1、 高三数学章末综合测试题:第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知向量 a,b 且 A a2b,B 5a6b,C 7a2b,则一定共线的三B C D 点是( )AA,B ,D BA,B ,C CB,C,D DA,C,D解析 A 由题意 B 2a 4b2 ,故 A,B,D 共线D AB 2设 P 是ABC 所在平面内的一点,B B 2 ,则( )C A BP AP P 0 BP P 0A B C A CP P 0 DP P P 0B C A B C 解析 B 因为 B B 2
2、,所以点 P 为线段 AC 的中点,故选 B.C A BP 3已知 O 是ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边中点,且 2 0,那么()OA OB OC A. B. 2 C. 3 D2 AO OD AO OD AO OD AO OD 解析 A 由 2 0 可知,O 是底边 BC 上的中线 AD 的中点,故 OA OB OC AO .OD 4已知向量 a(1,2),b( 2,4),|c | .若(ab)c ,则 a 与 c 的夹角为( )552A. B. C. D.6 3 23 56解析 C ab(1,2)a,所以 a 与 c 的夹角即 ab 与 c 的夹角的补角 设 ab 与 c 的夹角为
3、 ,则 cos ,故 ,则 a 与a bc|a b|c| 5255 12 3c 的 夹角为 .235已知 A(3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在AOB 内,且AOC45,设 OC (R),则 的值为( )OA OB A1 B. C. D.13 12 23解析 A 如图,过 C 作 CEx 轴于点 E,则|OE|CE|2,所以 ,即 ,所以(2,0) OC OE OB OA OB OE OA (3,0),故 .故选 A.236(2011湖南十二校联考)平面上有四个互异的点 A、B 、C 、D ,满足( )( AB BC AD ) CD 0,则三角形 ABC 是( )A直角三角形
4、B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形解析 B ( )( )( )( )( ) ( AB BC AD CD AB BC AD DC AB BC AC AB )( )| |2| |20,故| | |,即 ABC 是等腰三角形BC AB BC AB BC AB BC 7(2011杭州月考)已知定义在复数集 C 上的函数 f(x)满足 f(x)Error!则f(1i) ( )A2 B0 C2 D2i解析 C (1i)R, f(1i)(1 i)(1 i)1i 22.8如图所示,非零向量 O a,O b,且 BCOA , CA B 为垂足,若 O a( 0) , C 则 ( )A. B.ab|a|2
5、 ab|a|b|C. D.ab|b|2 |a|b|ab解析 A B O ,即 B O ( O O )O 0|O |2O O 0,C A C C C B C C B C 即 2|a|2 ab0,解得 .ab|a|29(2011济南一模)设 a 是实数,且 是实数,则 a( )a1 i 1 i2A. B1 C1 D212解析 B 因为 i 是实数,所以 a1.a1 i 1 i2 a1 i2 1 i2 a 12 a 1210已知点 A(2,0) 、B(3,0),动点 P(x,y)满足 P P x 2,则点 P 的轨迹是( )A B A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析 D P (2x,y ),P (
6、3x,y),P P x 2,A B A B (2x)(3 x)y 2x 2,化简得 y2x6.11已知向量 a(1,1),2ab(4,2),则向量 a,b 的夹角为( )A. B. C. D.6 4 3 2解析 B 由 a(1,1),2a b(4,2) ,得 b(4,2)2(1,1)(2,0) 设向量 a,b 的夹 角为 ,则 cos , .ab|a|b| 222 22 412(2011宝坻质量调查)已知点 A,B ,C 在圆 x2y 21 上,满足2 0(其 OA AB AC 中 O 为坐标原点),又| | |,则向量 在向量 方向上的投影为( )AB OA BA BC A1 B1 C. D
7、12 12解析 C 由 2 ( )( ) 0,得OA AB AC OA AB OA AC OB OC , OB OC 即 O,B,C 三点共线又| | |1,故向量 在向量 方向上的投影为 AB OA BA BC | |cos .BA 3 12二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上)13设向量 a 与 b 的夹角为 ,a(3,3),2ba(1,1),则 cos _.解析 a(3,3),2ba( 1,1),b(1,2),cos .ab|a|b| 9325 31010【答案】 3101014如果复数 z (bR )的实部和虚部互为相反数,则 b 的值等于_
8、2 bi1 i解析 z i,由 ,得 b0.2 bi1 i1 i1 i 2 b2 2 b2 2 b2 2 b2【答案】 015(2011宣城调研)已知 i 是虚数单位,复数 z 满足 2i,则 z_.iz i解析 由题意得,z i i i.i2 i i2 i5 15 35【答案】 i15 3516对于 n 个向量 a1,a 2, ,a n,若存在 n 个不全为零的实数 k1,k 2,k n,使得k1a1k 2a2k nan0 成立,则称向量 a1,a 2, ,a n 是线性相关的按此规定,能使向量 a1(1,0),a 2(1,1),a 3(2,2)是线性相关的实数 k1,k 2,k 3 的值依
9、次为_(只需写出一组值即可)解析 根据线性相关的定义,得 k1(1,0)k 2(1,1) k 3(2,2)0Error!令 k31,则 k22,k 14,k 1,k 2,k 3 的一组值为4,2,1.【答案】 4,2,1三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分) 如图,在任意四边形 ABCD 中,E 为 AD 的中点,F 为 BC 的中点,证明: 2 .AB DC EF 解析 因为 F 为 BC 的中点,所以 0,BF CF 连接 AF,DF ,则有 AB DC AB DC BF CF . 而 , ,AB BF DC CF AF DF
10、AF AE EF DF DE EF 又 E 为 AD 的中点,所以 0.AE DE 所以 2 ,所以 2 .AF DF AE EF DE EF EF AB DC EF 18(12 分) 计算下列各式的值:(1) 2; (2) ; (3) i 3.(2i1 i) 2 4i1 i2 1 i1 i解析 (1) 2 2i.(2i1 i) 4i21 i2 42i(2) 2i.2 4i1 i2 2 4i2i(3) i 3 i 3 i 3i i0.1 i1 i 1 i21 i1 i 2i219(12 分) 已知ABC 中,C 是直角,CACB ,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上一点,且 AE2EB,求
11、证:ADCE .解析 建立如图所示的直角坐标系,设 A(a,0),则 B(0,a),E( x,y) D 是 BC 的中点,D .(0,a2)又 2 , 即(xa,y)2(x,ay),AE EB Error!解得Error! (a,0) , ,AD (0,a2) ( a,a2) OE CE (a3,23a) a a 0. ,即 AD CE.AD CE a3 23 a2 AD CE 20(12 分) 已知点 A(2,0)、B(0,2)、C(cos ,sin ),O 为坐标原点,且 0 .(1)若|O O | ,求 O 与 O 的夹角;A C 7 B C (2)若 A B ,求 tan 的值C C
12、解析 (1)由已知可得 O (2,0),A O (cos , sin ),且|O O | ,C A C 7 ,化简得 cos ,2 cos 2 sin2 7120,sin , .32 OC (12,32)又O (0,2) ,cosO ,O .B B C OB OC |OB |OC | 32又O ,O 0,O ,O .B C B C 6(2)A (cos 2,sin ) ,B (cos ,sin 2),C C 由 A B ,得(cos 2,sin )(cos ,sin 2) 0,C C 即(cos 2)cos sin (sin 2)0,化简得,sin cos ,12sin 2cos 22sin
13、cos ,14 ,sin2 cos2 2sin cos sin2 cos2 14即 3tan28tan 30,解得 tan . 4 73由得,sin cos 0 且 0, ,又|sin |cos |,tan 38 2.4 7321(12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2y 212 x320 的圆心为 Q,过点P(0,2)且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B.(1)求 k 的取值范围;(2)是否存在常数 k,使得向量 O O 与 P 共线?如果存在,求出 k 的值;如果A B Q 不存在,请说明理由解析 (1)圆的方程可写成( x6) 2y 24,所以圆心为 Q
14、(6,0),过 P(0,2)且斜率为 k 的直线方程为 y kx2,代入圆的方程得x2(kx2) 212x 320,整理,得(1k 2)x24( k3)x360.直线与圆交于两个不同的点 A、B 等价于4(k3) 2436(1k 2)16( 8k 26k)0,解得 k0,34即 k 的取值范围为 .( 34,0)(2)设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 O O (x 1x 2,y 1 y2),A B 由方程得,x 1x 2 .4k 31 k2又 y1y 2k(x 1x 2)4,而 P(0,2),Q(6,0),P (6 ,2) ,Q O O 与 P 共线等价于2(x 1x 2)6(
15、 y1y 2)A B Q 将代入上式,解得 k ,34又 k ,不存在符合题意的常数 k.( 34,0)22(12 分) 已知向量 a ,b ,且 x .(cos32x,sin32x) (cosx2, sinx2) 3,4(1)求 ab 及|ab|;(2)若 f(x)ab |ab| ,求 f(x)的最大值和最小值解析 (1)abcos xcos sin xsin cos 2x,|ab| 2|cos x|,32 x2 32 x2 2 2cos 2xx , cos x0.|ab| 2cos x. 3,4(2)f(x)cos 2x2cos x 2cos 2x2cos x12 2 .(cos x 12) 32x , cos x1. 3,4 12当 cos x 时,f(x) 取得最小值 ;12 32当 cos x1 时,f(x) 取得最大值1.