1、课时提升卷(二)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用(45 分钟 100 分)一、选择题(每小题 6 分,共 30 分)1.把 10 个苹果分成三堆,要求每堆至少 1 个,至多 5 个,则不同的分法共有 ( )A.4 种 B.5 种 C.6 种 D.7 种2.(2013兰州高二检测)由 0,1,2 三个数字组成的三位数的个数为 ( )A.27 B.18 C.12 D.63.(2012北京高考)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为 ( )A.24 B.18 C.12 D.64.如图所示,用不同的五种颜色分别为 A,B,C,D,E
2、 五部分着色,相邻部分不能用同一种颜色,但同一种颜色可以反复使用,也可不使用,则符合这些要求的不同着色的方法共有 ( )B来源:学优来源:GKSTK.Com来源:学优 GKSTKDA来源:GKSTK.ComCEA.500 种 B.520 种 C.540 种 D.560 种5.(2013烟台高二检测)如图所示,M,N,P,Q 为海上四个小岛,现在要建造三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方法有 ( )A.8 种 B.12 种C.16 种 D.20 种二、填空题(每小题 8 分,共 24 分)6.如图,从 AC 有 种不同的走法.7.从 1,2,3,4,7,9 六个数中,任取两个数作对数的底
3、数和真数,则所有不同的对数的值的个数为 .8.(2013天津高二检测)某城市在中心广场建造了一个花园,花园分为 6 个部分(如图所示),现要栽种 4 种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 种(用数字作答).三、解答题(910 题各 14 分,11 题 18 分)9.(2013石家庄高二检测)某校高二年级一班有优秀团员 8 人,二班有优秀团员 10 人,三班有优秀团员 6 人,学校组织他们去旅游.(1)推选 1 人为总负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选 1 人带队,有多少种不同的选法?(3)从他们中选出 2 个人管理生活,要求这 2 个人不同班,有
4、多少种不同的选法?10.把一个圆分成 3 个扇形,现在用 5 种不同的颜色给 3 个扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问(1)有多少种不同的涂法?(2)若分割成 4 个扇形呢?11.(能力挑战题)把 1,2,3,4,5 这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.(1)43251 是这个数列的第几项?(2)这个数列的第 96 项是多少?(3)求这个数列的各项和.答案解析1.【解析】选 A.用数组x,y,z表示三堆苹果的个数.采用列举法:由于每堆至少 1 个,至多 5 个,故可以有1,4,5,2,3,5,2,4,4,3,3,44 种分法.2.【解析】选 B.分三
5、步,分别取百位、十位、个位上的数字,分别有2 种、3 种、3 种取法,故共可得 233=18 个不同的三位数.3.【解题指南】考虑特殊元素 0,与特殊位置个位.如果选 0,则 0 只能在十位.个位必须是奇数.【解析】选 B.(1)当从 0,2 中选取 2 时,组成的三位奇数的个位只能是奇数,只要 2 不排在个位即可,先排 2 再排 1,3,5 中选出的两个奇数,共有 232=12(个).(2)当从 0,2 中选取 0 时,组成的三位奇数的个位只能是奇数,0 必须在十位,只要排好从 1,3,5 中选出的两个奇数.共有 32=6(个).综上,由分类加法计数原理知共有 12+6=18(个).4.【解
6、析】选 C.按照分步计数原理,先为 A 着色共有 5 种,再为 B 着色共有 4 种(不能与 A 相同),接着为 C 着色有 3 种(不与 A,B 相同),同理依次为 D,E 着色各有 3 种,所以不同着色的方法共有N=5433=540(种).5.【解题指南】桥有三座,可分两类:从一个岛出发向其他三岛各建一桥;一个岛最多建两座桥.【解析】选 C.第一类,从一个岛出发向其他三岛各建一桥,共有 4 种方法;第二类,一个岛最多建两座桥,建法为,将岛的名称 M,N,P,Q 分别填入四个中,则分成四个步骤,第一步,先填第一个,有 4 种方法,再填第二、三、四个,分别有 3,2,1 种方法,注意到 MNP
7、Q 与 QPNM 两类是同一种建桥方法,则第二类建桥法共有 4321 =12(种),由分类加法计数原理得,建桥方法12共有 4+12=16(种).6.【解析】分为两类,不过 B 点有 2 种方法,过 B 点有 22=4 种方法,共有 4+2=6 种方法.答案:67.【解析】(1)当取 1 时,1 只能为真数,此时对数的值为 0.(2)不取 1 时,分两步:取底数,5 种;取真数,4 种.其中 log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93.所以 N=1+54-4=17.答案:17【变式备选】从 2,3,4,5,6,7 这六个数字中,任取两个分别作
8、分数的分子与分母,能得到不同的分数值的个数为 .【解析】先不管重复的情况,共有 65=30(个),其中 = , = , = , = .2436426323463264有 4 种情况是重复的,所以共 30-4=26(个).答案:268.【解析】根据 6 个部分的对称性,按同色、不同色进行分类:(1)4,6 同色,1 有四种颜色可选,5 有三种颜色可选,4 有两种颜色可选,2 有两种颜色可选,3 只有一种颜色可选,共有43221=48(种).(2)4,6 不同色,1 有四种颜色可选,5 有三种颜色可选,4 有两种颜色可选,6 有一种颜色可选,若 2 与 4 同色,则 3 有两种,若 2 与 4 不
9、同色,则 3 有一种,共有 4321(2+1)=72(种).故共有 120 种不同的栽种方法.答案:1209.【解析】(1)分三类.第一类:从一班的 8 名优秀团员中产生,有 8 种不同选法;第二类:从二班的 10 名优秀团员中产生,有 10 种不同选法;第三类:从三班的 6名优秀团员中产生,有 6 种不同选法.由分类加法计数原理得N=8+10+6=24 种不同的选法.(2)分三步:第一步:从一班的 8 名优秀团员中选 1 人带队,有 8 种不同选法;第二步:从二班的 10 名优秀团员中选 1 人带队,有 10 种不同选法;第三步:从三班的 6 名优秀团员中选 1 人带队,有 6 种不同选法.
10、由分步乘法计数原理得 N=8106=480 种不同的选法.(3)分三类,每一类可分为两步.第一类:从一班、二班的优秀团员中各选 1 人,有 810=80 种不同选法;第二类:从二班、三班的优秀团员中各选 1 人,有 106=60 种不同选法;第三类:从一班、三班的优秀团员中各选 1 人,有 86=48 种不同选法.由分类加法计数原理得 N=80+60+48=188 种不同的选法.10.【解析】(1)不同的涂色方法是 543=60(种).(2)如图所示,分别用 a,b,c,d 记这四个扇形,先考虑给 a,c 涂色,分两类:第 1 类给 a,c 涂同种颜色,共 5 种涂法;再给 b 涂色,有 4
11、种涂法;最后给 d 涂色,也有 4 种涂法.由分步乘法计数原理知,此时共有544 种涂法.第 2 类给 a,c 涂不同颜色,共有 54 种涂法;再给b 涂色,有 3 种方法;最后给 d 涂色,也有 3 种方法.此时共有5433 种涂法.由分类加法计数原理知,共有 544+5433=260 种涂法.【拓展提升】求解与几何图形有关的计数问题的技巧一要熟悉几何图形性质及点、线、面位置关系;二要按同一标准分类,避免重、漏;三若直接求解困难或头绪繁多时,可从反面去求解.11.【解析】将由 1,2,3,4,5 这五个数字组成无重复数字的五位数按万位数字分类,共五类,每类组成的数字数为:4321=24(个).(1)万位数字为 4,且比 43251 小的数的个数有:321+321+2+1=15 个,所以 43251 是这个数列的第324+15+1=88(项).(2)因为 96=424,所以这个数列的第 96 项是 45321.(3)因为五位数可写为:a104+b103+c102+d10+e所以这个数列的各项和为:(5+4+3+2+1)(10000+1000+100+10+1)24=3999960.
