高中数学必修三导学案 1.2、算法案例.doc

1、1高中数学必修三导学案1.2 算法案例 洞口一中 肖丹枫一教学目标1通过阅读了解中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。2掌握几种重要的算法案例思想，学习时重算法的思想、轻算法和程序的构造。特别要注意算法实例和传统数学知识相结合的题目。二教学重难点1.重点：理解辗转相除法与更相减损术的原理,会求两个数的最大公约数；理解秦九韶算法原理，会求一元多项式的值；会对一组数据按照一定的规则进行排序；理解进位制，能进行各种进位制之间的转化2.难点：秦九韶算法求一元多项式的值及各种进位制之间的转化3.重难点：理解辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法原理、排序方法、进位制之间的转化方法三

2、、基础梳理1求最大公约数（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 。（3）辗转相除法辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数. 辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： 输入两个正整数

3、m 和 n； 求余数 r：计算 m 除以 n，将所得余数存放到变量 r 中；更新被除数和余数：m=n，n=r；判断余数 r 是否为 0。若余数为 0，则输出结果；否则转向第步继续循环执行。如此循环，直到得到结果为止。（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中记载了更相减2损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.步骤：

4、任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。2秦九韶算法秦九韶算法的一般规则：秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式 f(x)= anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 当 x=x0 时的函数值，可把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式的值的问题，即求v0=anv1=anx+an1v2=v1x+an2vk=vk-1x+

5、ankvn=vn1 x+a0观察秦九韶算法的数学模型，计算 vk 时要用到 vk1 的值，若令 v0=an。我们可以得到下面的递推公式：v 0=an，v k=vk1 +ank (k=1,2,n).这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。3进位制（1）概念进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即可称 n 进位制，简称 n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用 10 个阿拉伯数字 09 进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数 57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为

6、 71、用十六进制表示为 39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，若 k 是一个大于一的整数，那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为：，1() 1.0,.)nnnaaka 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34 (5)表示 5 进制数。（2）进位制间的转换3关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时

7、计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可： 1221)(1 akkakannkn 第一步：从左到右依次取出 k 进制数 各位上的数字，乘以相应的 k 的幂，k 的)(01n幂从 n 开始取值，每次递减 1，递减到 0，即 ；0122,., akn第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。.十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除 2 取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k 进制数的算法“ 除 k 取余法”。.非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个

8、二进制数据与 16 进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为 16 进制数。四例题分析（一）求最大公约数对于两个正整数如何选择合适的方法求他们的最大公约数方法 适用范围及特点短除法 适合两个较小的正整数或两个质因数较少的正整数，简便易操作。穷举法 适合计算机操作，但一一验证过于繁琐。辗转相除法 适用于两个较大的正整数，以除法为主，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小差别较大时计算次数较明显。更相减损术 适用于两个较大的正整数，更相减损术以减法为主，计算次数上相对于辗转相处法较多。例 1 （1）用辗转相除法求 123 和 48 的最大公约数？（2

9、）用更相减损来求 80 和 36 的最大公约数？点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为 0，更相减损术是到达减数和差相等。例 2设计一个算法，求出 840 与 1764 的最大公因数。点评：质数是除以外只能被和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规4律来确定所有的质数。（二）秦九韶算法我们以这个 5 次多项式函数为例加以说明，设：f（x）=a 5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以 5 次多项式一步步地进行改写：f（x）=（a 5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a 0=（a 5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a 1）

10、 x+a0=（a 5x2+a4x+ a3）x+a 2）x+a 1）x+a 0=（a 5x+a4）x+ a 3）x+a 2）x+a 1）x+a 0上面的分层计算。只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可。例 3已知 n 次多项式 ，如果在 一种算法中，计算101()nn nPxaxax（k2，3，4，n）的值需要 k1 次乘法，计算 的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次0x 30()P加法） ，那么计算 的值共需要 次运算。下面给出一种减少运算次数的算法：10()x（k0， 1，2， n1） 利用该算法，计算 的值共需要001(

11、),kkPxaPa 30()Px6 次运算，计算 的值共需要 次运算。10()x点评：秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达 ，加法最多 n 次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多 n 次，2)(n加法最多 n 次。例 4已知多项式函数 f(x)=2x55x 44x 3+3x26x+7 ，求当 x=5 时的函数的值。点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为 0 的项补齐后再计算。（三）进位制我们常见的数字都是十进制数,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的。比如时间和角度

12、的单位是六十进制,电子计算机的指令用的是二进制，早先的计算机的用的是十六进制的。例 7把十进制数 89 化为三进制数，并写出程序语句.点评：根据三进制数满三进一的原则，可以 用 3 连续去除 89 及其所的得的商，然后按倒序的先5后顺序取出余数组成数据即可。例 8将 8 进制数 314706（8） 化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序。点评：利用把 k 进制数转化为十进制数的一般方法就可以把 8 进制数 314706（8） 化为十进制数，然后根据该算法，利用函数，应用循环结构可以设计程序。五、课后练习学法大视野高中数学必修三专题复习专题二、算法案例参考答案例 1 （1）用辗转相除法求 12

13、3 和 48 的最大公约数？（2）用更相减损来求 80 和 36 的最大公约数？解：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：（建立带余除式）12324827 4812721 271216 21363 623+0最后 6 能被 3 整除，得 123 和 48 的最大公约数为 3。（2）分析：我们将 80 作为大数，36 作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行结束的准则是减数和差相等。更相减损术：因为 80 和 36 都是偶数，要去公因数 2。802=40 ，362=18；40 和 18 都是偶数，要去公因数 2。402=20 ，182=9下面来求 20 与 9 的最大公约数，209=

14、11 119=2 92=7 72=5 52=3 32=1 21=1可得 80 和 36 的最大公约数为 221=4。例 2设计一个算法，求出 840 与 1764 的最大公因数。解析：我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的。解题思路如下：首先对两个数进行素因数分解：840=23357，1764=2 23272，其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。接着确定公共素因数的指数：对于公共素因数 2，840 中为 23，1764 中为 22，应取较少的一个22，同理可得下面的因数为 3 和 7。算法步骤：第一步：将 840 进行素数分解 23357；第二步：将

15、1764 进行素数分解 223272；第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7；6第四步：确定公共素因数 2，3，7 的指数分别是：2，1，1；第五步：最大公因数为 223171=84。例 3已知 n 次多项式 ，如果在 一种算法中，计算01()nn nPxaxax（k2，3，4，n）的值需要 k1 次乘法，计算 的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次0x 30()P加法） ，那么计算 的值共需要 次运算。下面给出一种减少运算次数的算法：10()x（k0， 1，2， n1） 利用该算法，计算 的值共需要001(),kkPxaPa 30()Px6 次运算，计算 的值共需要 次运算。10()x

16、答案：65；20。例 4已知多项式函数 f(x)=2x55x 44x 3+3x26x+7 ，求当 x=5 时的函数的值。解析：把多项式变形为：f(x)= 2x 55x 44x 3+3x26x+7=(2x5)x4)x+3)x6)x+7计算的过程可以列表表示为：多项式 x 系数 2 5来源:学科网 4 3 6 7 运算运算所得的值 10 25 105 540 2670 +变形后 x 的 “系数“ 2 5 21 108 534 2677 *5最后的系数 2677 即为所求的值。算法过程：v0=2v1=25 5=5v2=55 4=21v3=215+3=108v4=10856=534v5=5345+7=

17、2677例 7把十进制数 89 化为三进制数，并写出程序语句.解析：具体的计算方法如下：89=329+229=39+29=33+03=31+01=30+1所以:89 （10） =1011001(3)。例 8将 8 进制数 314706（8） 化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序。解析：314706 （8） =385+184+483+782+081+680=104902。所以，化为十进制数是 104902。7高中数学必修三专题复习专题二、算法案例一、基础梳理1求最大公约数（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的

18、除数连乘起来。（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数 。（3）辗转相除法辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： 输入两个正整数 m 和 n； 求余数 r：计算 m 除以 n，将所得余数存放到变量 r 中；更新被除数和余数：m=n，n=r；判断余数 r 是否为 0。若余数为 0，则输出结果；否则转向第步继续循环执行。如此循环，直到得到结果为止。（4）更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中记载了更相减损术求最大公约数的步骤：可半

19、者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。步骤：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。82秦九韶算法秦九韶算法的一般规则：秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 的求值问题。用秦九韶算法求一般多项式 f(x)= anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 当 x=x0 时的函数值，可把 n 次多项式的求值问题转化成求 n 个一次多项式

20、的值的问题，即求v0=anv1=anx+an1v2=v1x+an2v3=v2x+an3vn=vn1 x+a0观察秦九韶算法的数学模型，计算 vk 时要用到 vk1 的值，若令 v0=an。我们可以得到下面的递推公式：v 0=an，v k=vk1 +ank (k=1,2,n).这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。3进位制（1）概念进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为 n，即可称 n 进位制，简称 n 进制。现在最常用的是十进制，通常使用 10 个阿拉伯数字 09 进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制

21、来表示。比如：十进数 57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为 71、用十六进制表示为 39，它们所代表的数值都是一样的。一般地，若 k 是一个大于一的整数，那么以 k 为基数的 k 进制可以表示为：，10() 10. ,0,.)nnnaaka 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如 111001(2)表示二进制数,34 (5)表示 5 进制数。（2）进位制间的转换关于进位制的转换，教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解，并推广到十进制和其它进制之间的转换。这样做的原因是，计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的，而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据，因此

22、计算机必须先将十进制数转换为二进制数，再处理，显然运算后首次得到的结果为二进制数，同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出。非十进制数转换为十进制数比较简单，只要计算下面的式子值即可： 01101 .)(. akkakannn 第一步：从左到右依次取出 k 进制数 各位上的数字，乘以相应的 k 的幂，k 的)(01n幂从 n 开始取值，每次递减 1，递减到 0，即 ；011,.,kn9第二步：把所得到的乘积加起来，所得的结果就是相应的十进制数。.十进制数转换成非十进制数把十进制数转换为二进制数，教科书上提供了“除 2 取余法”，我们可以类比得到十进制数转换成k 进制数的算法“ 除 k

23、 取余法”。.非十进制之间的转换一个自然的想法是利用十进制作为桥梁。教科书上提供了一个二进制数据与 16 进制数据之间的互化的方法，也就是先有二进制数转化为十进制数，再由十进制数转化成为 16 进制数。二考点分析（一）求最大公约数对于两个正整数如何选择合适的方法求他们的最大公约数方法 适用范围及特点短除法 适合两个较小的正整数或两个质因数较少的正整数，简便易操作。穷举法 适合计算机操作，但一一验证过于繁琐。辗转相除法 适用于两个较大的正整数，以除法为主，辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小差别较大时计算次数较明显。更相减损术 适用于两个较大的正整数，更相减损术以减法为主，计算次数上相

24、对于辗转相处法较多。例 1 （1）用辗转相除法求 123 和 48 的最大公约数？（2）用更相减损来求 80 和 36 的最大公约数？解析：（1）辗转相除法求最大公约数的过程如下：（建立带余除式）12324827 4812721 271216 21363 623+0最后 6 能被 3 整除，得 123 和 48 的最大公约数为 3。（2）分析：我们将 80 作为大数，36 作为小数，执行更相减损术来求两数的最大公约数。执行结束的准则是减数和差相等。更相减损术：因为 80 和 36 都是偶数，要去公因数 2。802=40 ，362=18；40 和 18 都是偶数，要去公因数 2。402=20 ，

25、182=9下面来求 20 与 9 的最大公约数，209=11 119=2 92=7 72=5 52=3 32=1 21=1可得 80 和 36 的最大公约数为 221=4。点评：对比两种方法控制好算法的结束，辗转相除法是到达余数为 0，更相减损术是到达减数和差相等。例 2设计一个算法，求出 840 与 1764 的最大公因数。解析：我们已经学习过了对自然数的素因数分解的方法，下面的算法就是在此基础上设计的。解题思路如下：首先对两个数进行素因数分解：840=23357，1764=2 23272，其次，确定两个数的公共素因数：2，3，7。10接着确定公共素因数的指数：对于公共素因数 2，840 中

26、为 23，1764 中为 22，应取较少的一个22，同理可得下面的因数为 3 和 7。算法步骤：第一步：将 840 进行素数分解 23357；第二步：将 1764 进行素数分解 223272；第三步：确定它们的公共素因数：2，3，7；第四步：确定公共素因数 2，3，7 的指数分别是：2，1，1；第五步：最大公因数为 223171=84。点评：质数是除以外只能被和本身整除的正整数，它应该是无限多个，但是目前没有一个规律来确定所有的质数。（二）秦九韶算法我们以这个 5 次多项式函数为例加以说明，设：f（x）=a 5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，让我们以 5 次多项式一步步地

27、进行改写：f（x）=（a 5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a 0=（a 5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a 1） x+a0=（a 5x2+a4x+ a3）x+a 2）x+a 1）x+a 0=（a 5x+a4）x+ a 3）x+a 2）x+a 1）x+a 0上面的分层计算。只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可。例 3已知 n 次多项式 ，如果在 一种算法中，计算101()nn nPxaxax（k2，3，4，n）的值需要 k1 次乘法，计算 的值共需要 9 次运算（6 次乘法，3 次0x 30()P加法） ，那么

28、计算 的值共需要 次运算。下面给出一种减少运算次数的算法：10()x（k0， 1，2， n1） 利用该算法，计算 的值共需要001(),kkPxaPa 30()Px6 次运算，计算 的值共需要 次运算。10()x答案：65；20。点评：秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 的求值问题。直接法乘法运算的次数最多可到达 ，加法最多 n 次。秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多 n 次，2)1(n加法最多 n 次。例 4已知多项式函数 f(x)=2x55x 44x 3+3x26x+7 ，求当 x=5 时的函数的值。解析：把多项式变形为：f(x)=

29、 2x 55x 44x 3+3x26x+7=(2x5)x4)x+3)x6)x+7计算的过程可以列表表示为：多项式 x 系数 2 5来源:学科网 4 3 6 7 运算运算所得的值 10 25 105 540 2670 +11变形后 x 的 “系数“ 2 5 21 108 534 2677 *5最后的系数 2677 即为所求的值。算法过程：v0=2v1=25 5=5v2=55 4=21v3=215+3=108v4=10856=534v5=5345+7=2677点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为 0 的项补齐后再计算。（三）进位制我们常见的数字都是十进制数,比如一般的数值计算，但是并不是生

30、活中的每一种数字都是十进制的。比如时间和角度的单位是六十进制,电子计算机的指令用的是二进制，早先的计算机的用的是十六进制的。例 7把十进制数 89 化为三进制数，并写出程序语句.解析：具体的计算方法如下：89=329+229=39+29=33+03=31+01=30+1所以:89 （10） =1011001(3)。点评：根据三进制数满三进一的原则，可以 用 3 连续去除 89 及其所的得的商，然后按倒序的先后顺序取出余数组成数据即可。例 8将 8 进制数 314706（8） 化为十进制数，并编写出一个实现算法的程序。解析：314706 （8） =385+184+483+782+081+680=104902。所以，化为十进制数是 104902。点评：利用把 k 进制数转化为十进制数的一般方法就可以把 8 进制数 314706（8） 化为十进制数，然后根据该算法，利用 GET 函数，应用循环结构可以设计程序。