1、湖北省浠水实验高中 2015 届高三 12 月月考数学(理科)试卷本试卷共 4 页, 共 21 题，满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 祝考试顺利 一、选择题(共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合 ， ，则下列结论正确的是（ ）RxyA,12xBA. B. C. D. 33ABA2. 已知 ，则 （ ）2tan)2cos(A. B. C. D. 12123. 已知命题 ，命题 对于实数 ， 是:p3cossin,000xRx:qba,2的必要不充分条件，则（ ）baA.“ 或 ”为假 B. “ 或 ”为真pqp
2、C.“ 且 ”为真 D. “ 且 ”为真4. 已知 ，向量 在向量 方向上的投影为 ，则 =（ 3,6ACBBAC4CAB）A. B. C. D. 12122425. 已知函数 且 的解集为 ，则函数 的图像为cxaf)(0)(f ）（ 1, )(xfyA B C D6. 已知等差数列 的前 项的和为 ，且满足 ，则一定有（ ）nanS524aA. 是常数 B. 是常数 C. 是常数 D. 是常数671313S7. 已知函数 满足 对 恒成立，则（ ）)2cos()(xf )(fxfRxA. 函数 是偶函数 B. 函数 是偶函数1 )(fC. 函数 是奇函数 D. 函数 是偶函数f8. 已知实
3、数 满足 ，则 的取值范围为（ ）yx,40)2)(xyyx2A. B. C. D. )123,01,12,39. 若函数 在 上是单调函数，则 的取值范）（ ,(2cbadcbaf Rbf)(围为（ ）A. B. C. D. ),4(),32(),4),3210. 已知定义在 上的奇函数 ，当 时， 则关于Rxf0,)1,10(log(2xxf的函数 的所有零点的和为（ ）x)1()(afxgA. B. C. D. 12a2aa二、填空题(共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上）11. 复数 （其中 是虚数单位）的虚部为 .izi12. 如图，六边形
4、为正六边形，且 ，ABCDEFbDBaAC,则以 ， 为基底， .ab13. 函数 的单调递增区间为 .0,),26sin(xy14. 给出下列命题：（1 ）函数 只有一个零点；3)l()(f（2 ）若 与 不共线，则 与 不共线；abba（3 ）若非零平面向量 两两所成的夹角均相等，则夹角为 ；c, o120（4 ）若数列 的前 项的和 ，则数列 是等比数列；n 12nSna（5 ）函数 的图象经过一定的平移可以得到函数 的图象. xy23xy其中，所有正确命题的序号为 .15. 在极坐标系下，方程 表示的曲线是圆，则实数 的范围是 0si42mm，圆心的极坐标（规定 ）为 .0,三、解答题
5、（共 6 个小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. （本小题 12 分）已知 的内角 所对的边分别为 ，且 .设向量ABC, cba,3C， .),(bam)sin,( )2(abp(1) 若 ，求 ；(2) 若 的面积为 ，求边长 .,p3c17. （本小题 12 分）已知公差不为 0 的等差数列 的前 项和为 ， ，且nanS70成等比数列.621,a(1) 求数列 的通项公式；n(2) 设 ，求数列 的前 项和 .bnbnT18. （本小题 12 分）如图所示，在棱长为 的正方体 中， 分21DCBAFE、别为棱 和 的中点. 1DAC（1 ）求异面直线 与 所
6、成角的正弦值；EFB（2 ）在棱 上是否存在一点 ，使得二面角P的大小为 ？若存在，求出 的Po30P长，若不存在，请说明理由.19. （本小题 12 分）已知函数 .41cosin3)cos()3s()( xxxf（1 ）求函数 的最小正周期，以及 时 的值域；)(xf ,6f（2 ）若 ，求 的值.)2,4(,312sin20. （本小题 13 分）已知椭圆 的离心率为 ，右焦点到直线)0(1:2bayxC21的距离为 .043:1yxl 53（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）若直线 与椭圆 交于 两点，且线段 的中点恰)0(:2kmxl BA、 AB好在直线 上，求 的面积的最大值（其中
7、为坐标原点）.1OABO21. （本小题 14 分）已知函数 .Rxkexf,)(2（1 ）若 ，求证： 时， ；2k01（2 ）若 在区间 上单调递增，求实数 的范围；)(xf），（ （3 ）利用（1 ）的结论，证明： .)()12()3(2)( *4444 Nne参考答案1-5 C A D B D 6-10 D A C C D11 . 12. 13. (端点取值可以包含) 21ba312）（ 6,3214.（ 1） （2） （5） 15. ，4m），（ 16. （1 ） ，nBAsini由正弦定理得， 即,2ba又 为等边三角形， .分3C3（2）由题意， 即0pm0)2()(aab又 A
8、BCSsin21Cab， ， .9 分33i4由余弦定理， 41263)(222 abc. 分17.（ 1）设公差为 ，由 ，且 成等比数列得，d)0(70S621,)5()(,7021121dadaa0(解得 ， .分3n（2 ）由（1 ） ， nnnT 2)3(2)37413 2 (n相减得， 1322 nn11)()(n 0)35(分0)53(nT18.（ 1）以 为原点，分别以 所在直线D1DCA、为 轴建立空间直角坐标系zyx,由已知得 ),2(),0(),2(),0(),( BB， 2),0(FE，1,3624,cosEAB故异面直线 与 所成角的正弦值为 分F（2 ）假设存在点
9、满足题意)0)(,2tP设平面 的法向量为 ，则AC,zyxn0APnC取 则)0,2(),20(t2t1ytzx2,，易知平面 的一个法向量为,1tnAB),(B由图，二面角 为 与 夹角的补角，CP1n设 与 夹角为 ，则 ，1Bo50, 由 解得23)(12,)0,(21 tn 20t36t故存在一点 ，当 时，二面角 的大小为 . .分P36BBACPo019 （ 1） 412sin3)sincos3)(sincos() xxxxxxf )6(221423in4cos2 的最小正周期为 .分)(xf 2T当 时， ， ，363x6526x1)62sin(1x时 的值域为 .分,x)(f
10、1,（2 ） 即,1)2(f )2sin），（） ，（ 34,65432)2cos(=)sin(isin)()sin( = .分61232120.（ 1）由题意得， 53,cae3,2bca所求的椭圆方程为 . 分142yx（2 ）设 ，),(),(21ByxA把直线 代入椭圆方程 得，mkl:2 1342yx0148)43(2,321kxkx 3462348)( 21 kmy所以 的中点 .分AB),22kmM又 在直线 上，1l 032， 0mk 714,78121 xx2264mAB原点 到 的距离为 .分Od32)7(3)7(322 mS当且仅当 即 时取等号，检验此时 成立. .分0
11、21.（ 1） ，则21)(xefxefh)( )0(1)(xehx在 上递增xh），（ 001在区间 上单调递增 .分2)(f ），（ )(ff时（2 ） ，由已知， 恒成立，即kxe ）（)(xf )0(2minxek记 ，)0()(x)012(ex易知， 在 上递减，在 上递增 ，故 ），（ 1),)1()(minex2k.分（3 ）由（1 ） ， 时，），（0x12xe)0(2ex则 ，从而有)(2)ln( *()ln(4Nn又 ）（ 1142 n )12()75()3(231222 n于是，)(n5 430312)1ln()1l(2ll 24444 ）（故 . 23)1( *Ne分或：由（1） ， 2xe)0(12xx则 ，从而有)0()2ln(x )*ln24kk而 ，）（ Nkk,1 ）（ Nk,2)1()(时，不等式显然成立；1时，依次取值 累加可得，2nn，,2)12l()13l()l()l( 4444 21 nn）（故 )()()()( *4444 Ne
