n，in n 1n ，nn取 i (i1,2，n)，则物体在每个时间段内运动的路程insiv (i)t ，i1，2，n1n(7 i2n2)sn sini 1 1n(7 1n2 7 22n2 7 n2n2)1n7n n(n 1)(2n 1)6n2 7 16(1 1n)(2 1n)于是 s sn limli7 16(1 1n)(2 1n) 203所以这个物体在 0t1 这段时间内运动的路程为 203当堂检测1在求由抛物线 yx 2 与直线 x2，y0 所围成的平面图形的面积时，把区间0,2 等分成n 个小区间，则第 i 个区间为( )A B,n1
9、,inC D2(),i (),答案：C 解析：每个小区间的长度是 ，所以左端点是 0(i1) ，右端2n2n(1)i点是 in2下列关于函数 f(x)x 2 在区间 的端点处的函数值的说法正确的是( )1,iAf(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当 n 很大时，f(x )的值变化很小答案：D3在求由 xa，x b(ab)， yf(x)( f(x)0)及 y0 围成的曲边梯形的面积 S 时，在区间a，b上等间隔地插入 n1 个分点，分别过这些分点作 x 轴的垂线，把曲边形分成 n 个小曲边形，下列说法中正确的个数是( )n 个小曲边形的面积和等于 Sn 个小曲边形的面
10、积和小于 Sn 个小曲边形的面积和大于 Sn 个小曲边形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定A1 B2 C3 D4答案：A 解析：只有说法是正确的，其余均错4求由抛物线 f(x)x 2，直线 x0，x1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间0,15 等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为_答案：0.33 解析：由题意得 S(0.1 20.3 20.5 20.7 20.9 2)0.20.335求直线 x0，x 2，y0 与曲线 yx 2 所围成的曲边梯形的面积答案：解：令 f(x)x 2(1)分割将区间0,2n 等分，分点依次为x00， ， ，x n1 ，x n2124()第 i 个区间为 (i1,2，n), 每个区间长度为 x ,i 2in(2)近似代替、求和取 i (i1,2，n)，22231118n ni i iSfx (122 2 n 2)38(6 241)3n(3)取极限 ，即所求曲边梯形的面积为 limSlin24318n83提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记
