1、安徽省庐江县部分示范高中 2015 届高三第三次联考数学( 理)试题(满分 150 分，考试时间 120 分钟)第卷（选择题 共 50 分）一.选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、若复数 z 满足方程 ，则 ( )20z3zA. B. C. D. 22i2i2、已知命题：p 所有的素数都是奇数，则命题 p 是( )(A) 所有的素数都不是奇数 (B) 有些的素数是奇数(C) 存在一个素数是奇数 (D) 存在一个素数不是奇数3、变量 满足约束条件 则 的最大值为( )xy, 210xy,.2zxyA-3 B0 C
2、1 D34、函数 f(x) cos 2xsin xcos x 的最小正周期和振幅分别是( )32A，2 B ，1 C2 ，1 D2 ，25、已知 e 是自然对数的底数，函数 的零点为 a，函数fxe的零点为 b，则下列不等式中成立的是( )ln2gxxA B. 1faff1fafbfC. D. a6、已知 a0，b0 ，A 为 a，b 的等差中项，正数 G 为 a，b 的等比中项，则ab 与 AG 的大小关系是( )AabAG BabAG CabAG D不能确定7、钝角三角形 ABC 的面积是 ，AB=1，BC= ，则 AC=( )122A. 5 B. C. 2 D. 1 58、数列 的前 项
3、和为 Sn ,且满足 ,（ ）则 Sn等于 na nan11, 2（ ）A. B. C. D. (3)2(3)4()2()49、函数 yf ( x)定义域是( ，)，若对于任意的正数 a，函数 g(x)f ( xa)f (x)都是其定义域上的增函数，则函数 yf (x)的图象可能是( )10、已知关于 x 的不等式 有且只有一个实数解，)(320Rmx函数 ， ，若对于任一实数 x，f (x)与()ft()()1gttg(x)至少有一个为正数，则实数 t 的取值范围是( ) A(0,8) B(0,2) C(2,8) D(-,0)第卷（非选择题 ，共 100 分）二、填空题：(本大题共 5 小题
4、，每小题 5 分，共 25 分。请将答案填在答题卷相应位置上。)11、已知 ，则实数 的取值范围为 21d4kx k12、已知等比数列 的首项为 8， 是其前 n 项的和，某同学经计算得nanS，后来该同学发现其一个数算错了，则该数为2340,6,5SS_。 13已知两个非零向量 与 ，定义 ，其中 为 与 的夹absinbaab角若 , ，则 的值为_ )43(a)2,0(14、已知 ，函数 若函数 在 上01a,1xaf,fx02,的最大值比最小值大 ，则 的值为 .5215、已知函数 (xR).下列命题中：()4sin()3fx由 =0，可得 必是 的整数倍；1212xy =f(x)的表
5、达式可改写成 ；()4cos()6fxy =f(x)的图象关于点 对称；,06y =f(x)的图象关于直线 x = 对称.其中，正确命题的序号为 .三、解答题：（本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤。 ）16、 （本题 12 分）在 中， 分别是角 所对的边，满足ABC,abc,ABC，22acba（1）求角 的大小；（2）设 ， ，求 的最小值(sin,co)mA(6,1)nmn17、 （本题 12 分）已知二次函数 有两个零点 和 ，且 最小值是 ，()fx02()fx1函数 与 的图象关于原点对称 .()gxf(1)求 和 的解析式；f(2)若
6、在区间1,1上是增函数，求实数 的取值范()hfg 围18、 （本题 12 分）如图所示，将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求 B 在 AM 上，D 在 AN 上且对角线 MN 过 C 点，已知|AB|=3 米，|AD|=2米.（1）要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米，则 AN 的长应在什么范围内？（2）当 AN 的长度是多少时，矩形 AMPN 的面积最小？并求出最小面积.19、 （本题 12 分）已知数列a n的前 n 项和 Snp nq(p0，且 p1) ，求证：数列a n是等比数列的充要条件为 q120、 （本题 13 分）设 a 为实数，函数 f(x
7、)e x2x 2a，xR.(1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当 aln 21 且 x0 时，e x x22ax 1.21、 （本题 14 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Snn(n1)(nN *)(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：a n ，求数列b n的通项b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1公式；(3)令 cn (nN *)，求数列c n的前 n 项和 Tn.anbn4庐江县部分示范高中 2015 届高三第三次联考数学（理科）参考答案一、 选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D C B A C B B A
8、A二、 填空题11、 12、S 3 （填 S3=36，或 36 均正确） 13、6 2,314、 或 15、 (2)(3)127三、解答题16：解：(1)在 中，由余弦定理 ，ABC221cosBacb又 6 分0,3(2) 22 316sincosin6i1sinmAA又 当 时， 取最小值 12 分20,0i13Aim517：解： (1)依题意，设 f(x)ax (x2)ax 22ax(a0).f(x)图象的对称轴是 x1，f(1)1，即 a2a1，得 a1.f(x)x 22x.由函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于原点对称，g(x)f(x )x 22x. 5 分(2)由(1)得 h
9、(x)x 22x(x 22x)( 1)x 2 2(1 )x.当 1 时，h(x )4x 满足在区间1,1上是增函数；当 1 时，同理则需 1， 1 1又 1，解得12）,因为 ，所以|AM|= ，所以 SAMPN=|AN|AM|= .2 分|DNCAM32x23x（1）由 SAMPN32 得 32.因为 x2，所以 3x2-32x+640，2x即（3x-8 ）(x-8)0,所以 28,83即 AN 的长的取值范围是 （8，+）. 6 分2,（2）y= =23x()1()123()xx10 分()24,xA当且仅当 3(x-2)= ，即 x=4 时，y= 取得最小值 .123x即 SAMPN 取
10、得最小值 24 平方米. 12 分19：证明：充分性：当 q1 时，a 1S 1pqp1.当 n2 时，a nS nS n1 p n1 (p1)当 n1 时也成立，a np n1 (p1)(nN *)于是 p(nN *)，即数列 an为等比数列 6an 1an pn(p 1)pn 1(p 1)分必要性：当 n1 时，a 1S 1pq.当 n2 时，a nS nS n1 p n1 (p1)p0，且 p1， p.an 1an pn(p 1)pn 1(p 1)a n为等比数列， p， p， a2a1 an 1an p(p 1)p q即 p1pq.q1.综上所述，数列 an是等比数列的充要条件为 q1
11、. 12分20：解：(1)由 f(x)e x2x2a，xR 知 f(x ) ex2，x R.令 f( x)0，得 xln 2.于是当 x 变化时， f( x)，f(x)的变化情况如下表：x ( ，ln 2) ln 2 (ln 2，)f (x) 0 f(x) 单调递减 2(1ln 2a) 单调递增故 f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，) ，f(x)在 xln 2 处取得极小值，极小值为 f(ln 2)e ln 22ln 22a2(1ln 2a)6 分(2)证明：设 g(x)e xx 22ax1，x R ，于是 g(x) e x2x 2a，xR.由(1)知当 aln
12、 21 时，g(x)最小值为 g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意 xR ，都有 g(x )0，所以 g(x)在 R 内单调递增于是当 aln 21 时，对任意 x(0，)，都有 g(x)g(0)而 g(0)0，从而对任意 x(0，)，g(x)0.故 exx 22ax10，即 exx22ax 1. 13 分21：解： (1)当 n1 时，a 1S 12，当 n2 时，a nS nS n1 n(n1)(n1) n2n，知 a12 满足该式数列 an的通项公式为 an2n. 4 分(2)an (n1) b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1a n1 b13 1 b232 1 b333 1 bn3n 1 bn 13n 1 1得， a n1 a n2，b n1 2(3 n1 1)，b 1=8bn 13n 1 1故 bn2(3 n1)(nN *) 8 分(3)cn n(3 n1) n3 nn，anbn4T nc 1c 2c 3c n(1323 233 3n3 n)(12n)令 Hn1323 233 3n3 n，则 3Hn13 223 333 4n3 n1 得，2H n33 23 33 nn3 n1 n3 n131 3n1 3H n ，2n 13n 1 34数列 cn的前 n 项和Tn . 142n 13n 1 34 nn 12分
