1、山东省烟台市 2014 届高三第二学期 3 月高考诊断性测试数学（理）试题（解析版）第卷（共 50 分）一、选择题：本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设 i 是虚数单位，复数 的虚部为（ ）103iA-i B-l Ci D12.已知集合 M= ，集合 N= ，(e 为自然对数的底数) 则|ln(1)xyx|,xyeR=（ ）MNA B C D|x|x|01x【答案】 C【解析】试题分析： 由已知， ， ， |10|1xx|0Ny所以， ，选 .|0MNC考点：集合的运算,函数的定义域、值域.3.一个空间几何体的三视图
2、如下左图所示，则该几何体的表面积为（ ）A48 B48+8 C32+8 D8017174.某程序的框图如上右图所示，执行该程序，若输入的 p 为 l6，则输出的 n 的值为（ ）A3 B4 C5 D65.以 q 为公比的等比数列 中， ，则“ ”是“ ”的（ ）na1013a1qA必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6.已知不重合的直线 m、 l 和平面 ，且 ， 给出下列命题：、 ml若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ；/ /若 ，则 ，l其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【答案】【解析】试题分析：因为 ， ，所以， ，又 ，所以， .正确
3、；m/mlml因为 ， ，所以 或 ，又 ，所以 或 相交或/,互为异面直线. 不正确；,l因为 ， ， 所 以 ， 又 ，所以 ，故不正确，正确. mlll选 。B考点：平行关系，垂直关系.7.已知圆 及以下三个函数： ； ；21Oxy 3()fx()tanfx其中图象能等分圆 面积的函数个数为（ ）()sinfOA3 B2 C1 D08.双曲线 的中心在原点，焦点在 x 轴上，若 的一个焦点与抛物线 ： 的焦1C1C2C1yx点重合，且抛物线 的准线交双曲线 所得的弦长为 4 ，则双曲线 的实轴长为（ 213）A6 B2 C D632【答案】 D【解析】试题分析：设双曲线 的方程为 .1C
4、21xyab(0,)b由已知，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，即双曲线中 ， ；2（ 3,0） x=-3c=329ab将 代人双曲线方程，解得 ，又抛物线 的准线交双曲线 所得的弦-329ya2C1C长为 ， 所以 与 联立得， ，解得，424bb0，a故双曲线 的实轴长为 ，选 .1C23D考点：抛物线的几何性质，双曲线的几何性质.9.下列四个图象可能是函数 图象的是（ ）10ln|xy10.已知函数 ，且 ，则当()sin()fxxR22(3)(41)0fyfx时， 的取值范围是（ ）yl1A ， B0， C ， D0， 43341433【答案】【解析】试题分析：因为， ，且 ，()si
5、n()(fxxf()1cos0fx所以函数为奇函数，且在 是增函数. R所以，由 得22(3)(41)0fyf.2 2,341ffxyx即 ，其表示圆 及其4)0xy2()()22()(1)xy内部.表示满足 的点 与定点 连续的斜率.1x22yl()(1)xP(1,0)A结合图形分析可知，直线 的斜率 最小，切线 的斜率AC103()4AB最大.22tan3tanta211()PXBAX故选 .考点：函 数 的 奇 偶 性 ， 简 单 线 性 规 划 ， 直 线 的 斜 率 ， 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 .第卷（共 100 分）二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答
6、题纸上）11.若实数 x， y 满足 ，则 的最小值是 .10,23,xzyx【答案】 3【解析】试题分析：画出可行域及直线 ，如图所示. 0yx平移直线 ，当其经过点 时， .0yx(2,1)Amin123z考点：简单线性规划的应用12.已知 ，则 = .tan=22sin113.设 ，则二项式 的展开式中含有 的项是 .0sinaxd 61ax2x【答案】 219【解析】试题分析：因为， ，所以 的 展 开 式 的 通 项00sincos|2axd 61x，6 36161(2)(rrrr rrxxTCC 令 得 ，3,所 以 二项式 的展开式中含有 的项是 ，6ax2x51 2126()9
7、TCx故 答 案 为 219x考点：定积分计算，二项式展开式的通项公式.14.有 6 人入住宾馆中的 6 个房间，其中的房号 301 与 302 对门，303 与 304 对门，305 与306 对门，若每人随机地拿了这 6 个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为 .15.在实数集 R 中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序” 类似的，我们在平面向量集 D=a|a 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为(,),Rxy“ ”定义如下：对于任意两个向量 ， ，当且仅当11)22()axyxy， ， ， 1a2“ ”或“ 且 ”按上述定义的关系“ ”，给出如下四个命题：12
8、x12x12y若 则 (0)(0)e ， ， ， ， ， ， 12 0e， , ，则 ；12a3a13若 ，则对于任意 , ；D12aa对于任意向量 ，若 ，则 0,12其中真命题的序号为 .【答案】【解析】试题分析：由已知，若 则 ，故正确；12 (0)(10)e ， ， ， ， ， ， 12 0e，（4）设 ， ，1122()axyxy， )， ， ()axy，由 得“ ”或0, “0“且 由 ，得“ ”或“ 且 .12 12 12=12若 ，则 ，“xy“xy“且 且 且 12“xy“且 所以 不成立不正确.综上所述，正确.12a考点：新定义问题，平面向量的坐标运算.三、解答题 （本大题
9、共 6 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分 12 分）已知 m= ， n= ，满(2cos3i,1)x(cos,)xy足 0mn(1)将 y 表示为 x 的函数 ，并求 的最小正周期；()f()f(2)已知 a，b，c 分别为 ABC 的三个内角 A，B，C 对应的边长， 的最大值是()Rfx，且 a=2，求 b+c 的取值范围()2Af（2）由题意得 ，()32Af所以 ，因为 ，所以 8 分6kZ0A3由正弦定理得 ， ， 43sinbB43sincCiic， 10 分432sinsi()4sin()36BB, ， ，01i()( 64,2(
10、cb所以 的取值范围为 . 12 分bc2,4考点：平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，正弦定理的应用，三角函数的性质.17.（本小题满分 12 分）已知数列 an前 n 项和为 Sn，首项为 a1，且 ， an， Sn成等差数2列(1)求数列 an的通项公式；(2)数列 bn满足 ，求证： 2123(log)(l)nna1231.2nbb当 时， ， ，2n12nSa12nSa两式相减得： ， 4 分11nnn1n所以数列 na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，12n. 6 分18.（本题满分 12 分）PM25 是指大气中直径小于或等于 25 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人
11、体健康和大气环境质量的影响很大。我国 PM25 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM25 日均值在 35 微克立方米以下空气质量为一级；在 35 微克立方米75 微克立方米之间空气质量为二级；在 75 微克立方米以上空气质量为超标某市环保局从 360 天的市区 PM25 监测数据中，随机抽取 l5 天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)(1)从这 l5 天的数据中任取 3 天的数据，记 表示空气质量达到一级的天数，求 的分布列；(2)以这 l5 天的 PM25 日均值来估计这 360 天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级【答案】 （1）分布列为0 1
12、2 3p4586450（2）一年中空气质量达到一级的天数为 144 天.【解析】试题分析：（ 1）由 , 的可能值为 0，1，2，33,6,15nMN利用 即得分布列：31596)(CkPk) ,20(0 1 2 3p4586450（2）一年中每天空气质量达到一级的概率为 ，2由 , 得到 (天) ，52360B145360E一年中空气质量达到一级的天数为 144 天.试题解析：（1） , 的可能值为 0，1，2，3,1nMN其分布列为 3 分31596)(CkPk)3 ,210(0 1 2 3p4845 6 分（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为 5216p一年中空气质量达到
13、一级的天数为 则 , 所以 (天) 11 分52360B1452360E一年中空气质量达到一级的天数为 144 天 12 分考点：茎叶图，超几何分布，二项分布.19.（本小题满分 12 分）已知平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=10，BD=8，E 是线段 AD 的中点沿直线 BD 将BCD 翻折成BCD，使得平面 BCD 平面 ABD(1)求证：CD 平面 ABD；(2)求直线 BD 与平面 BEC所成角的正弦值20.（本小题满分 13 分）已知椭圆 C 的中点在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 ，它的12一个顶点恰好是抛物线 的焦点283xy(1)求椭圆 C 的方程；(2)己知点
14、P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点 A、B 是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ= BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由由 整理得126 )(3yxk2(4)8()4(3)80kkxk, 9 分213x,21.(本题满分 l4 分)已知函数 ，其中 N*，a R，e 是自然对数的底2()nnxafe数(1)求函数 的零点；12()()gxfx(2)若对任意 N*， 均有两个极值点，一个在区间(1，4)内，另一个在区间1，4nn外，求 a 的取值范围；(3)已知 k， m N*， km，且函数 在 R 上是单调函数，探究函数 的单调性()kfx()mfx（2） a的取值范围是 1,2. （3）函数 ()mfx在 R上是减函数.（2）22(2)e()e(1)2) .enxnxn nxaafx 5 分设 2(1)ng， ()ng的图像是开口向下的抛物线.由题意对任意 ,N0ngx有两个不等实数根 12,x，且 12,41,.x则对任意 ,Nn()40ng,即 6(1)(8)0nan, 7 分又任意 ,68n关于 递增, 68n,故 mi1()12.aa所以 的取值范围是 ,. 9 分
