1、学案 50 双曲线导学目标： 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想自主梳理1双曲线的概念平面内到两个定点 F1、F 2(F1F22c0)的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a0，c 0；(1)当_时，P 点的轨迹是_；(2)当_时，P 点的轨迹是_；(3)当_时，P 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0，b0)图形范围 xa 或 xa，yR xR， ya 或 ya对称性 对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴 对称中心：原点对称中心：原点顶点 顶点坐标：A1(a,0)，A 2(a,
2、0)顶点坐标：A1(0，a)，A 2(0，a)渐近线 y xbay xab离心率 e ，e (1，) ，其中 cca a2 b2性质实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长 A1A22a；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 B1B22b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a、b 、c的关系 c2a 2b 2 (ca0，cb0)3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为_，其渐近线方程为_，离心率e 为_自我检测1(2011安徽改编)双曲线 2x2y 28 的实轴长是_2已知双曲线 1 (b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，其中一条渐近线方程为x22 y2b2yx，点 P(
3、 ，y 0)在该双曲线上，则 _.3 PF1 PF2 3(2011课标全国改编)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为_4已知点(m，n)在双曲线 8x23y 224 上，则 2m4 的范围是 _5已知 A(1,4)，F 是双曲线 1 的左焦点，P 是双曲线右支上的动点，求x24 y212PF PA 的最小值探究点一 双曲线的定义及应用例 1 已知定点 A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以 C 为一个焦点作过 A，B 的椭圆，求另一焦点 F 的轨迹方程变式迁移 1 已知动
4、圆 M 与圆 C1：(x4) 2y 22 外切，与圆 C2：(x4) 2y 22 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程探究点二 求双曲线的标准方程例 2 已知双曲线的一条渐近线方程是 x2y0，且过点 P(4,3)，求双曲线的标准方程变式迁移 2 (2010安庆模拟) 已知双曲线与椭圆 1 的焦点相同，且它们的离心x29 y225率之和等于 ，则双曲线的方程为_145探究点三 双曲线几何性质的应用例 3 已知双曲线的方程是 16x29y 2144.(1)求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且 PF1PF232，求F 1PF2
5、的大小变式迁移 3 已知双曲线 C： y 21.x22(1)求双曲线 C 的渐近线方程；(2)已知 M 点坐标为 (0,1)，设 P 是双曲线 C 上的点，Q 是点 P 关于原点的对称点记 ，求 的取值范围MP MQ 方程思想例 (14 分)过双曲线 1 的右焦点 F2 且倾斜角为 30的直线交双曲线于 A、Bx23 y26两点，O 为坐标原点，F 1 为左焦点(1)求 AB；(2)求AOB 的面积；(3)求证：AF 2BF 2AF 1BF 1.多角度审题 (1) 要求弦长 AB 需要 A、B 两点坐标或设而不求利用弦 长公式， 这就需要先求直线 AB；(2)在(1) 的基础 上只要求点到直线
6、的距离；(3) 要充分联想到 A、B 两点在双曲线上这个条件【答题模板】(1)解 由双曲线的方程得 a ，b ，3 6c 3，F 1(3,0) ，F2(3,0)a2 b2直线 AB 的方程为 y (x3) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，33由Error! 得 5x26x 270.4 分x1x 2 ，x1x2 ，65 275AB |x1x 2|1 k2 1 ( 33)2 x1 x22 4x1x2 .8 分43 3625 1085 1635(2)解 直线 AB 的方程变形为 x3y3 0.3 3原点 O 到直线 AB 的距离为 d .| 33| 32 32 32SAOB ABd .10
7、分12 12 1635 32 1235(3)证明 如图，由双曲 线的定义得AF2AF 12 ，3BF1BF 22 ，3AF2AF 1BF 1BF 2，即 AF2BF 2AF 1BF 1.14 分【突破思维障碍】本题利用方程的思想，把过点 A 的直线方程与双曲线方程联立，从而转化为关于 x 的一元二次方程，利用韦达定理求解，这种思想在解析几何中经 常用到【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式 0，而导致错解1区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中 a，b，c 的大小关系，在椭圆中a2b 2c 2，而在双曲 线中 c2a 2b 2；双曲线的离心率大于
8、 1，而椭圆的离心率 e(0,1)2双曲线 1 (a0，b0)的渐近线方程是 y x， 1 (a0，b0)的渐近线x2a2 y2b2 ba y2a2 x2b2方程是 y x.ab3双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的 a、b、c，即可求得方程(2)待定系数法，其步骤是：定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设 方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数(满分：90 分)一、填空题(每小题 6 分，共 48 分)1已知 M(2,0)、N (2,0)，PMPN3，则动点 P 的轨迹是_2设点 P 在双曲线
9、1 上，若 F1、F 2 为双曲线的两个焦点，且x29 y216PF1PF 213，则F 1PF2 的周长为_3(2011苏州模拟)过双曲线 1 (a0，b0)的右焦点 F 作圆 x2y 2a 2 的切线x2a2 y2b2FM(切点为 M)，交 y 轴于点 P.若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率为_4双曲线 1 的左焦点为 F1，左、右顶点分别为 A1、A 2，P 是双曲线右支上的x2a2 y2b2一点，则分别以 PF1 和 A1A2 为直径的两圆的位置关系是_5(2011山东改编)已知双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线均和圆x2a2 y2b2C：x 2 y26x50 相切，且双
10、曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为_6(2011上海)设 m 是常数，若点 F(0,5)是双曲线 1 的一个焦点，则y2m x29m_.7设圆过双曲线 1 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到x29 y216双曲线中心的距离为_8(2011南通模拟)已知圆 C：x 2y 26x4y 80.以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为_二、解答题(共 42 分)9(14 分) 根据下列条件，求双曲线方程：(1)与双曲线 1 有共同的渐近线，且经过点(3，2 )；x29 y216 3(2)与双曲线 1 有公共焦点，且过点(3
11、 ，2)x216 y24 210(14 分)(2011广东)设圆 C 与两圆(x )2y 24，(x )2y 24 中的一个内切，5 5另一个外切(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程；(2)已知点 M( ， )，F( ，0) ，且 P 为 L 上动点，求|MP| FP|的最大值及此时355 455 5点 P 的坐标11(14 分)(2010四川)已知定点 A(1,0)，F(2,0)，定直线 l：x ，不在 x 轴上的动12点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的距离的 2 倍设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于B、C 两点，直线 AB、AC 分别交 l 于点 M、N .(1)
12、求 E 的方程；(2)试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F，并说明理由学案 50 双曲线答案自主梳理1双曲线 焦点 焦距 (1)ac 3.等轴双曲线 yx 2自我检测14解析 2x 2y 28， 1，x24 y28a 2，2a4.203. 3解析 设双曲线的标准方程为 1(a0 ，b0)，由于直线 l 过双曲线的焦点且与对x2a2 y2b2称轴垂直，因此直线 l 的方程为 l：xc 或 xc，代入 1 得 y2b 2( 1) ，x2a2 y2b2 c2a2 b4a2y ，故 AB ，依 题意 4a， 2， e 212， e .b2a 2b2a 2b2a b2a2 c2 a2a2 34(，
13、42 4 2 ，)3 35解 设双曲线的右焦点为 F1，则由双曲线的定义可知PF2aPF 14PF 1，PFPA4PF 1PA.当 满足 PF1PA 最小时，PFPA 最小由双曲线的图象可知当点 A、P、F1 共线时， 满足 PF1PA 最小，易求得最小 值为AF15，故所求最小值为 9.课堂活动区例 1 解题导引 求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程， 这样可以减少运算量，提高解题速度与质量在运用双曲线的定义时，应特别注意定 义中的条件“差的绝对值 ”，弄清所求 轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性
14、和完备性解 设 F(x，y)为轨 迹上的任意一点，因为 A，B 两点在以 C，F 为焦点的 椭圆上，所以 FACA 2a，FBCB2a(其中 a 表示椭圆的长半轴)所以 FACA FBCB.所以 FAFBCBCA 2.122 92 122 52所以 FAFB2.由双曲线的定义知，F 点在以 A，B 为焦点， 2 为实轴长的双曲线的下半支上所以点 F 的轨迹方程是 y2 1 (y1)x248变式迁移 1 解 设动圆 M 的半径为 r，则由已知得， MC1r ，2MC2r ，2MC1 MC22 ，2又 C1(4,0)，C 2(4,0)，C1C28. 2 0x2a2 y2b2时，焦点在 x 轴 上；
15、当 0，b0)，且145 45 y2a2 x2b2c4，所以 a c2，a 24，b 2c 2a 212，于是双曲 线的方程为 1.12 y24 x212例 3 解题导引 双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义” “方程观点” “直接法或待定系数法求曲线方程” “数形结合”等解 (1)由 16x29y 2144，得 1，x29 y216a 3，b4，c5.焦点坐标 F1(5,0) ，F2(5,0)，离心率 e ，渐近线方程为 y x.53 43(2)|PF1PF 2|6，cosF 1PF2PF21 PF2 F1F22PF1PF2PF1 PF22 2PF1PF2 F
16、1F22PF1PF2 0，F 1PF290.36 64 10064变式迁移 3 解 (1)因为 a ，b1，且焦点在 x 轴上，所以渐近线方程为2y x0，y x0.22 22(2)设 P 点坐标为(x 0，y0)，则 Q 的坐标为(x 0，y 0)， (x 0，y01)( x 0， y01)MP MQ x y 1 x 2.20 203220|x0| ， 的取 值范围是( ， 12课后练习区1双曲线右支 2.223. 2解析 如图所示，在 RtOPF 中，OMPF 且 M 为 PF 的中点，所以OMF 也是等腰直角三角形，所以有 OF OM，即 c a.2 2所以 e .ca 24内切5. 1
17、x25 y24解析 双曲线 1 的渐近线方程为 y x，x2a2 y2b2 ba圆 C 的标准方程为(x3) 2y 24， 圆心为 C(3,0)又渐近线方程与圆 C 相切，即直线 bxay0 与圆 C 相切， 2，5b 24a 2. 3ba2 b2又 1 的右焦点 F2( ，0)为圆心 C(3,0)，a2b 29. x2a2 y2b2 a2 b2由得 a2 5，b24. 双曲线的标准方程为 1.x25 y24616解析 由已知条件有 52m 9，所以 m16.7.163解析 设圆心 P(x0，y0)，则|x 0| 4，c a2 5 32代入 1，得 y ，OP .x29 y216 20 167
18、9 x20 y20 1638. 1x24 y212解析 可知双曲线仅与 x 轴有交点，Error!即 x26x 80，x2 或 x4，即 c4，a2. 1.x24 y2129解 (1)方法一 由题意可知所求双曲线的焦点在 x 轴上，(2 分)设双曲线的方程为 1，x2a2 y2b2由题意，得Error!解得 a2 ，b24.(4 分)94所以双曲线的方程为 x2 1.(7 分)49 y24方法二 设所求双曲线方程 (0)，x29 y216将点(3,2 )代入得 ，(4 分)314所以双曲线方程为 ，x29 y216 14即 x2 1.(7 分)49 y24(2)设双曲线方程为 1.由题意 c2
19、 .x2a2 y2b2 5又双曲线过点(3 ，2)， 1.2322a2 4b2又 a2 b2(2 )2，a212，b 28.5故所求双曲线的方程为 1.(14 分)x212 y2810解 (1)设圆 C 的圆心坐标为(x，y )，半径 为 r.圆(x )2y 24 的圆心为 F1( ，0)，半径 为 2，5 5圆(x )2y 24 的圆心为 F( ，0)，半径 为 2.5 5由题意得Error!或Error!|CF1 CF|4.(4 分)F1F2 4.5圆 C 的圆心轨迹是以 F1( ，0)，F( ，0)为焦点的双曲线，其方程为 y 21.(7 分)5 5x24(2)由图知，MPFPMF，当
20、M，P，F 三点共线，且点 P 在 MF 延长线上时， MPFP 取得最大值 MF，(9 分)且 MF 2.(10 分)355 52 455 02直线 MF 的方程为 y2x 2 ，与双曲 线方程联立得5Error!整理得 15x232 x840.5解得 x1 (舍去)，x 2 .14515 655此时 y .(12 分)255当 |MPFP |取得最大值 2 时，点 P 的坐标为( ， )(14 分)655 25511解 (1)设 P(x，y)，则 2 ，x 22 y2 |x 12|化简得 x2 1(y 0)(5 分)y23(2)当直线 BC 与 x 轴不垂直时， 设 BC 的方程为 yk
21、(x2) (k0)，与双曲线方程x2 1 联立消去 y，y23得(3k 2)x24 k2x(4 k23)0.由题意知，3k 20 且 0.(7 分)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，则 x1x 2 ，x1x2 ，4k2k2 3 4k2 3k2 3y1y2k 2(x12)( x22)k 2x1x2 2x1 x2 4k 2 .因为 x1，x21，(4k2 3k2 3 8k2k2 3 4) 9k2k2 3所以直线 AB 的方程为 y (x1) y1x1 1因此 M 点的坐标为 ，(12， 3y12x1 1) .FM ( 32， 3y12x1 1)同理可得 .FN ( 32， 3y22x2 1)因此 FM FN ( 32) ( 32) 9y1y24x1 1x2 1 0. (11 分)94 81k2k2 34(4k2 3k2 3 4k2k2 3 1)当直 线 BC 与 x 轴垂直时，其方程为 x2， 则 B(2,3)，C(2，3)AB 的方程为yx1，因此 M 点的坐标为 ， .(12，32) FM ( 32，32)同理可得 .FN ( 32， 32)因此 0. (13 分)FM FN ( 32) ( 32) 32 ( 32)综上， 0，故 FMFN.FM FN 故以线段 MN 为直径的圆过点 F. (14 分)
