1、安徽省示范高中 2015 届高三第一次联考数学（理科）第一卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】 （1）设是虚数单位， z表示复数 z的共轭复数, z+ =2, 2z则 z 的虚部是A.1 .Bi .1C .1D【知识点】复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 L4【答案解析】C 解析：设 zabi，则 zabi， 2za，所以 a=1； 2zab，则1b，所以 zi，虚部为 1，故选 C.【思路点拨】利 用 复 数 的 除 法 运 算 化 简 给 出 的 复 数 ， 由 共 轭 复
2、 数 的 概 念 求 解 【题文】(2)双曲线 2x- 3y-1 的渐近线的倾斜角为.6A5.6B 2.3C、 5.6D、【知识点】双 曲 线 的 简 单 性 质 H6【答案解析】D 解析：双曲线 2x- y-1 的渐近线为 3yx，所以倾斜角为 6或 ，故选 D.【思路点拨】求 出 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 ， 再 利 用 斜 率 与 倾 斜 角 的 关 系 ， 即 可 得 出 结 论 【题文】 （3）若 xy、满足02xy则 zyx的最大值为A.2 B.-2 C.1 D.-1【知识点】简 单 线 性 规 划 E5【答案解析】A 解析：线性可行域如图所示，三个顶点坐标分别为（0,2
3、） ， （2,0） ， （-1,0） ，通过上顶点时 Z 值最大。故选 A.【思路点拨】作 出 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 ， 利 用 线 性 规 划 的 知 识 ， 通 过 平 移 即 可 求 z 的 最 大值 【题文】 (4)已知 ,mn为不同的直线， ,为不同的平面，则下列说法正确的是A. ,/mnB. C. ,/D. n【知识点】空 间 中 直 线 与 平 面 之 间 的 位 置 关 系 G4 G5【答案解析】D 解析：A 选项可能有 n，B 选项也可能有 n，C 选项两平面可能相交，故选 D.【思路点拨】分 别 根 据 线 面 平 行 和 线 面 垂 直 的 性 质 和
4、定 义 进 行 判 断 即 可 【题文】(5)执行如图所示的程序框图，输出的 k值为A.2 B.3 C.4 D.5【知识点】程 序 框 图 .L1【答案解析】C 解析：k=0 时， cosin1A；k=1 时， cosinA；k=2 时，cosinA；k=3 时， i；k=4 时， si；故选 C.【思路点拨】本 题 考 查 了 程 序 框 图 中 的 当 型 循 环 结 构 ， 当 型 循 环 结 构 是 先 判 断 再 执 行 ， 满 足 条 件 进入 循 环 体 ， 不 满 足 条 件 算 法 结 束 【题文】 (6)“09k”是“曲线2=159xyk与曲线2=15-k9xy的焦距相同”
5、的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】充分必要条件。A2【答案解析】A 解析：当 09k时，曲线2=159xyk与曲线2=15-k9xy的焦距都是 234k，当 k=0 时，曲线2=159xy与曲线2-的焦距相同，故选 A.【思路点拨】进行双向判断即可.【题文】 （7）函数 ()yfx的图像如图所示，则关于函数 ()yfx的说法正确的是A.函数 ()yfx又 3 个极值点B.函数 在区间 (,4)单调递增C.函数 ()yfx在区间 2单调递减D.x=1 时函数 取最大值【知识点】函数的单调性；函数的极值.B12 B3【答案解析】C 解析
6、：极值点有两个， A 错误。 ,5单调递增，B 错误； 1x不是极值点，D 错误. 故选 C.【思路点拨】利用函数的单调性与极值依次判断即可。【题文】 （8）某产品的广告费用 x 万元与销售额 y 万元的统计数据如下表根据上表可得回归方程 ybxa中的 为 9.4 据此模型预报广告费用为 6 万元是，销售额为 65.5 则,am为 A. 9.1,54 B. 9.1,53mC. 2 D. 24a【知识点】回归直线方程.I4【答案解析】A 解析： ybx过点 6,5.得 9.1， .91yx因直线过均值点所以 7,42，得 4m.故选 A.【思路点拨】利用回归直线方程必过样本的中心点坐标即可.【题
7、文】 (9)为了得到函数 ()cos)fx的图像，只要把函数 1g()2xf的图像A.向左平行移动 4个单位长度B. 向右平行移动 个单位长度C. 向左平行移动 2个单位长度D. 向右平行移动 2个单位长度【知识点】三角函数的图像与性质. C3 【答案解析】B 解析： 13sin2cos2244gxfxx,右移 得3cos2cos244yxx.故选 B.【思路点拨】先把 1g()f化简，然后利用平移的方法即可.【题文】 （10）已知集合 ,|,0Mxyf，若对任意 1,PxyM，均不存在2,Pxy使得 12成立，则称集合 为“好集合” ，下列集合为“好集合”的是A. ,|ln0B. 2,|y1
8、4xC. 2,| 0MD. |x1y【知识点】向量垂直的充要条件；渐近线方程；F3 H6【答案解析】D 解析： 12221100xyopopA，即存在两点与原点连线互相垂直。A 存在 B 切线方程为 y互相垂直，存在；C 切线方程为 yx互相垂直，存在 ； D 21xy渐近线方程为 2yx，倾斜角小于 045所以不存在. 故选 D.【思路点拨】对于 A: 1222110yopopA，即存在两点与原点连线互相垂直。A 存在 ;对于 B: B 切线方程为 x互相垂直，存在；对于 C:C 切线方程为 y互相垂直，存在 ； 对于 D: D 21x渐近线方程为 2yx，倾斜角小于 045所以不存在.二、
9、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上【题文】 （11）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程为01cos3inxty（为参数） ，曲线 C的极坐标方程为 2cos，则与C公共点的个数为 【知识点】参数方程、极坐标方程与普通方程的互化；点到直线的距离公式.N3 H2【答案解析】2 解析： 01cos352inxttxyy为 参 数，2cosx， 21d所以有两个交点.【思路点拨】先把参数方程、极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式即可.【题文】 （12）二项式
10、621x的展开式中，常数项为 【知识点】二 项 式 定 理 J3【答案解析】15 解析：第 1r项 261236rrrCxx，当 4时 12365rCx.【思路点拨】二 项 式 定 理 的 运 用 ， 要 求 展 开 式 的 特 征 项 ， 需 要 求 出 通 项 ， 从 字 母 的 指 数 入 手 【题文】 （13）直线 x与抛物线 24y围成图形的面积是 【知识点】定 积 分 的 几 何 意 义 ;微 积 分 基 本 定 理 .B13【答案解析】C 解析：当 0y时， 2x。1312004x， 83S.【思路点拨】先 计 算 直线 1x与抛物线 y的 交 点 纵 坐 标 ， 确 定 积 分
11、 上 下 限 ， 再 由 定 积 分 的 几 何意 义 ， 将 图 形 面 积 问 题 转 化 为 上 下 两 函 数 差 的 定 积 分 问 题 ， 最 后 利 用 微 积 分 基 本 定 理 求 值 即 可【题文】 （14）在 ABC中,已知 23CAB,则 tanA 【知识点】正余弦定理;向量的数量积的运算.C8 F3【答案解析】 83 解析： 2 2 2233CABAcabA ,222tansico5acbABacb.【思路点拨】先利用向量的数量积的运算，把 23ABCAB化简，找到 ABC三边的关系，再结合正余弦定理即可.【题文】 （15）已知数列 *123123:,.,(0.,3)
12、n nAaaaN具有性质 P:对任意 ,ij*1,ijnijN， ij与 ji两个数中至少有一个是数列 A 中的项，则下列命题正确的是 （写出所有正确答案的序号） 数列 A:0，1，3 与数列 B:0,2,4,6 都具有性质 P； 0a 123.na 当 5n时， 12345,a成等差数列。【知识点】命 题 的 真 假 判 断 与 应 用 A2【答案解析】 解析： 1,32都不是数列 A 中的项，命题错误 A具有性质 Pna显然不是数列 A中的项，则 0na必然是数列 A中的项120a所以成立。 具有性质 1,iniN,不在 中，则 ni是数列 中的项221nn nnaa1231212121n
13、nnnnnna aaa 命题成立当 5时12120,aa5425423 3424323aaaa435不是数列 A中的项，则 43是数列 A中的项13432aaa23245命题成立.【思路点拨】根 据 数列 *123123:,(0.,3)n nAaaN具有性质 P:对任意 ,ij*1,ijnijN， ija与 ji两个数中至少有一个是数列 A 中的项， ， 逐 一 验 证 ， 可 知 错 误 ， 其 余 都 正 确 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤【题文】 （16） （本小题满分 12 分）一档电视闯关节目规定：三人参加，三人同时闯关成功为一等
14、奖，奖金为 2000 元，三人中有两人闯关成功为二等奖，奖金为 1000 元，三人中有一人闯关成功为三等奖，奖金为 400 元，其它情况不得奖。现有甲乙丙三人参加此活动，甲乙闯关成功的概率都为 12，丙闯关成功的概率为 34，三人闯关相互独立。（1 ）求得一等奖的概率；（2 ）求得奖金的数学期望【知识点】概率；数学期望.K6 K7【答案解析】(1) 316（2） 97.5解析：(1)获得一等奖的概率 132416P -4 分（2）二等奖的概率 17246 -6 分三等奖的概率 3 524 -8 分不得奖的概率 416P -10 分X 1 2 3 4P 3/16 7/16 5/16 1/16奖金
15、的数学期望 375101040937.566Ex -12 分【思路点拨】【题文】 （17） （本小题满分 12 分）如图，直角三角形 ABC中, 0=9,24,ABCDE分别为 ,ACB边的中点。将 ADE沿折DE起,使二面角 DE的余弦值为 13，求：（1 ）四棱锥 ABCDE的体积 ;（2 ）二面角 的余弦值 .【知识点】线面垂直、面面垂直的判定；棱锥的体积；二面角.G5 G7 G11【答案解析】(1) 2（2） 3解析： ,DEACBDEABCDEAC（ 1） 因 为 是 边 中 点 ， 即 是 中 位 线 ， 所 以 ,A面 面 面过点 作 MCDABE面 ,因为 A为二面角 的平面角
16、，所以 1cos3ADC -3 分2631263,. 2ABCDEAMDV -6 分 AC BEDM（2 ）1416, ,3323EMBE2BEB，,AAE面.-10 分所以 EM为二面角 C的平面角， 3cosMEA.-12 分【思路点拨】本 题 考 查 线 面 平 行 ， 线 面 垂 直 ， 考 查 面 面 角 ， 考 查 向 量 知 识 的 运 用 ， 考 查 学 生 分 析 解决 问 题 的 能 力 ， 综 合 性 强 【题文】 （18） （本小题满分 12 分）三角形 ABC中，角 ,所对的边为 ,abc且 osc2CBAa（1 ）求 A（2 ）若 a求三角形 周长的最大值。【知识点
17、】正余弦定理；辅助角公式；解三角形；函数的最值.C7 C8【答案解析】(1) 06（2）6解析：(1) coscoscosin2si2bCBaAbCBABCAaA得 06 -4 分(2) 4343sin,sisinisinc -6 分043 132si2si12sin24cosin3 2lBCCC= in6 -10 分当 3C时最大值为 6 . -12 分【思路点拨】(1)利用正余弦定理化简即可；（2）先利用正弦定理转化，在求出周长的解析式，最后求出最大值.【题文】 （19） （本小题满分 12 分）数列 na是公比为 12的等比数列，且 21a是 1与 3的等比中项，前 n项和为 nS.数列
18、 nb是等差数列， 18b前 项和 nT满足 nb（ 为常数，且 1）.（1 ）求数列 的通项公式及 的值；（2 ）令 12.,nnCT求证： 14nCS.【知识点】等差数列的通项公式；不等式的证明；数列求和。D2 D4【答案解析】(1) 2na， 1（2）见解析解析：（1） 21311nna-2 分1238,8262ndTbdb -4 分（2 ） 12111434nnCT 4nS-8 分1112442nnnCn-9 分当 时 2 -10 分当 1时01 1nn nnCn -12 分【思路点拨】(1)根据题意列出方程组解出 ,dl即可；（2）先利用裂项法求出 nC，再利用二项展开式证明.【题文
19、】 (20) （本小题满分 13 分）已知椭圆21:xyEab，2:xyEab，过 1E上第一象限上一点 P 作 1E的切线，交 2于 A,B 两点。（1 ）已知圆 22xyr上一点 P0,xy，则过点 P0,xy的切线方程为 20xyr，类比此结论，写出椭圆 21ab在其上一点 P 0,的切线方程，并证明.（2 ）求证：|AP|=|BP|.【知识点】椭圆的性质；根与系数的关系.H5 H8【答案解析】(1)021xyab（2） 见解析 解析：(1) 切线方程 0在第一象限内，由21xyab可得 2200,bbaxyax-2 分椭圆在点 P 处的切线斜率 02200()kx -4 分切线方程为2
20、00(),byya即 21yab。 -6 分 (2)证明：设 12,AxB0 244242 200200xybxababyay-9 分402220012 020 1xxbxabx xyab所以 P为 ,AB中点， PB -13 分【思路点拨】(1)利用导数求出斜率后即可求得切线方程；（2）结合根与系数的关系以及中点坐标公式可证明.【题文】 （21） （本小题满分 14 分）已知函数 21ln()fxax。（1 ）当 a0 时，求单调区间；（2 ）若 0x1,求证：f(1+x)f(1-x);（3 ）若 12,AxyB为函数 f(x)的图像上两点，记 k 为直线 AB 的斜率， 120x，求证：0
21、fk。【知识点】函数的单调性；函数的单调区间；利用导数证明不等式.B3 B12【答案解析】(1) 当 010xfx时 ， fx单调递减，当 10xfx时 ， fx单调递增（2） 见解析（3）见解析解析：（1） 1afxax -1 分当 00f时 ， fx单调递减 -2 分当 1xfx时 ， f单调递增 -3 分 （2 ） 1lnl12ffxx -4 分令 2lnl2gxg -5 分01,0， gx单调递减，所以 0xg所以 fxf -7 分（3 ） 12121lnyxkaxa -8 分00fxax 221 210 21 2121 1ln ln1 lnxxaxax 21222111lnlnxx-11 分设 210x令 21 210xxtt-12 分2121lnln2lnl2ln1l20xttttt由第二小题结论 l1l0gxx可得。 -14 分【思路点拨】本 题 考 查 导 数 的 应 用 ， 涉 及 斜 率 ， 最 大 值 、 最 小 值 的 求 法 ， 是 综 合 题 ； 关 键 是 理 解 导数 的 符 号 与 单 调 性 的 关 系 ， 并 能 正 确 求 出 函 数 的 导 数 ， 属 于 难 题
