1、广西贵港市 2014 届高中毕业班下学期 5 月高考冲刺模拟试题数学理科（市高考备考中心组成员命制）考生注意：1.本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间120 分钟.2.请将各卷答案填在试卷后面的答题卷上.3.本试卷主要考试内容：高中全部内容.4.参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件 A、B 相互独立，那么 P(AB)=P(A)P(B);如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰半好发生 k 次的概率 Pn(k)=Cknpk(1-p)n-k(k=0,1,2,，n
2、);球的表面积公式 S=4R 2,球的体积公式 V= 34R 3,其中 R 表示球的半径.第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 6,543,21U， 4,21M，则 MCU)(A)(B,3 )( 6,53 )(D6,422若 iz，则复数 z)()( i2 )( i2 )( i3 “ 1x”是“ 012x”的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件)(C充要条件 )(D既不充分也不必要条件4已知 D是由不等式组 032yx所确定的平面区域，则圆 42yx在区域 D内的弧长为)(A)(B)
3、(C43)(35已知数列 na的前 项和 nS满足： mnnS，且 1a那么 10a)(1 )(9 )(10 )(556下列区间中，函数 |2l|xf在其上为增函数的是)(A,)(B34,1 )(C )23,0 )(D2,17函数 36sin(2xy90x的最大值与最小值之和为)()( 0 )( 1 )(38已知双曲线 1:21byaxC)0,(ba的离心率为 2。若抛物线 pyxC2:)0(的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C的方程为)(A yx382 )(Byx36 )(yx82 )(D1629现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3
4、张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为)( 232 )( 252 )(C 472 )(48410过正方体 1DCBA的顶点 A作直线 l，使 与棱 AB， D， 1所成的角都相等，这样的直线 l可以作)(A1 条 )(2 条 )(3 条 )(4 条11在圆 062yx内，过点 1,0E的最长弦和最短弦分别是 C和 B，则四边形BCD的面积为)(5)(B2)(C25 )(D2012设函数 ,)(四xfy内有定义，对于给定的正数 K，定义函数KfK,)(，取函数 xexf2若对任意的 ),(x恒有 )(xffK，则)(A的最大值为 2 B的最小值为 2C的最大值
5、为 1 )(D的最小值为 1第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中横线上13.在 333)1()()1( xxx的展开式中， x的系数为 （用数字作答） 。14.已知单位向量 1e， 2的夹角为 60，则 |2|1e 15.长方体 DCBA的顶点均在同一个球面上， 1AB， 2C，则 A， B两点间的球面距离为 16设圆 位于抛物线 xy2与直线 3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆 的半径能取到的最大值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. （本题 10 分）在 AB
6、C中， , B, C所对边分别为 a， b， c，且满足 52cosA, 6cb,3.（）求 a的值；（）求 A2cos1)4in()4si(2的值.。18 （本题 12 分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50 人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病 不患心肺疾病 合计男 5女 10合计 50已知在全部 50 人中随机抽取 1 人，抽到患心肺疾病的人的概率为 53。（）请将上面的列联表补充完整；（）已知在患心肺疾病的 10 位女性中，有 3 位又患胃病现在从患心肺疾
7、病的 10 位女性中，选出 3 名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为 ，求 的分布列，数学期望。19. （本题 12 分）已知数列 na满足： 21， 11)(2)(3nna)(*N，数列 21nab)(*N，数列 21nc， )(*N.（1）证明数列 nb是等比数列；（2）求数列 c的通项公式；20（本题 12 分）如图，在四棱锥 ABCDP中， P平面 ABCD，底面 是菱形， 2AB,60BAD.()求证： 平面（）若 ,求 与 所成角的余弦值；（）当平面 PC与平面 D垂直时，求 PA的长.21 （本题 12 分） 已知函数 xaxf ln)2()(，（）当 1a时，求曲线
8、(fy在点 )1(,f处的切线方程；（）当 0时，若 f在区间 e上的最小值为 2，求 a的取值范围； （）若对任意 1x， 2),0(， 21x，且 21)()(xfxf恒成立，求 的取值范围.22 （本题 12 分）在平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆 C的中心在原点 O，焦点在 x轴上，短轴长为2，离心率为 2。(1)求椭圆 C的方程；(2) A， B为椭圆 上满足 AOB的面积为 46的任意两点， E为线段 AB的中点，射线OE交椭圆 于点 P。 设 Et，求实数 t的值2014 届高考冲刺模拟试题数学（理科）参考答案1 MCU6,53，选 )(C2 iiiz21)(， iz，选 )(
9、D3 0xx或 ，故 1x02，但 012x1x，“ ”是“ 0”的充分而不必要条件，选 )(A4先作出 32y确定的平面区域，这个区域在 内的弧长为劣弧 B，所以劣弧 AB的弧长即为所求。 1OBk， 2Ak， 1)3(21tanBOA， 4OA。 劣弧A的长度为 4。选 )(5 mnnS，且 1a， 1S。可令 m得 1nS， 1nS。即当 1时， 1， 0，选 )(A6当 12x即 时 ， 。 当 |)2ln(|)xf)l(x， 此 时 函 数 在 1,(其 上 单 调 递 减 。 当0即 2时 ， (x， 此 时 函 数 在 )2其 上 单 调 递 增 ， 故 选)(D7 9x， 67
10、3， )36sin(x1,， 2,3y，32minay，选 )(A。82bc， ab， 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 0yx， 抛 物 线 的 焦 点)2,0(p到双曲线渐近线的距离为 2|0|p， 8p， 抛物线 2C的方程为yx16，选 )(D9 47560716451423 C，选 )(。另解： 472126012410 .10连接 A，则 1与棱 AB， D， 1所成的角都相等，过点 A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱 ， A， 1，所成的角相等，故这样的直线 l可以作 4 条。选 )(11圆的方程化为标准形式为 0)3()(22yx，由圆的性质可知最长弦
11、102C，最短弦 BD恰以 )1,0(E为中点，设点 F为其圆心，坐标为 )3,(，故 5EF，522， 210BDACSB四 ，选 )(B12由题意知 Kxf)(在 ),(上恒成立。即 Kex2在 ,上恒成立。令eg)(，则 xeg1。由 )(g得 x，由01得 ，即 0， 在 )0,(为增函数，在,0上为减函数， 在 ,(时 12)maxg， K。选)(D13. x的系数为 73213C14由题意知 |e， |， 2160cos12e， 21214| eee=3，|2|1。15由题意可知球的直径为长方体的体对角线 DB1。 2)(R，设 DB1的中点为 M，则 为球的球心，故 AM为边长为
12、 1 的正三角形， 3AM，A， B两点间的球面距离为 316结合图形分析，若圆 C的半径取到的最大值，需圆与抛物线及直线 x同时相切，设圆心的坐标为 )0,(a，则圆的方程为 22)3()(ayax，与抛物线方程xy2联立得 096)2ax，由判别式 0)96(4，得64a，故半径的最大值为 1643。17. 解：（） 5cosA， 52cosA 1 分 ，又 3CB，即 cosb， b2 分 ，又 6cb， 15cb或 。由余弦定理得 20cos22Aa， 52a 5 分（） ACBcos1)4in()4si(21)4in()4i(A2cos1)4in()si(2)i()(A2cos)(i
13、n2cos，8 分，53cosA， 571csos2A， 原式 3751 10 分18 （）解：列表补充如下 3 分患心肺疾病 不患心肺疾病 合计男 20 5 25女 10 15 25合计 30 20 50（）解： 的所有可能取值：0，1，2，3 4 分7)(CP； 4021)1(37CP；40231； 10； 6 分的分布列如下： 0 1 2 3P47078 分则 109234120E所以 的数学期望为 9。 12 分19.（1）证明：由已知 )(,*Nnban ， 431b，1 分)(2)(3na， 2213a，3 分)3122nnnab )(*5 分所以 是 4为首项， 为 公比的等比数
14、列6 分（2） )()3*1Nnn 8 分21ba10 分)()4*12ncnn12 分20证明：（）因为四边形 ABCD是菱形，所以 BDAC.又因为 PA平面 .所以 P.所以 BD平面 . 4 分（）设 OBDAC.因为 60BA， 2ABP,所以 1， 3.如图，以 为坐标原点，建立空间直角则 )2,30(P, ),0(, ),1(, )0,3(C.所以 02AB。6 分设 与 C所成角为 ，则 436|cosP.8 分（）由（）知 )0,1(B。设 ),3(tP0(，则 ),31(tB，设平面 C的法向量 ),(zyxm,则 ,mBC,所以 03,tzyx,令 3y,则 tzx6,.
15、所以 6,3t,同理，平面 PDC的法向量 )6,(tn, 10分因为平面 PB平面 D,所以 0n，即 0362t，解得 t，所以 6A. 12 分21解：（）当 1a时， xxfl3)(2 xf1)(1 分因为 0)1(f， 2)(f。所以切线方程是 .y 3 分（）函数 xaxf ln)的定义域是 ),0(. 当 0a时， 1212()( xa令 )(xf，即 )() xxf ，所以 21或 a5 分当 0，即 时， )(f在 ,1e上单调递增，所以 )(xf在 ,e上的最小值是 2；当 a1时， f在 ,上的最小值是 2)1(faf，不合题意；当 时， 在 )1(上单调递减，所以 )(
16、xf在 ,e上的最小值是 2)1(fe，不合题意 ，故 的取值范围是 )8 分（）设 xfg2(，则 xaxgln)(，只要 )(x在 ,0上单调递增即可. 9 分而 aa112 当 a时， )(xg，此时 )(xg在 ),0上单调递增；10 分当 0时，只需 0在 ,上恒成立，因为 ),0(x，只要 012ax，则需要 0a，对于函数 12axy，过定点 )1,0(，对称轴 041x，只需82，即 .，综上 8。12 分 22解 (1)设椭圆 C的方程为： 12byax)0(a，则 22bac，2ac， b，解得 ， ，故椭圆 C的方程为 1yx。3 分(2)当 A， B两点关于 x轴对称时
17、，设直线 AB的方程为 m，由题意 02m或0m。将 x代入椭圆方程得 2|my，所以 46|SAOB，解得23或 1（） ，又 OEtP)(1t)0,(),2(1tt，又点 P在椭圆上，所以 )(2t，由（）得 42或 32。又因为 ，所以 2或 3t。6 分当 A， B两点关于 x轴不对称时，设直线 AB的方程为 nkxy，代入 12yx得 024)21( nk。设 ),(1yx， ),(2，由 )(1(n得 2nk。此时 221kx21x， 2111)(knx。8 分所以 4)(|AB22)(k，又点 O到直线 的距离 21|knd。9 分所以 ABS|21 221|)(knk 46|)21(nk令1k代入上式得： 06342n。解得 24n或 ，即 21k或 342。又 OEtP)(BAt),(2121yxt t t( ) t(x1 x2， y1 y2) )21,(kntt。OP OE 12 OA OB 12又点 P为椭圆 C上一点，所以 1)21()(2knknt ， 即 2ktn。又 4或34212k解得 4t或 3t。又 0t，故 2t或 3t。经检验，适合题意综合得 或 。12 分
